第八节多元函数的极值及其求法 问题的提出 多元函数的极值和最值 条件极值拉格朗日乘数法 巴四、小结思考题
王、问题的提出 实例:某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子每 瓶进价1元,外地牌子每瓶进价12元,店主估 计,如果本地牌子的每瓶卖x元,外地牌子的 每瓶卖y元,则每天可卖出70-5x+4y瓶本 地牌子的果汁,80+6x-7y瓶外地牌子的果汁 问:店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可 工工工 取得最大收益? 每天的收益为f(x,y)= (x-1)(70-5x+4)+(y-1.2)(80+6x-7) 求最大收益即为求二元函数的最大值 王页下
实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每 瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估 计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的 每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本 地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁 问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可 取得最大收益？ x y 70 − 5x + 4y 80 + 6x − 7 y 每天的收益为 f (x, y) = (x −1)(70 − 5x + 4y) + ( y −1.2)(80 + 6x − 7 y) 求最大收益即为求二元函数的最大值. 一、问题的提出
王二、多元函数的极值和最值 观察二元函数z= dy 的图形 y 播放 上页
二、多元函数的极值和最值 观察二元函数 x 2 y 2 的图形 e xy z + = − 播放
庄1、二元函数极值的定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y)的某邻域内 王有定义,对于该邻域内异于x,)的点(xy) 若满足不等式∫(x,y)<∫(x,y),则称函数 在(x0,y)有极大值;若满足不等式 f(x,y)>f(x0,y0),则称函数在(x,y)有极 工工工 小值; 上极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 上页
设函数z = f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于( , ) 0 0 x y 的点(x, y)： 若满足不等式 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y ，则称函数 在 ( , ) 0 0 x y 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y ，则称函数在( , ) 0 0 x y 有 极 小值； 1、二元函数极值的定义 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点
例1函数 =3x2+4y2 在(0,0)处有极小值 (1) 例2函数z=-x2+p2 (2) 午在(0处有极大值 王例3函数z= c在(0)0处无极值 3 上页
(1) (2) (3) 例 1 在 处有极小值． 函数 (0,0) 3 4 2 2 z = x + y 例２ 在 处有极大值． 函数 (0,0) 2 2 z = − x + y 例３ 在 处无极值． 函数 (0,0) z = xy