复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第五章 定积分计算

Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU E>0,存在[与arg-a)无关,D内各向同性的]p()>0,使当-d=r<p时, =a/)-<,所以[/((2-9)2(4)(=-0=,小模之 比r/r=1,仅仅积分相位即可),即 im[f()=ik(2-B)(方向为正向) 引理3( Jordan引理):当z→∞(0≤argz≤x,即Imz≥0)时,f(=)→0(此 限制条件为一致地趋于0,仅仅存在解析部分),则lm[f(x2kmdz=0 (实常数m>0),其中C是以原点为圆心,半径为R的上半 圆周即z=Re"(0≤0<x) 证明:由于当0≤argz≤x,z→∞时,f(x)一致地趋于0 这意味着任给E>0,存在(与argz无关的,D内各向同性 的)M()>0,使当|=R>M时,()<E.据此,令 =Re(0≤≤x),有Note:1)|em°=1.2)请检查 是否满足条件,否则积分不存在或者重新补积分回路] f(二) ds sev() mksm d1=S'I/(@)le wksmoRde <ER「emdO=26R[ e-mRsined 由右图可见,当0≤0≤x/2时,有0≤-6≤sin (x:2449(--)<n /260/x (m>0)这样,就证明了lm[f(xkdz=0 2.f(x)dx 条件:(1)由f(x)唯一确定的函数f()除在上半平面(Imz>0)只有有限个奇 点{}=b,b2…,b以及在实轴上最多有有限个单阶极点 {a}=a,a2…,an以外是解析函数 11

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 11   0 ，存在[与 arg(z − a) 无关，D 内各向同性的] ( )  0 ，使当 z − a = r   时， ( ) ( ) z a f z k − −   ，所以 ( )d ( 2 1 2 1 ) ( ) Cr f z z ik − −  −       （ , i z a re  − = 小模之 比 r/r =1 ，仅仅积分相位即可），即 ( 2 1 ) 0 lim ( )d Cr r f z z ik   → = −  （方向为正向）。 引理 3 (Jordan 引理)：当 z → (0  arg z  ,即Imz  0) 时, f (z)  0 (此 限 制 条件为一致 地趋 于 0 ， 仅仅 存 在 解 析 部分 ), 则 lim ( ) d = 0  → f z e z imz R CR (实常数m  0) ，其中 CR 是以原点为圆心，半径为 R 的上半 圆周,即 e (0 ). i z R  =     证明：由于当 0  arg z   ，z → 时， f (z) 一致地趋于 0， 这意味着任给   0 ，存在（与 arg z 无关的，D 内各向同性 的） M ( )  0 ，使当 z = R  M 时， f (z)   .据此，令 e 0( ) i z R  =     ，有 [Note：1). cos | | 1. imR e  = 2). 请检查 是否满足条件，否则积分不存在或者重新补积分回路] cos sin sin sin 0 sin sin 2 0 0 ( ) d ( ) d ( ) d d 2 d . R R z R iR imz mR mR C C mR mR f z e z f z e z f z e R R e R e               = + − − − −  =  =      由右图可见，当 0    / 2 时，有    sin 2 0   . ( ) 2 2 0 ( ) d 2 d 1 . R mR imz mR C f z e z R e e m m          − −  = −    ( m  0 ) 这样，就证明了 lim ( ) d = 0  → f z e z imz R CR . 2．   - f (x)dx 条件：(1)由 f (x) 唯一确定的函数 f (z) 除在上半平面（ Im z  0) 只有有限个奇 点 1 2 { } , , , k N b b b b = 以 及 在 实 轴 上 最 多 有 有 限 个 单 阶 极 点 1 2 { } , , j n a a a a = ， 以外是解析函数；

Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU (2)在实轴和上半平面内(0≤arg=≤x),当z→∞时,()一致地趋 于零,简记为f()→0 结论:∫f(x)x=2m∑Rey(b)+mi Rest(a,) k=l(上半平面内) 证明:(1)先考虑在实轴上没有奇点的情况 以-R~R的实轴为一边,补充上半圆周C(=R) 求2f(c)d=0/xdx+[.f( 2ri∑Resf(b2) 因为m∫f(z)=0,根据大圆弧引理, nL.()d=0.于是,取极限R→就得到厂xx=2Re(h) k=l(上半平面) (2)实轴上存在一阶极点的情况 设f()在实轴上有单极点二=c,我们 所取路径必须绕过c点。以c点为圆心 充分小r为半径的半圆周C,如图所示 将c点挖去,则 f /(d== f(r) dx+S f(=x+ f(x)dx+f(=ds 2z/∑Res(b) 当取两个极限R→∞,r>0时,我们有, [C/)+(x)-上(x im()=0,由引理1,m[f()d=0 由于z=c是单阶极点,所以Resf()=lim(z-c)f()由引理2(注意积 分方向)我们得到Im」(=- Ti Rest(=)n(相位差,幅角变化0-z) 因此,f(x)dx=2i Rest(b)+i Rest(c)

