《高等数学》课程教学资源：全微分及其应用

第三节全微分及其应用 全微分的定义 二、可微的条件 三、小结思考题

、全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 王f(x+△x,y)-f(x,y)=f(x,y)△x E (x, J+4y)-f(x,D-f,(x, )Ay 工工 元函数 二元函数 对x和对y的偏增量对x和对y的偏微分 上页

f (x + x, y) − f (x, y)  f x (x, y)x f (x, y + y) − f (x, y) f x y y  y ( , ) 二元函数 对x 和对y 的偏微分 二元函数 对x 和对y 的偏增量 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 一、全微分的定义

全增量的概念 c如果函数z=f(x,y)在点(x,)的某邻域内 有定义,并设P(x+△x,y+△y)为这邻域内的 上任意一点,则称这两点的函数值之差 ∫(x+△x,y+△y)-∫(x,y) 为函数在点P对应于自变量增量△κ,△y的全增 量,记为△ 2即A=f(x+△x,y+y)-f(x,) 上页

如果函数z = f ( x, y)在点(x, y)的某邻域内 有定义，并设P(x + x, y + y)为这邻域内的 任意一点，则称这两点的函数值之差 f ( x + x, y + y) − f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x,y 的全增 量，记为z， 即 z= f ( x + x, y + y) − f ( x, y) 全增量的概念

全微分的定义 如果函数x=f(x,y)在点(x,y)的全增量 王△x=J(x+△,y+Ay)-(x,)可以表示为 △=A△x+BN+o(p),其中A,B不依赖于 △x,4y而仅与,y有关,P=√(△)2+(△p2 工工工 则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分, AAx+B△y称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的 全微分,记为h,即△+B 上页

如果函数z = f ( x, y)在点(x, y)的全增量 z = f ( x + x, y + y) − f ( x, y)可以表示为 z = Ax + By + o( )，其中A, B不依赖于 x,y而仅与x, y有关， 2 2  = (x) + (y) ， 则称函数z = f ( x, y)在点(x, y)可微分， Ax + By称为函数z = f ( x, y )在点(x, y)的 全微分，记为dz，即 dz=Ax + By . 全微分的定义

函数若在某区域D内各点处处可微分, 则称这函数在D内可微分 王如果函数z=(x1)在点(xy)可微分,则 的数在该点连续 事实上△z=A△x+BAy+(),lm△z=0 lim f(+Ax,y+Ay=limff(x, y)+Az p>0 △→0 f(,y) 王故函数z=/(x,在点(x,处连续 上页

函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分. 如果函数z = f (x, y)在点(x, y) 可微分, 则 函数在该点连续. 事实上 z = Ax + By + o(), lim 0, 0  = → z  lim ( , ) 0 0 f x x y y y x +  +   →  → lim[ ( , ) ] 0 = f x y + z → = f (x, y) 故函数z = f (x, y)在点(x, y)处连续