第二节偏导数 四一、偏导数的定义及其计算法 巴二、高阶偏导数 四三、小结思考题
压-编偏导数的定义及其计算法 定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y)的某一邻 域内有定义,当固定在y而在。处有增量 △x时,相应地函数有增量 ∫(x0+△x,yv)-f(x0,y), 如果mnf(+△)=y存在,则称 0 △x 上此极限为函数=f(x,)在点x,1)处对的 偏导数,记为 上页
定义 设函数z = f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 的某一邻 域内有定义，当y 固定在 0 y 而x 在x0 处有增量 x时，相应地函数有增量 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + x y − f x y ， 如果 x f x x y f x y x + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在，则称 此极限为函数z = f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 处对x 的 偏导数，记为 一、偏导数的定义及其计算法
z of Oxx=xo ax x=xo ,zxxx或f(x,y) y=yO y=y Vy=o 同理可定义函数z=f(x,y)在点(x,y)处对y 的偏导数,为 f(x0,y+△y)-∫(x,y0) m △y→>0 △y 记为 az avls z或/(x,y) O yx y=yo J=JO Vo 上页
同理可定义函数z = f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 处对y 的偏导数， 为 y f x y y f x y y + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 记为 0 0 y y y x x z = = ， 0 0 y y y x x f = = ， 0 0 y y x x y z = = 或 ( , ) 0 0 f x y y . 0 0 y y x x x z = = ， 0 0 y y x x x f = = ， 0 0 y y x x x z = = 或 ( , ) 0 0 f x y x
如果函数z=∫(x,y)在区域D内任一点 (x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数 就是x、y的函数,它就称为函数乙=f(x,y)对 自变量x的偏导数, 记作 ,z或f(x,y) ax ax 同理可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导 数,记作 Q’,或/(x,) 上页
如果函数z = f ( x, y)在区域D 内任一点 (x, y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是x、y的函数，它就称为函数z = f ( x, y)对 自变量x的偏导数， 记作 x z ， x f ， x z 或 f (x, y) x . 同理可以定义函数z = f ( x, y)对自变量y 的偏导 数，记作 y z ， y f ， y z 或 f (x, y) y
偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如W=f(x,y2x)在(x,y,z)处 f∫(x,y,3)=lim f∫(x+△x,y,x)-f(x,y,z) Av→>0 △v ∫p(x,y,z) ∫(x,y+△y,z)-f(x,y,z) 9 △y→>0 △ f(x, y, )=lim ∫(x,y,z+△z)-∫(x,y,z) △z→0 上页
偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 u = f (x, y,z) 在 (x, y,z) 处 , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 x f x x y z f x y z f x y z x x + − = → , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 y f x y y z f x y z f x y z y y + − = → . ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 z f x y z z f x y z f x y z z z + − = →