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 12 (2) 在实轴和上半平面内 (0  arg z   ) ，当 z → 时， zf (z) 一致地趋 于零，简记为 zf (z)  0 . 结论： - 1( ) 1( ) ( )d 2 Res ( ) Res ( ). N n k j k j f x x i f b i f a     = =  = +   上半平面内 复平面实轴上 证明：（1）先考虑在实轴上没有奇点的情况。 以− R ~ R 的实轴为一边，补充上半圆周 C (z R) R = : 1( ) ( )d ( )d ( )d 2 Res ( ). R R C R C N k k c f z z f x x f z z i f b − = = + =     内 因为 lim ( ) = 0 → zf z z ，根据大圆弧引理,  = R→ CR lim f (z)dz 0. 于是，取极限 R → 就得到 - k 1( ) ( )d 2 Res ( ). N k f x x i f b    =  =  上半平面 （2）实轴上存在一阶极点的情况。 设 f (z) 在实轴上有单极点 z = c ，我们 所取路径必须绕过 c 点。以 c 点为圆心， 充分小 r 为半径的半圆周 Cr ，如图所示 将 c 点挖去，则 k 1(c ) ( )d ( )d ( )d ( )d ( )d = 2 Res ( ). r R c r R C R C c r C N k f z z f x x f z z f x x f z z i f b − − + = = + + +       又 内 当取两个极限 R → ,r → 0 时，我们有，     + − − → − =     f x x + f x x f x x R c r c r R R lim ( )d ( )d ( )d ， lim ( ) = 0 → zf z z  ，由引理 1， lim ( )d = 0  → f z z R CR . 由于 z = c 是单阶极点，所以 Res ( ) lim( ) ( ). z c z c f z z c f z = → = − 由引理 2（注意积 分方向），我们得到 0 lim ( )d Res ( ) r C z c r f z z i f z  → = = −  （相位差，幅角变化 0− ）. 因此， - 1( ) ( )d 2 Res ( ) Res ( ). N k k f x x i f b i f c     =  = +  上半平面内

Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU 如果实轴上存在有限个单阶极点,则 f(x)dx= 2Ti Rey(2)+i∑Resf(a 自证:如果将实轴上单极点包含在回路内,则 in「f()d=(2x-)Resf()-,但在回路内多了 r→0 im。f()d=2zRes(-结果相同 Exm计算.+15 解一]令x=nO,则=m"d0=(简单!) 解三:1=x+1+ dz 2i·Resf()=2zi:=丌 2+1 (二=-在下半平面)。取极限R→∞,因为im-2,=0,根据引理1,所以 dz 于是得到,=5f(x)x= x)Eap2计算积分/=,其中n为正整数 [解]唯一孤立奇点z=i(n+1阶极点,Imz>0) 2ri·Resf() (2m)! 2(n!) (-1)(n+1)(n+2)…(2n)1(n+1)(n+2)…(2 2i 2i22n! 取极限R→∞,因为f(x)连续且imz =0,所以,根据引理1, dz 0.因此1= dr (2m) Example3.计算积分I= x(x+1)x2+) (如图严格相互抵消,因而有值) 13

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 13 如果实轴上存在有限个单阶极点，则 - 1( ) 1( ) ( )d 2 Res ( ) Res ( ). N n k j k j f x x i f b i f a     = =  = +   上半平面内 复平面实轴上 自证：如果将实轴上单极点包含在回路内，则 0 lim ( )d (2 ) Res ( ) , r C z c r f z z i f z   → − = = −  但在回路内多了 0 lim ( )d 2 Res ( ) . r C z c r f z z i f z  → = =  结果相同。 Example 1. 计算积分    −  + = + = 1 d 2 1 1 d 2 0 2 x x x x I . [解一] 令 x = tan ，则 / 2 0 d . 2 I   = =   (简单！) [解二] 2 2 2 d d d 1 2 Res (i) 2 1 1 1 2 R R C R C z x z i f i z x z i    − = + =  =  = + + +    ( z i =− 在下半平面)。取极限 R → ，因为 0 1 1 lim 2 = → z + z z ，根据引理 1，所以 0 1 d 2 = + CR z z . 于是得到， . 2 ( )d 2 1  = =   − I f x x (X) Example 2. 计算积分 ( )   − + + = 1 2 1 d n x x I , 其中 n 为正整数。 [解] 唯一孤立奇点 z i = ( n+1 阶极点， Im 0) z  ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 2 2 d d d 2 Res ( ) 1 1 1 1 d 1 (2 )! 2 , ! d 2 ( !) R R n n n C R C n n n n z i z x z i f i z x z n i n z n z i    + + + − + = = + =  + + +   =  =     +      ( ) 1 2 1 2 2 d 1 ( 1) ( 1)( 2) (2 ) 1 ( 1)( 2) (2 ) 1 (2 )! . d (2 ) 2 2 2 2 ! n n n n n n n z i n n n n n n n z i i i n z i + + =   − + + + +   = = =   +   取极限 R → ，因为 f z( ) 连续且 ( ) 0 1 1 lim 1 2 = + + → n z z z ，所以，根据引理 1， ( ) 0 1 d 1 2 = +  + CR n z z . 因此 ( )  1 2 2 2 2 ( !) (2 )! 1 d n n x x I n n = + =   − + . Example 3. 计算积分 ( )( )   − + + = 1 1 d 2 x x x x I . (如图严格相互抵消，因而有值)

Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU 除在上半平面有奇点z=i外, 在实轴上还有两个单阶极点z=0 取积分路线如图 ==[+++.+,+.]:=2xyO 2 取三个极限R→∞,→0,F2→>0 因为如+=+02=0,由引理1 0 (二+1)(=2+1 又因为Resf(0)=limz (=+)(2+=1 Resf(l=lim(=+l) 所以,由引理2(小圆弧引 (=+1)(=2+1)2 理), (+1)(=2+1) =1Resf(-1)·(-)= =i·Resf()·(-x)=-i.因此, e:=(z+1)(=2 1=如m[++])=如m-m(地 (1-1)-0 2-(-m)=~x 附]柯西积分主值( Cauchy principal value) 通常的定积分(Rimn积分)∫/(xd有两个基本假设:积分区间小是 有界的,同时函数f(x)在b]上也是有界的。反之,如果积分区间无界或f(x) 有奇异性,则这种积分属于反常积分,这时积分就有一般值和主值之分。例如, 按广义积分定义,双边无界积分 f(x)dx= lim.f(x)dx+lim[f(x)

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 14 [解] ( 1)( 1) 1 ( ) 2 + + = z z z f z 除在上半平面有奇点 z = i 外， 在实轴上还有两个单阶极点 z = 0 和 z = −1. 取积分路线如图，有 ( ) 1 1 2 2 3 ( )d ( )d = 2 Res ( ) 1 2 1 . ( 1)( ) 2 C l C l C l CR f z z f z z i f i i i i i i i i      = + + + + +      =  = − − + +        又 取三个极限 R →，r1 → 0,r2 → 0， 因为 ( )( ) 0 1 1 1 lim 2 = + +  → z z z z z ，由引理 1， ( ) 0 ( 1) 1 d 2 = + + CR z z z z . 又因为 ( )( ) 2 0 1 Res (0) lim 1, 1 1 z f z → z z z =  = + + ( )( ) 2 1 1 1 Res ( 1) lim( 1) . z 1 1 2 f z → − z z z − = +  = − + + 所以，由引理 2 (小圆弧引 理)， ( ) 1 2 d Res ( 1) ( ) C ( 1) 1 2 z i i f z z z  =  −  − =  + +  ， ( ) 2 2 d Re (0) ( ) ( 1) 1 C z i sf i z z z =   − = −   + +  . 因此， 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 , 0 , 0 lim ( )d [ lim lim lim lim ] ( )d (1 ) 0 ( ) . 2 2 2 R R R R r r l l l C C C C r r r r I f z z f z z i i i i     → → → → → → →   = + + = − − −     = − − − − − − = −        [附] 柯西积分主值(Cauchy principal value)： 通常的定积分（Riemann 积分）  b a f (x)dx 有两个基本假设：积分区间 a,b 是 有界的，同时函数 f (x) 在 a,b 上也是有界的。反之，如果积分区间无界或 f (x) 有奇异性，则这种积分属于反常积分，这时积分就有一般值和主值之分。例如， 按广义积分定义，双边无界积分    → − →  − = + 2 2 0 0 1 1 ( )d lim ( )d lim ( )d R R x x R R f x x f x x f x x

Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU 只当这两个积分存在时,f(xx才存在。考察极眼m/(xdx,显然这是 前者的特殊情形。当此极限存在时,前者可能不存在,但前者存在时,后者必存 在,并且两者相等。故通常称前者为一般值,把后者称为积分主值(按柯西的定 义)。P「f(x)dr=imf(x)d 同理,当∫(x)在[b上有不连续点c[在c点f(x)无界且c仅是单极点时 其一般值定义为∫(x)x=mJf(x)dx+mJf(xx,而其主值定义为 /x=2C/x)+(x]上面例3在三个地方均取了积分主值 3.「f(x)emdx(m是非零实常数 Fourier transform) 条件:设m>0 (1)由f(x)唯一确定的函数f(x)除在上半平面(Imz>0)只有有限个 (孤立)奇点并且在实轴上最多有有限个单阶极点以外是解析的 (2)在实轴和上半平面内,当z→>∞时,f()→0 (上面计算f(x)dx时要求孑(-)→0,利用 Jordan lemma 现在计算 Fourier Transform(x)-d时,要求f()=0) 结论:「(xdx=2m∑Res[()=]+m∑Res[/()em 证明:(1)先考虑在实轴上没有奇点的情况。 以-R~R的实轴为一边,补充上半圆C(2=R) ∮f(=)e"d= R/(x)e"mdx+。(md 因为limf(=)=0,根据引理3( Jordan lemma) in[f(=)d=0于是,取极限R→∞就得到 ∫fx)ldx=2i∑Rs[fcl] (2)实轴上存在一阶极点的情况

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 15 只当这两个积分存在时，   − f (x)dx 才存在。考察极限 → − R R R lim f (x)dx ，显然这是 前者的特殊情形。当此极限存在时，前者可能不存在，但前者存在时，后者必存 在，并且两者相等。故通常称前者为一般值，把后者称为积分主值（按柯西的定 义）。 ( )d lim ( )d . R R R f x x f x x + → − − =   P 同理，当 f (x) 在 a,b 上有不连续点 c [在 c 点 f (x) 无界且 c 仅是单极点]时， 其一般值定义为 1 1 2 0 0 2 ( )d lim ( )d lim ( )d , b c b a a c f x x f x x f x x     − → → + = +    而其主值定义为 0 ( )d lim ( )d ( )d . b c b a a c f x x f x x f x x    − → +   = +        P 上面例 3 在三个地方均取了积分主值。 3．   - f (x)e dx imx ( m 是非零实常数,Fourier Transform) 条件：设 m  0， (1) 由 f (x) 唯一确定的函数 f (z) 除在上半平面（ Im z  0) 只有有限个 (孤立)奇点并且在实轴上最多有有限个单阶极点以外是解析的； (2) 在实轴和上半平面内，当 z → 时， f (z)  0 . （上面计算 f x x ( )d + − 时要求 ( ) 0 z zf z →  , 利用 Jordan lemma， 现在计算 Fourier Transform   - f (x)e dx imx 时, 要求 ( ) 0. z f z →  ） 结论： - ( ) d 2 Res ( ) Res ( ) . imx imz imz f x e x i f z e i f z e     = +            上半平面内 复平面实轴上 证明：（1）先考虑在实轴上没有奇点的情况。 以 − R ~ R 的实轴为一边，补充上半圆 C (z R) R = ： ( ) d ( ) d ( ) d = 2 Res ( ) . R R imz imx imz C R C imz C f z e z f x e x f z e z i f z e − = +         又 内 因为 lim ( ) = 0 → f z z ，根据引理 3（Jordan lemma） lim ( ) d 0. R imz R C f z e z → =  于是，取极限 R → 就得到 - ( ) d 2 Res ( ) . imz imz f x e x i f z e    =       上半平面内 （2）实轴上存在一阶极点的情况