第4章平面和空间向量 线性系统的许多重要特性可以用向量的概念来描 述，因为向量可以描述两个或两个以上的实数组 成的数组特征。二维和三维空间中的向量有鲜明 的几何意义，也有广泛的应用价值，掌握它们的 基本特性就可更好地从几何空间概念来理解线性 代数方程组的某些性质，同时也可帮助人们去抽 象推想高维的向量空间。，本章将介绍向量空间的 基本概念，用它来进一步诠释线性方程组的几何 意义；以便从几何概念过渡到代数推理，进而用 数学软件来解决它们的计算问题。下一章则讨论 二、三向量线性变换中一些较深入的问题
第4章 平面和空间向量 线性系统的许多重要特性可以用向量的概念来描 述，因为向量可以描述两个或两个以上的实数组 成的数组特征。二维和三维空间中的向量有鲜明 的几何意义，也有广泛的应用价值，掌握它们的 基本特性就可更好地从几何空间概念来理解线性 代数方程组的某些性质，同时也可帮助人们去抽 象推想高维的向量空间。本章将介绍向量空间的 基本概念，用它来进一步诠释线性方程组的几何 意义；以便从几何概念过渡到代数推理，进而用 数学软件来解决它们的计算问题。下一章则讨论 二、三向量线性变换中一些较深入的问题
4.1向量的类型 ·物理向量：向量这个术语起源于物理，用以表示既有大小 又有方向的物理量，如力，位移和速度等。那些只需用一 个实数来表示的物理量，如温度、压力和质量等就称为标 量。向量还可以有更广泛的意义，可以把任何由多个参数 描述的变量视为向量。如： ·1)一个班的学生本学期学了五门课，则每人的成绩就可 用五个分数组成的向量来反映； ·5).把人口按年龄分别统计可以得到一个具有100多维的 向量，如再按性别分开，得到的是200多维的向量。 。 不难看出，向量的引入极大地扩展了对象建模的深度和广 度
4.1 向量的类型 • 物理向量：向量这个术语起源于物理，用以表示既有大小 又有方向的物理量，如力，位移和速度等。那些只需用一 个实数来表示的物理量，如温度、压力和质量等就称为标 量。向量还可以有更广泛的意义，可以把任何由多个参数 描述的变量视为向量。如： • 1）一个班的学生本学期学了五门课，则每人的成绩就可 用五个分数组成的向量来反映； • … … • 5）.把人口按年龄分别统计可以得到一个具有100多维的 向量，如再按性别分开，得到的是200多维的向量。 • 不难看出，向量的引入极大地扩展了对象建模的深度和广 度
几何向量和位置向量 ● 几何向量：把平面上 y 的向量的箭尾A的坐 标值取为(a1,a2),而 B (b1:62) 把箭头所处的点B的 坐标值取为(b1,b2), -◆Q(b1,a2） PP(b1-a1,b2-a2) 联接A点到B点的箭 A(a1,a2) 头就称为几何向量。 用v=AB示： 0 A称为向量的起点，而B称为向量的终点。这样的几何 向量，要用a1,a2,b1,b2四个实数才能表示。 把向量的箭尾A移到原点，箭头B就移到P点。这时的向 量作用线通过了原点，称为位置向量
几何向量和位置向量 • 几何向量:把平面上 的向量的箭尾A的坐 标值取为(a1,a2)，而 把箭头所处的点B的 坐标值取为(b1,b2)， 联接A点到B点的箭 头就称为几何向量。 用 示： •A称为向量的起点，而B称为向量的终点。这样的几何 向量，要用a1,a2,b1,b2四个实数才能表示。 •把向量的箭尾A移到原点，箭头B就移到P点。这时的向 量作用线通过了原点，称为位置向量。 v AB =
代数向量 ·代数向量：把平面中的几何向量V用它在和y两个 方向的分量x和Vy来表示，写成表示式： ·这就是平面中用线性代数表示向量的方法。粗看 起来，它与几何向量的表示法没有太大的差别， 但到了三维以上，几何向量将失去意义，而代数 向量的维数可以无限地扩展，以满足工程和经济 模型分析的需要。从几何到代数，也就是从三维 向高维抽象的线性代数方法论
代数向量 • 代数向量：把平面中的几何向量v用它在x和y两个 方向的分量vx和vy来表示，写成表示式： • • 这就是平面中用线性代数表示向量的方法。粗看 起来，它与几何向量的表示法没有太大的差别， 但到了三维以上，几何向量将失去意义，而代数 向量的维数可以无限地扩展，以满足工程和经济 模型分析的需要。从几何到代数，也就是从三维 向高维抽象的线性代数方法论。 1 1 2 2 x y v b a v b a − = = − v
4.2向量及其线性组合 ·4.2.1平面和空间向量的矩阵表示 平面中的向量v用它在x和y两个方向的分量V1和v2来表示， 行向量写成v1,v2],列向量时为v= 为了节省 V 篇幅，有时按向量转置的规则，把列向量写成[V1,2]T。 ·例4.1设 ]{ 要求画出这两个向量的图形。 解：u和V都是二维空间的列向量。可以用平面坐标系中的 两个点，或从坐标原点引向这两点的箭头来表示
4.2 向量及其线性组合 • 4.2.1 平面和空间向量的矩阵表示 平面中的向量v用它在x和y两个方向的分量v1和v2来表示， 行向量写成[v1，v2]，列向量时为 ，为了节省 篇幅，有时按向量转置的规则，把列向量写成[v1，v2]T 。 • 例4.1 设 要求画出这两个向量的图形。 解：u和v都是二维空间的列向量。可以用平面坐标系中的 两个点，或从坐标原点引向这两点的箭头来表示。 1 2 v v = v 1 1 2 2 2 3 , , 4 1 u v u v = = = = − u v