复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第五章 定积分计算

Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU Example2.求函数f() 在z=1点的留数。 [解一] (=-1)+(=-)+(=-) ee Rest() 4!24 [解二]z=1是f()的五阶极点,因此 Ref(1) -lur lim 4!=→1d424 (X) Example3.求函数f()=xl 在z=i点的留数 [解]2+1=(z-(x+1),z=±是f()的三阶极点,因此 Resf()=3,lim(=-i) (X) Example4.求函数f(x)=2 的留数 解]z=-1是f(x)的三阶极点,z=∞是本性奇点,因此 Resf(-1=lim 2二|=1=2sin2 Resf(∞)=-2in2 (X) Example5.求函数f()=-在z=n丌(n为整数)的留数。 解一]二=n是f()的单极点,因此 Rest(nr)=lim (=-nz 解二]Resf(nr) Example 6. Find the residue of(sin =)(-=)at ==i 6

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 6 Example 2. 求函数 ( ) 5 1 ( ) − = z e f z z 在 z = 1 点的留数。 [解一] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 234 1 555 1 1 1 ( ) 1 1 , 111 2! 3! 4! z z e e e e z z z f z z zzz  −   − − − = = = + − + + + +   −−−     Res (1) . 4! 24 e e f = = [解二] z = 1 是 f (z) 的五阶极点，因此 ( ) ( ) ( ) 5 1 4 5 5 1 4 5 1 1 1 d 1 d Res (1) lim 1 lim . 5 1 ! d 4! d 24 1 z z z z e e e f z z z z − → → −   = − = =   −   −   （X）Example 3. 求函数 ( ) 3 2 1 1 ( ) + = z f z 在 z i = 点的留数。 [解] 2 z z i z i + = − + 1 ( )( ), z i = 是 f (z) 的三阶极点，因此 ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 3 3 2 1 d 1 1 d 1 3 Res ( ) lim . 2! d 2 d 16 1 z i z i i f i z i z z z z i → =     = − = = −       +   +     （X）Example 4. 求函数 ( ) 3 sin 2 ( ) 1 z f z z = + 的留数。 [解] z =−1 是 f (z) 的三阶极点， z = 是本性奇点，因此 2 2 1 1 1 d Res ( 1) lim sin 2 2sin 2 | 2sin 2. 2! d z z f z z z = − →− − = = − = Res ( ) 2sin 2. f  = − （X）Example5. 求函数 z f z sin 1 ( ) = 在 z = n ( n 为整数)的留数。 [解一] z = n 是 f (z) 的单极点，因此 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ' Res ( ) lim lim 1 . sin sin ' n z n z n z n f n z n z z      → →   − = − = = −     [解二] ( ) ( ) 1 1 Res ( ) 1 . sin ' cos n z n z n f n z z    = = = = = − Example 6. Find the residue of ( ) ( ) 4 sin z / 1− z at z i =

Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU [解一]z=i是f(x)的单极点,因此 sln二 sin二 sInI Resf(i=lim(=-. m -e e-e sinh(i) (21)(4)8 解二]Resf(1)= sln二 sIn -sinh(D) Example7.求函数f()=;x(实常数m≠0)的留数 [解]〓=土i是∫(x)的一阶极点,z=∞是本性奇点(高振荡),因此 Ref(i Rest(i=- Resf(oo)=-Resfi)+resfcdl=(e-e)=-isinh m (X) Example8.求函数f()=(=2-1)2 (cB=1,a≠B)的留数 (二-a)(二-B) [解]〓=α,β是∫()的一阶极点,z=0是二阶极点,f(∞)=1解析,因此 Rest(a) x(a-B) a-B B (二-B z2-1)2 Rest(e) Resf(0)是=2()在二=0附近 Taylor展式中的一次项a1的系数a1 二f(=) (=-a)(=-B) B B (1++…)--(1+-+…) Rest(o) a-八(-a2=a+B,(放心取(x2-1项=0) Resf(oo)=-Resf(a)+Resf(b)+ ref(o]=-(a+B

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 7 [解一] z i = 是 f (z) 的单极点，因此 ( ) ( )( ) 4 2 i 1 1 sin sin sin Res ( ) lim lim 1 4 1 z 1 sinh(1). (2 )(4 ) 8 4 z z i z z i f i z i z i z i e e e e i i → → − −   = − = =     − − + − − = = = [解二] ( ) 3 3 4 sin sin sin 1 Res ( ) sinh(1). 4 4 4 1 z i z i z z i f i z i z = = = = = =  − − − Example 7. 求函数 2 ( ) 1 imz e f z z = + (实常数 m  0 )的留数。 [解] z =i 是 f (z) 的一阶极点， z = 是本性奇点（高振荡），因此 Res ( ) ; Res ( ) ; 2 2 imz m imz m z i z i e e e e f i f i z i i z i i − = = − = = = =− + − − Res ( ) [Res ( ) Res ( )] ( ) sinh . 2 i m m f f i f i e e i m −  = − + − = − = − (X) Example 8. 求函数 2 2 2 ( 1) ( ) ( )( ) z f z z z z   − = − − (    =  1, )的留数。 [解] z = , 是 f (z) 的一阶极点， z = 0 是二阶极点， f ( ) 1  = 解析，因此 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1/ ) Res ( ) ; ( ) ( ) z z f z z              = − − − = = = = − − − − 2 2 2 ( 1) Res ( ) ; ( ) z z f z z      = − = = − − Res (0) f 是 2 z f z( ) 在 z = 0 附近 Taylor 展式中的一次项 1 az 的系数 1 a : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 1 1 ( ) ( )( ) ( 1) 1 1 ( 1) 1 1 1 1 (1 ) (1 ) . z z z f z z z z z z z z z z                   − −   = = −   − − − − −   − −         = + + − + + = − + − +         − −         2 2 1 1 1 Res (0) ; f          = − = +   −   (放心取 2 2 ( 1) z − 项 z = 0). Res ( ) [Res ( ) Res ( ) Res (0)] ( ). f f f f  = − + + = − +    

Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU 、留数定理在定积分计算中的应用 (Residue theorems application to the definite integral calculations) A.基本思路与方法 目标:为了计算实函数f(x)在整个实轴上或实轴上某一线段I 上的积分[f(xudx,可分为以下三个步骤(方法) 将∫(x)看作复变函数∫()当二=x的特殊情况,即将∫(x)延 拓至复平面F()(f()和F()之间有千丝万缕的关系 2.将实积分路径改变为复平面闭曲线,其内部为D—一或做变 换,将ab变为闭曲线,或补一段bM使其成为闭曲线 3.在D上对F(z)或∫(z)应用留数定理计算闭路上的积分,这样就把实轴上 (x)的积分转化为计算/(在D内奇点的留数以及[f(=)d了。即 ∫(xkx+⊥(=手/(k=2m∑Re(=) f(=)d=?(see the Lemma 1, 2 and 3 below) B.基本类型 广R( sin x, cosx)t,其中Rmnx.o)是 sin x, cosx的有理式 方法:作单位园变换z=e",x∈0,2z],即将0~2的直线路径变为单位圆 周F=1路径。并且smx=2 costs dx=-ds 2-二2+二 Inx. cos x R 令F() 那么 ∫R( nx, cos xpx=2x∑ResF Example 1.I=5sin2xdr

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 8 二、留数定理在定积分计算中的应用 (Residue theorem’s application to the definite integral calculations) A. 基本思路与方法： 目标：为了计算实函数 f (x) 在整个实轴上或实轴上某一线段 I 上的积分  b a f (x)dx ，可分为以下三个步骤（方法）： 1．将 f (x) 看作复变函数 f (z) 当 z = x 的特殊情况，即将 f (x) 延 拓至复平面 F z( ) ( f (z) 和 F z( ) 之间有千丝万缕的关系)。 2．将实积分路径改变为复平面闭曲线，其内部为 D——或做变 换，将 ab 变为闭曲线，或补一段 bMa 使其成为闭曲线。 3． 在 D 上对 F z( ) 或 f (z) 应用留数定理计算闭路上的积分，这样就把实轴上 f (x) 的积分转化为计算 f (z) 在 D 内奇点的留数以及 bMa f (z)dz 了。即 b a bMa ( )d ( )d ( )d 2 Res ( ). j l j    f x x f z z f z z i f z + = =   bMa Key : ( )d ? ( f z z =  see the Lemma 1,2 and 3 below) B. 基本类型: 1. R(sin x, cos x)dx 2 0  ，其中 R(sin x, cos x) 是 sin x, cos x 的有理式。 方法：作单位园变换 ix z = e ，x0,2，即将 0 ~ 2 的直线路径变为单位圆 周 z = 1 路径。并且 1 1 1 sin , cos , d d 2 2 z z z z x x x z i iz − − − + = = = ，则 ( ) 1 1 2 0 1 1 sin ,cos d , d z 2 2 z z z z R x x x R z i iz  − − =   − + =       . 令 1 1 1 ( ) , 2 2 z z z z F z R iz i − −   − + =     ，那么 ( ) 2 0 z 1 R x x x i F z sin ,cos d 2 Res ( )     =  . Example 1. I sin xdx 0 2  = 

Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU 解一]1=「2-cos(2x)=x.(简单!) [解二] Ⅰ: dz 22i)g 8i 丌 (2i) R (2zi) Example 2. I dx (a>b>0) a+bcos x 2bi +b 2bi二2(=-=) b 二= b [韦大定理:Ax2+Bx+C=0的两个根x1,x2满足xx2=C/A,x1+x2=-B/A] 在单位圆(<1)内F()有两个孤立奇点=0(二阶奇点,z=1(一阶奇点) z=2(一阶奇点)在单位圆(>1外。因此,我们有 ResF(O)=lim d [=F()] 计算1 (=1+=2) ib ResF()=im[(=-=)F()] 2bi =2[ResF(0)+ResF(=1)=2/-1 2丌 2=1=b2 b 261 三个引理: 引理1(大圆弧引理如果f(=)在区域D:Rs-<∞,B1≤arg(z-a)≤B 上连续,且当z(z∈D)→>∞时,(z-a)f()一致地趋于K,简记为(z-a)f(z)→K, 则m[f()d=K(2-2),其中C是以a为圆心,R为半径,夹角为B2-的 圆弧,-d=R≤amg(=-a)≤B

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 9 [解一] 2 d 2 1 cos(2 ) 0   = − =  x x I .（简单！） [解二] 2 1 2 2 2 3 1 z 1 2 2 3 0 1 1 1 1 ( 1) sin d d d 2 2 2 8 1 ( 1) 1 (2 ) Res = (2 ) ( 2) . 8 8 2 z z z z z I x x z z i iz i z z i i i z i      − − = = =   − − = = = −           − = − − − =                展开 Example 2. d (a b 0) cos 2 sin 0 2   + =   x a b x x I . [解] ( ) ( ) ( )( ) 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 ( ) 2 2 2 1 2 z z i z z F z iz bi bi z z z z z z z a a b z z z b − −   −   − −   = = − = − +   − − +   + +   , 其 中 2 2 2 2 1 2 , , a a b a a b z z b b − + − − − − = = 1 2 z z =1. [韦大定理: 2 Ax Bx C + + = 0 的两个根 1 2 x x, 满足 1 2 1 2 x x C A x x B A = + = − / , / ]. 在单位圆 (z 1) 内 F(z) 有两个孤立奇点: z = 0 （二阶奇点）， 1 z = z （一阶奇点）。 2 z z = （一阶奇点）在单位圆 ( 1) z  外。因此，我们有 ( ) 2 1 2 2 0 d 1 Res (0) lim ( ) . z d 2 a F z F z z z → z bi ib = = − + =     计算 ( ) ( ) 1 2 2 1 1 1 2 2 1 Res ( ) lim ( ) . z z 2 i F z z z F z z z a b → bi b = − = − − = −     计算   ( ) 2 2 1 1 2 1 2 2 Res (0) Res ( ) 2 2 . 2 I i F F z i z a a b bi b      =  + = −  = − −     三个引理： 引理 1(大圆弧引理):如果 f (z) 在区域 D：R  z − a  ， 1 2   arg(z − a)  上连续，且当 z z( D)  →  时， (z − a) f (z) 一致地趋于 K ，简记为 ( ) ( ) , z a f z K −  则 ( ) d 2 1 lim ( ) =  −  → f z z iK R CR ，其中 CR 是以 a 为圆心， R 为半径，夹角为  2 −1 的 圆弧， 1 2 z a R z a − =  −  , arg( ) .  

Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU 证明:因为=1(2-),所以 f()dz-iK(82-8 f(二) .(=-a)(=)-k s』(=-a)f()-k 由于当≤argx-a)≤B2,z→时,(z-a)f()一致地趋于K,这意味着任 给E>0,存在[与agz-a)无关,D内各向同性的]M(c)>0,使当-al=R>M 时,(=a)f()-<6,所以[知d-(2-)<(2-8)(-a=Re”大 模之比R/R=1,仅仅积分相位即可),即m[f()d=(2-9)(方向正向)。 引理2(小圆弧引理):若函数f()在区域D:0<-d≤r, ≤arg(=-a)≤B2上连续,且当x(二∈D)→a时,(=-a)f()一致地趋于k, 则imnf(c)d=i(2-),其中C是以a为圆心,r为半径,夹角为B2-B的 圆弧,|-d=r,O≤arg(二-a)≤B 证明:因为 {n(r,9)=|z"d 1](=B2-1,N=±1,+2,…) 1(r,q)=ig,lar=(0,∞),q≠2mN/(n+1)]=(0,∞),r→>0小圆弧引理; ln:(r,2)=0,l2{r=(0,)q≠2xN/(n+1=(∞,0),r→∞大圆弧引理。 亦即,高阶极点的一段圆弧的积分发散,而整个圆弧的回路积分为零:或者说, 虽然复平面是各向同性的,但是积分值与相对位相差相关}所以 f()d-ik(2-6 k f(=)- (2-a)f(-)-k) d ≤(z-a)f(-)-k 由于当a≤arg(z-a)≤O2,z→>a时,(x-a)f(x)一致地趋于k,这意味着任给

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 10 证明：因为 ( ) 2 1 d =  − −  i z a z CR ，所以 ( ) ( ) 2 1 ( )d ( ) d d ( ) ( ) d ( ) ( ) . R R R R C C C C K f z z iK f z z z a z z a f z K z a z z a f z K z a     − − = −     − = − − −  − − −     由于当 1 2   arg(z − a)  ， z → 时， (z − a) f (z) 一致地趋于 K ，这意味着任 给   0 ，存在[与 arg(z − a) 无关，D 内各向同性的] M ( )  0 ，使当 z a R M − =  时， (z − a) f (z) − K   ，所以 ( ) ( ) d 2 1 2 1 ( ) −  −    − CR f z z iK （ , i z a Re  − = 大 模之比 R R/ 1= ，仅仅积分相位即可），即 ( ) d 2 1 lim ( ) =  −  → f z z iK R CR （方向正向）。 引 理 2(小 圆 弧 引 理 ) ：若函数 f (z) 在 区 域 D ： 0  z − a  r ， 1 2   arg(z − a)  上连续，且当 z z a ( D)  → 时， (z − a) f (z) 一致地趋于 k ， 则 ( 2 1 ) 0 lim ( )d Cr r f z z ik   → = −  ，其中 Cr 是以 a 为圆心， r 为半径，夹角为  2 −1 的 圆弧， 1 2 z a r z a − =  −  , arg( ) .   证明: 因为 ( ) 2 1 d =  − −  i z a z Cr ， ( ) 1 ( 1) 0 1 ( 1) 2 1 { ( , ) d d [ 1], , 1, 2, 1 i r z re n n i n n c n i n I r z z ir e r e N n          = + + + + = = = −  − =   +   1 I r i − ( , ) ;   = 0 [ (0, ), 2 / ( 1)] (0, ), n I r N n  =   + =    r →0 小圆弧引理； -1( ,2 ) 0; n I r   = -2[ (0, ), 2 / ( 1)] ( ,0), n I r N n  =   + =    r → 大圆弧引理。 亦即，高阶极点的一段圆弧的积分发散，而整个圆弧的回路积分为零；或者说， 虽然复平面是各向同性的，但是积分值与相对位相差相关} 所以 ( ) ( ) 2 1 ( )d ( ) d d d = ( ) ( ) ( ) ( ) . r r r r C C C C k f z z ik f z z z a z z z a f z k z a f z k z a z a     − − = −     − − −  − − − −     由于当 1 2   arg(z − a)  ， z →a 时， (z − a) f (z) 一致地趋于 k ，这意味着任给