第3章行列式 行列式是公元1690年前后诞生的。在传统的线 性代数中，行列式都被放在第一章第一节，其 中充满着繁琐的数学推导，也是初学者最大的 拦路虎之一。但是，随着高斯消元法和计算机 的广泛应用，在方程求解软件中已经嵌入了主 元非零的判解条件，完全可以避开行列式传统 讲法中的多种概念和复杂公式，大大节约了篇 幅，也降低了工科读者的入门难度
第3章 行 列 式 行列式是公元1690年前后诞生的。在传统的线 性代数中，行列式都被放在第一章第一节，其 中充满着繁琐的数学推导，也是初学者最大的 拦路虎之一。但是，随着高斯消元法和计算机 的广泛应用，在方程求解软件中已经嵌入了主 元非零的判解条件，完全可以避开行列式传统 讲法中的多种概念和复杂公式，大大节约了篇 幅，也降低了工科读者的入门难度
3.1二、三阶行列式的意义 3.1.1二阶行列式 行列式的主要用途是判断线性方程组的解是否存在和唯一。 例3.1求下面二元线性方程组的解 41x1+412X2=b, a21X1+a22X2=b2 解：用第二个方程减去第一个方程的421/a,写成矩阵 411 412 当两个主元都不等于零时，可解出x和x为 x=4,-642 5=a6-46 411a22-412021 411a22-a12a21
3.1 二、三阶行列式的意义 3.1.1 二阶行列式 行列式的主要用途是判断线性方程组的解是否存在和唯一。 例3.1 求下面二元线性方程组的解 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 a x a x b a x a x b + = + = 21 11 a a ( ) 11 12 1 1 22 12 21 11 2 2 21 1 11 0 a a x b a a a a x b a b a = − − 解: 用第二个方程减去第一个方程的 ，写成矩阵 当两个主元都不等于零时，可解出x1和x2为 11 2 21 1 2 11 22 12 21 a b a b x a a a a − = − 1 22 2 12 1 11 22 12 21 b a b a x a a a a − = −
二阶行列式的定义 ·为了便于记忆，引入双竖线记号： D= a11 412 adz2 -di2dz1 det 41 det(A)(3.1.2) a21 a22 421 称为该系数矩阵A的行列式(Determinant)。把a11,a22的连 线称为丰对角线，把2,2的连线称为其对角线：则二 阶行列式等子主对角线元素乘积减副对角线元素的乘积。 方程组(3.1.1)的解可表示成x1=DD,2=D2/D,其中 ba412 a11 D= D2= b b2 (3.1.3) a22 分别为将方程常数列b取代矩阵A中1,2列所得的行列式。 由此得到判定二元非齐次方程组(3.1.)解的存在判据：其系 数矩阵的行列式det(A)必须不等于零
二阶行列式的定义 • 为了便于记忆，引入双竖线记号： (3.1.2) • 称为该系数矩阵A的行列式(Determinant)。把a11,a22的连 线称为主对角线，把a12,a21的连线称为其副对角线，则二 阶行列式等于主对角线元素乘积减副对角线元素的乘积。 • 方程组(3.1.1)的解可表示成x1=D1 /D，x2=D2 /D，其中 (3.1.3) 分别为将方程常数列b取代矩阵A中1,2列所得的行列式。 由此得到判定二元非齐次方程组(3.1.1)解的存在判据：其系 数矩阵的行列式det(A)必须不等于零。 11 12 11 12 11 22 12 21 21 22 21 22 det det( ) a a a a D a a a a a a a a = = − = = A 1 12 1 2 22 b a D b a = 11 1 2 21 2 a b D a b =
例3.2二阶行列式的几何意义 平面上有一个平行四边形OACB,A、B两点的坐标分别为 (a1,b1)(a2,b2),如图所示，求平行四边形OACB的面积。 解：作辅助线，从图上可得： SOACB-SOEDB +SCDB-SALO-SAEDC B(az,b) -SOEDB-SAEDC =ab2-a2b 4(a,b1) 说明该平行四边形的面积刚好等于 以A、B两点坐标所构成的二阶行列式。 由此可见，如果两个向量共线，它们构成的平行四边形面积 为零，其行列式也为零，方程无唯一解的几何与代数判据 就得到了统一
例3.2 二阶行列式的几何意义 平面上有一个平行四边形OACB，A、B两点的坐标分别为 (a1 ,b1 )(a2 ,b2 ) ，如图所示，求平行四边形OACB的面积。 解：作辅助线，从图上可得： 说明该平行四边形的面积刚好等于 以A、B两点坐标所构成的二阶行列式。 由此可见，如果两个向量共线，它们构成的平行四边形面积 为零，其行列式也为零，方程无唯一解的几何与代数判据 就得到了统一。 OACB OEDB CDB AEO AEDC OEDB AEDC 1 2 2 1 S =S +S -S -S =S -S = − a b a b
3.1.2 三阶行列式 ·例3.3求下面三元线性方程组的解 411x1+412x2+a13x3=b1 21X1+a222+a233=b2 a31x+a32X2+a33X3=b3 ·解：利用高斯消元法可以得到 412243+41242341+a342142-413422431-a124a21a33-a1a23a32) =b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32-a13a22b3-a12b2a33-b1a23a32 定义： 41a243 D=a21a2a23=41422a33+a2023431+01342142-4142n431-a42143-0142342 a1a3243 为A的三阶行列式
3.1.2 三阶行列式 • 例3.3 求下面三元线性方程组的解 • 解: 利用高斯消元法可以得到 定义： 为A的三阶行列式， 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + = + + = + + = (a a a a a a a a a a a a a a a a a a x 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 1 + + − − − ) 1 22 33 12 23 3 13 2 32 13 22 3 12 2 33 1 23 32 = + + − − − b a a a a b a b a a a b a b a b a a 11 12 13 21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 31 32 33 a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = = + + − − −