第十节最小二乘法 巴一、经验公式 最小二乘法 小结
、经验公式 在工程问题中,常常需要根据两个变量的 几组实验数值—实验数据,来找出这两个变 量的函数关系的近似表达式.通常把这样得到 的函数的近似表达式叫做经验公式 问题:如何得到经验公式,常用的方法是什么? 上页
在工程问题中，常常需要根据两个变量的 几组实验数值——实验数据，来找出这两个变 量的函数关系的近似表达式．通常把这样得到 的函数的近似表达式叫做经验公式. 一、经验公式 问题：如何得到经验公式，常用的方法是什么？
生二、最小二乘法 例1为了测定刀具的磨损速度,我们做这样的 实验:经过一定时间(如每隔一小时),测量一 次刀具的厚度,得到一组试验数据如下: 顺序编号01234567 工工工 时间t(小时)01234567 刀具厚度y(毫米)27.026.8265263261257253243 试根据上面的试验数据建立y和t之间的经验公 式y=f(t) 上页
二、最小二乘法 例1 为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的 实验：经过一定时间(如每隔一小时)，测量一 次刀具的厚度,得到一组试验数据如下： 顺序编号i 0 1 2 3 4 5 6 7 时间 i t (小时) 0 1 2 3 4 5 6 7 刀具厚度 i y (毫米) 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.3 试根据上面的试验数据建立 y 和 t 之间的经验公 式 y = f (t)
解首先确定f()的类型 如图,在坐标纸上画出 27 王这些点,观察可以认为 26 y=f()是线性函数, 25 并设∫(t)=mt+b,其中 24 工工工 a和b是待定常数 012345678 因为这些点本来不在一条直线上,我们只 中能要求选取这样的a,b,使得f()=a+b在 6,t1;…,t处的函数值与实验数据y0,y1…,y相 差都很小 上页
观察可以认为 y = f (t)是线性函数, 并设 f (t) = at + b,其 中 a和b是待定常数. t y o 1 2 3 4 5 6 7 8 24252627 如图，在坐标纸上画出 这些点， 因为这些点本来不在一条直线上，我们只 能要求选取这样的 ，使得 在 处的函数值与实验数据 相 差都很小． a,b f (t) = at + b 0 1 7 t ,t , ,t 0 1 7 y , y , y 解 首先确定 f (t)的类型
就是要使偏差 y1-f(t1)(i=0,1,2,…,7)都很小. 因此可以考虑选取常数a,b,使得 M=∑[v-(a1+b) 最小来保证每个偏差的绝对值都很小 牛定义这种根据偏差的平方和为最小的条件来选 上择常数a,b的方法叫做最小二乘法 这种确定常数的方法是通常所采用的 王页下贡
就是要使偏差 y − f (t ) (i = 0,1,2, ,7) i i 都很小. 因此可以考虑选取常数 a,b ，使得 = = − + 7 0 2 ( ) i M yi ati b 定义 这种根据偏差的平方和为最小的条件来选 择常数 a,b 的方法叫做最小二乘法． 这种确定常数的方法是通常所采用的. 最小来保证每个偏差的绝对值都很小．