第九节二元函数的泰勒公式 问题的提出 二元函数的泰勒公式 极值充分条件的证明 巴四、小结
庄-、问题的提出 一元函数的泰勒公式 f(x)=∫(x)+∫(x0)(x-x 2(x-)+…f(x) x- n (+(xn+6(x-x (x-xn)(0<6<1) (n+1) 意义:可用n次多项式来近似表达函数(x),且 误差是当x→x时比(x-x0)"高阶的无穷小 上页 圆
一、问题的提出 ( ) ( ) (0 1). ( 1)! ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 0 0 0 ( 1) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 − + + − + − + + − + = + − + + n n n n x x n f x x x x x n f x x x f x f x f x f x x x 一元函数的泰勒公式： 意义：可用n次多项式来近似表达函数 f (x)， 且 误差是当x → x0时比 n (x x ) − 0 高阶的无穷小．
问题:能否用多个变量的多项式来近似表达一个 给定的多元函数,并能具体地估算出误差的大小 即设乙=f(x,y)在点(x,y)的某一邻域内连续 c且有直到n+1阶的连续偏导数,(x+b,ynp+h) 为此邻域内任一点,能否把函数∫(x+l,yn+k) 工工工 近似地表达为h=x-x0,k=y-y的n次多项 午式,且误差是当P=b+k2→0时比p高阶的 无穷小 上页
问题： 能否用多个变量的多项式来近似表达一个 给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小. 即 设z = f (x, y)在 点( , ) 0 0 x y 的某一邻域内连续 且有直到n + 1阶的连续偏导数, ( , ) x0 + h y0 + h 为此邻域内任一点,能否把函数 ( , ) 0 0 f x + h y + k 近似地表达为 0 0 h = x − x ,k = y − y 的 n 次多 项 式，且误差是当 0 = h 2 + k 2 → 时 比 n 高阶的 无穷小．
生二、二元函数的泰勒公式 定理设z=f(x,y)在点(x,y)的某一邻域内连 续且有直到n+1阶的连续偏导数,(x+h,y+h) 为此邻域内任一点,则有 f(xo+h, yo+h)=f(o, yo)+ h+ka f(xo, yo) 工工工 1,0 000 +1h+k f(x,y)+…+h。+k。f(x,y) 2!(Ox ni ax n+1 h-+k n+1)! f(x+h,yn+6),(0<6<1) 王页下
定 理 设z = f (x, y)在 点( , ) 0 0 x y 的某一邻域内连 续且有直到n + 1阶的连续偏导数, ( , ) x0 + h y0 + h 为此邻域内任一点,则有 二、二元函数的泰勒公式 ( , ), (0 1) ( 1)! 1 ( , ) ! 1 ( , ) 2! 1 ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 + + + + + + + + + + + + + = + + f x h y k y k x h n f x y y k x h n f x y y k x h f x y y k x f x h y h f x y h n n
A甲记号 h。+k。f(x,y) 表示f(x0,y)+f,(x0,y), 工工工 h。+k。f(x,y) x ay 表示h2f(x2y)+M(x,y)+k2f(x1,y 上页
其中记号 ( , ) 0 0 f x y y k x h + ( , ) ( , ), 0 0 0 0 hf x y kf x y 表示 x + y ( , ) 0 0 2 f x y y k x h + 表示 ( , ) 2 ( , ) ( , ), 0 0 2 0 0 0 0 2 h f x y hkf x y k f x y x x + x y + yy