第四节多元复合函数的 求导法则 链式法则 二、全微分形式不变性 巴三、小结思考题
、链式法则 定理如果函数u=y()及v=v(t)都在点可 导,函数z=∫(,)在对应点(u,ν)具有连续偏 导数,则复合函数z=d(t),y()在对应点可 导,且其导数可用下列公式计算: dz oz du oz du 十 dt ou dt ay dt c证设t获得增量△ 则△n=p(+△t)-(t),△v=y(t+△r)-y(1);
证 则 u = (t + t) − (t), v = (t + t) − (t); 一、链式法则 定理 如果函数u = (t)及v = (t)都在点t 可 导，函数z = f (u,v)在对应点(u,v) 具有连续偏 导数，则复合函数z = f [(t), (t)]在对应点t 可 导，且其导数可用下列公式计算： dt dv v z dt du u z dt dz + = ． 设 t 获得增量 t
由于函数z=f(u,)在点u,)有连续偏导数 △z=0A,b z △v+E1A+E2△ν, au 当A→0,△ν→0时,E1→>0,62>0 △zOz△uOz△v Nu+6△t △p △tOu△tOy△t △t 牛当△→0时,△n→0,△y→0 △ △ydt △tdt △tdt 上页
由于函数z = f (u,v)在点(u,v) 有连续偏导数 , 1 2 v u v v z u u z z + + + = 当u → 0，v → 0时， 1 → 0， 2 → 0 t v t u t v v z t u u z t z + + + = 1 2 当t → 0时， u → 0，v → 0 , dt du t u → , dt dv t v →
d △ z a du oz d =lim= dtM→0△ t au dt av dt 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况 勿给 dt au dt ay dt ow dt u p t 牛以上公式中的导数称为金号数 上页
lim . 0 dt dv v z dt du u z t z dt dz t + = = → 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz + + = u v w z t 以上公式中的导数 称为全导数. dt dz
上定理还可推广到中间变量不是一元函数 王而是多元函数的情况:z=16(xyy(x,y 如果u=(x,y)及v=v(x,y)都在点x,y) 具有对x和y的偏导数,且函数z=f(u,)在对应 牛点(x)具有连续偏导数,则复合函数 z=∫y(x,y),y(x,y)在对应点x,y)的两个偏 导数存在,且可用下列公式计算 oz oz au az av az az au 十 z ax au ax av ax ay au ay av aj 上页 圆
上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： z = f[(x, y),(x, y)]. 如果u = (x, y)及v = ( x, y)都在点(x, y) 具有对x和y 的偏导数，且函数z = f (u,v)在对应 点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数 z = f [(x, y), (x, y)]在对应点(x, y) 的两个偏 导数存在，且可用下列公式计算 x v v z x u u z x z + = ， y v v z y u u z y z + =