同理可得 王2·设曲面的方程为:x=8(y2) 曲面积公式为:A=1+()+()dh D 3.设曲面的方程为:y=h(x,x) 工工工 曲面面积公式为:A= 1+ oy+ +(e)d dzdx D Zx 上页
３．设曲面的方程为： y = h(z, x) 曲面面积公式为： 1 ( ) ( ) . 2 2 A dzdx Dzx x y z y = + + ２．设曲面的方程为： x = g( y,z) 曲面面积公式为： 1 ( ) ( ) ; 2 2 A dydz Dy z z x y x = + + 同理可得
例1求球面x2+y2+z2=a2,含在圆柱体 x2+y2=ax内部的那部分面积 解由对称性知A=441, D1:x2+y2≤a(x,y≥0) 曲面方程z=a2-x2-y 0.5 于是 1+()+( y 上页
例 1 求球面 2 2 2 2 x + y + z = a ，含在圆柱体 x + y = ax 2 2 内部的那部分面积. 由对称性知A = 4A1 , D1：x + y ax 2 2 曲面方程 2 2 2 z = a − x − y , 于是 ( ) ( ) 2 2 1 y z x z + + , 2 2 2 a x y a − − = 解 (x, y 0)
面积A=41+x2+zd D 中y Di 4 0 2 2 T 4 上
面积A z z dxdy D = + x + y 1 2 2 4 1 − − = 1 2 2 2 4 D dxdy a x y a − = cos 0 0 2 2 1 4 2 a rdr a r a d 2 4 . 2 2 = a − a
例2求由曲面x2+y2=z和z=2a-√x2+y2 (a>0)所围立体的表面积 解解方程组 x ty =az z=2a-√x2+y 2 2 得两曲面的交线为圆周 r ty=a Z=a 在平面上的投影域为D:x2+y2≤a2, 由z=(x2+y2)得x 2x y 上页
例 2 求由曲面x + y = az 2 2 和 2 2 z = 2a − x + y (a 0)所围立体的表面积. 解 解方程组 , 2 2 2 2 2 = − + + = z a x y x y az 得两曲面的交线为圆周 , 2 2 2 = + = z a x y a 在 xy 平面上的投影域为 : , 2 2 2 Dxy x + y a 由 ( )得 1 2 2 x y a z = + , 2 a x zx = , 2 a y z y =
1+x+xy=1/+/<) 2y 十 1 a2+4x2+4y2 由z=2a-√x2+y2知1+z2+2=2 故S=』a2+4x2+4y2d+、2 D y 2兀 d0"、a2+4r2.rr+√2na2 0 0 a 2 T (62+55-1) 6 上页
+ + = 2 2 1 x y z z 2 2 2 2 1 + + a y a x 4 4 , 1 2 2 2 a x y a = + + 由z = 2a − x 2 + y 2知 + + = 2 2 1 x y z z 2, a x y dxdy a S Dxy = + + 2 2 2 4 4 1 故 dxdy Dxy + 2 a r rdr a d a = + 0 2 2 2 0 4 1 2 + 2a (6 2 5 5 1). 6 2 + − = a