第二节二重积分的计算法(3) 一、二重积分的换元法 巴二、小结思考题
一、二重积分的换元法 平面上同一个点,直角坐标与极坐标之 间的关系为 x=rcos B, ly=rsin e 上式可看成是从直角坐标平面r0到直角 坐标平面xoy的一种变换,即对于ro平 牛面上的一点M(r,通过上式变换,变 成xoy平面上的一点M(x,y),且这种变 换是一对一的 上页
一、二重积分的换元法 = = sin . cos , y r x r 间的关系为 平面上同一个点，直角坐标与极坐标之 坐标平面 的一种变换， 上式可看成是从直角坐标平面 到直角 xoy ro 换是一对一的． 成 平面上的一点 ，且这种变 面上的一点 ，通过上式变换，变 即对于 平 ( , ) ( , ) xoy M x y M r ro
庄定理设∫(x,)在x平面上的闭区域D上 连续,变换T:x=x(u,),y=y(a,n) 将uov平面上的闭区域D变为xoy平面上的D, 且满足 (1)x(u,v,y(u,v)在D′上具有一阶连续偏导数 a(x,y) (2)在D上雅可比式J(u,yy=a(1y 庄(3)变换r:D→D是-对一的,则有 u,v)auav 上页
( , ) [ ( , ), ( , )] ( , ) . (3) : 0; ( , ) ( , ) (2) ( , ) (1) ( , ), ( , ) : ( , ), ( , ) ( , ) = → = = = D D f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv T D D u v x y D J u v x u v y u v D uov D xoy D T x x u v y y u v f x y xoy D 变 换 是一对一的，则有 在 上雅可比式 在 上具有一阶连续偏导数； 且满足 将 平面上的闭区域 变 为 平面上的 ， 连续，变换 定 理 设 在 平面上的闭区域 上
王例1计算』e+dd其中D由x轴、轴和直 D 线x+y=2所围成的闭区域 解令u=y-x,v=y x+y=2 D 则x= v-u vu J 2 2 D→D,即x=0→u=-v; y=0→>u=1 u=-v u= y x+y=2→V=2 u 王页下
例 1 解 线 所围成的闭区域． 计算 其中 由 轴、 轴和直 2 , + = +− x ye dxdy D x y D y x y x 令 u = y − x, v = y + x, . 2 , 2 v u y v u x + = − 则 = D → D , D x yo x + y = 2 D u vo u = −v u = v v = 2 2 2. 0 ; 0 ; + = → = = → = = → = − x y v y u v 即 x u v
d(x, y) a(u 2 2 2 故 e)+r dxdy=lle dh e 二 2
( , ) ( , ) u v x y J = , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = − − = + − = − D v u D y x y x e dxdy e dudv 2 1 故 − = v v v u dv e du 2 2 0 1 − = − 2 0 1 ( ) 2 1 e e vdv . −1 = e − e