第三节二重积分的应用 问题的提出 四二、曲面的面积 巴三、平面薄片的重心 四四、平面薄片的转动惯量 巴五、平面薄片对质点的引力 四六、小结思考题
一、问题的提出 A把定积分的元素法推广到二重积分的应用中 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 (即当闭区域D分成许多小闭区域时,所求量U相应 地分成许多部分量,且U等于部分量之和),并且 在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域do时, 相应地部分量可近似地表示为∫(x,y)do的形式, 牛其中(x,)在d内,这个(x,)称为所求量U 的元素,记为U,所求量的积分表达式为 U=lf(x,y)do D 上页
一、问题的提出 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. d d f (x, y)d (x, y) f (x, y)d 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 (即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应 地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且 在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时， 相应地部分量可近似地表示为 的形式， 其中 在 内．这个 称为所求量U 的元素，记为 ，所求量的积分表达式为 = D U f (x, y)d dU
庄三、曲面的面积 实例一颗地球的同步轨道通讯 卫星的轨道位于地球的赤道平面 卫星 内,且可近似认为是圆轨道.通h 庄的角速幸相同,即人们看到它在 天空不动.若地球半径取为R, 问卫星距地面的高度h应为多少? 通讯卫星的覆盖面积是多大? 上页
实例 一颗地球的同步轨道通讯 卫星的轨道位于地球的赤道平面 内，且可近似认为是圆轨道．通 讯卫星运行的角速率与地球自转 的角速率相同，即人们看到它在 天空不动．若地球半径取为R， 问卫星距地面的高度h 应为多少？ 通讯卫星的覆盖面积是多大？ 二、曲面的面积 卫星 h o x z
1.设曲面的方程为:z=f(x,y) 上在xoy面上的投影区域为D, 如图,设小区域do∈D, dA 点(x,y)∈dσ, ∑为S上过M(x,y,f(x,y) (x,y) J do 的切平面 以如边界为准线,母线平行于z轴的小 柱面,截曲面s为d;截切平面∑为dA, 则有dA≈d 上页
１．设曲面的方程为： z = f (x, y) 在 xoy 面上的投影区域为 D, 设小区域 d D, 点(x, y) d , . ( , , ( , )) 的切平面 为 S 上过 M x y f x y dA ds. s ds dA d z 则有 柱面，截曲面 为 ；截切平面 为 ， 以 边界为准线，母线平行于 轴的小 如图， d (x, y) M dA x y z s o
do为l4在xoy面上的投影,dσ=d4.cosy, C0s=;,2,2 +x+ 王:M=+2+fh曲面S的面积元素 工工工 A=「「1+2+f2lo, D 曲面面积公式为:A=1+()2+()d D 上页
d 为dA 在 xoy 面上的投影, d = dA cos , , 1 1 cos 2 2 x y + f + f = dA = + f x + f y d 2 2 1 1 , 2 2 = + + D A f x f y d 曲面S的面积元素 曲面面积公式为： A dxdy Dxy y z x z = + + 2 2 1 ( ) ( )