第五节隐函数的求导公式 巴一、一个方程的情形 巴二、方程组的情形 四三、小结思考题
生一、一个方程的情形 1.F(x,y)=0 隐函数存在定理1设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的 某一邻域内具有连续的偏导数,且F(x0,y)=0 F,(x0,y0)≠0,则方程F(x,y)=0在点P(x0,y0)的 工工工 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数y=f(x),它满足条件y=∫(x),并 有 隐函数的求导公式 王页下
1. F(x, y) = 0 一、一个方程的情形 隐函数存在定理 1 设函数F( x, y)在点 ( , ) 0 0 P x y 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0 , y0 ) = 0， Fy (x0 , y0 ) 0，则方程F( x, y) = 0在点 ( , ) 0 0 P x y 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数 y = f ( x)，它满足条件 ( ) 0 x0 y = f ，并 有 y x F F dx dy = − . 隐函数的求导公式
例1验证方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且x=0时y=1 的隐函数y=∫(x),并求这函数的一阶和二阶导 数在x=0的值 解令F(x,y)=x2+y2-1 则F=2x,F,=2y, F(0,1)=0,F,(0,1)=2≠0, 依定理知方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x=0时y=1的 函数y=∫(x) 上页
例１ 验证方程 1 0 2 2 x + y − = 在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且x = 0时y = 1 的隐函数y = f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在x = 0的值. 解 令 ( , ) 1 2 2 F x y = x + y − 则 F 2 x , x = F 2 y , y = F ( 0 , 1 ) = 0 , ( 0,1 ) = 2 0, Fy 依定理知方程 1 0 2 2 x + y − = 在点(0,1)的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x = 0 时y = 1的 函数 y = f (x)．
函数的一阶和二阶导数为 F y 0 dx F d x x=0 d2yy-切,y-1/t = d 2 2 2 3 d -1 X= 上页
函数的一阶和二阶导数为 y x F F dx dy = − , y x = − 0, 0 = dx x= dy 2 2 2 y y xy dx d y − = − 2 y y x y x − − = − , 1 3 y = − 1. 0 2 2 = − x= dx d y
例2已知mx2+y2= arctan y,求 解令F(x,y)=nx2+y2- arctan 则F(x,y) xt y y-x 25 (x,y) 25 r t y r ty 中Fx+y 一 dx F y- 上页
例 2 已知 x y ln x y arctan 2 2 + = ，求 dx dy . 解 令 则 ( , ) ln arctan , 2 2 x y F x y = x + y − ( , ) , 2 2 x y x y F x y x + + = ( , ) , 2 2 x y y x F x y y + − = y x F F dx dy = − . y x x y − + = −