第五章 变换域中的离散时间系统
1 第五章 变换域中的离散时间系统
5.1z变换 ·傅氏变换有两个缺点，其一，在实际中 许多有用的信号，如μ(n)和n*u(n).等，它 们的离散傅利叶变换不存在。其二，系 统对初始条件的暂态响应，或由时变输 入引起的系统响应，都无法用离散傅利 叶变换方法来计算。 ·为了克服上述的两个缺点，要把离散傅 利叶变换方法进行推广，推广后的方法 称为z变换。 2
2 5.1 z变换 • 傅氏变换有两个缺点，其一，在实际中 许多有用的信号,如μ(n)和n* μ(n)...等,它 们的离散傅利叶变换不存在。其二，系 统对初始条件的暂态响应，或由时变输 入引起的系统响应，都无法用离散傅利 叶变换方法来计算。 • 为了克服上述的两个缺点，要把离散傅 利叶变换方法进行推广，推广后的方法 称为z变换
z变换的定义 定义：对于一个序列x(n),其双边z变换定义为： X(2)=ZIx(n】=∑x(n)z” n=-o0 其中z=pe0是复变量，其向径为p,幅角为p, 构成一个复平面，称为z平面。 序列xn)的单边z变换则定义为： X+(z):=Z+[x(n】=∑x(n)z” n=0 3
3 z变换的定义 定义：对于一个序列x(n)，其双边z变换定义为: 其中 是复变量，其向径为ρ，幅角为φ， 构成一个复平面，称为z平面。 序列x(n)的单边z变换则定义为： . =− − = = n n X(z) : Z[x(n)]: x(n)z j z = e = + + − = = 0 ( ) : [ ( )]: ( ) n n X z Z x n x n z
z变换的定义 ·例如，对于序列x=1.5,0,5,2,-2,31 它的双边z变换是： X(z)=1.5z2+0.5z+2z0-2z1+3z2-z3 其单边z变换是： X+(z)=2z0-2z1+3z2-23 如果序数向量n只取正值，称为右序列，右序列 的z变换X(z)中只出现z的负次幂；当采样序数n 取负值时，X(z)中将出现z的正次幂。在工程中， 人们感兴趣的主要是右序列。 4
4 z变换的定义 • 例如，对于序列 它的双边z变换是： 其单边z变换是: 如果序数向量n只取正值，称为右序列，右序列 的z变换X(z)中只出现z的负次幂；当采样序数n 取负值时，X(z)中将出现z的正次幂。在工程中， 人们感兴趣的主要是右序列。 x = 1.5,0,5,2,−2,3,−1 2 0 1 2 3 ( ) 1.5 0.5 2 2 3 − − − X z = z + z + z − z + z − z 0 1 2 3 ( ) 2 2 3 + − − − X z = z − z + z − z
z变换的收敛域 z变换的收敛性 1.有限长序列：在除原点外的全z平面上收敛； 2。无限长右序列：在一个半径为r(称为收敛 半径)的圆外的全z平面上收敛； 3。无限长左序列：在一个半径为r(也称为收 敛半径)的圆内收敛； 4。双向无限序列：右序列和右序列收敛区的 (环形)公共区，也可能没有； 分别见下图中子图(a),(b),(c),(d)。 5
5 z变换的收敛域 z变换的收敛性 1.有限长序列：在除原点外的全z平面上收敛； 2。无限长右序列：在一个半径为r（称为收敛 半径）的圆外的全z平面上收敛； 3。无限长左序列：在一个半径为r（也称为收 敛半径）的圆内收敛； 4。双向无限序列：右序列和右序列收敛区的 （环形）公共区，也可能没有； 分别见下图中子图(a),(b),(c),(d)