第一章集合与常用逻辑用语 2.存在量词与存在量词命题 续表 存在一个、至少有一个、有一个、有些、对某 “存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号 存在量词 形式 些、有的 简记为“3x∈M,(x)” 微思考全称量词命题和存在量词命题中是否一定 符号表示 3 含有全称量词和存在量词？ 提示全称量词命题不一定含有全称量词.如：命题“正 存在量词命题 含有存在量词的命题 方形是特殊的菱形”，该命题中没有全称量词」 课堂 重难突破 全称量词命题与存在量词命题的判断 (3)假命题.当x=0时，x2-3x十2≠0. (4)真命题.当x=2或x=1时，有x2-3x十2=0成立 典例剖析 规律总结1.判断全称量词命题为真时，必须对限定 1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题 的集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立：但要判定 (1)凸多边形的外角和等于360°： 全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个 (2)有些素数的和仍是素数； x,使p(x)不成立即可， (3)存在一个菱形，它的对角线不互相垂直： 2.判断存在量词命题为真时，只要在限定的集合M (4)所有自然数的平方是正整数. 中，找到一个x,使p(x)成立即可，否则这一命题就是假 解(1)命题可以改写为“所有凸多边形的外角和等于 命题 360”,故为全称量词命题. (2)含有存在量词“有些”，故为存在量词命题 三 含有全称量词与存在量词的命题的应用 (3)含有存在量词“存在一个”，故为存在量词命题. 典例剖析 (4)含有全称量词“所有”，故为全称量词命题」 3.(1)若命题“Hx∈{x|1≤x≤2}，a≥x”是真命题，则 规律总结」判定命题是全称量词命题还是存在量词命 a的取值范围是 题，主要看命题中含有全称量词还是存在量词.要注意有 (2)若命题“3x∈{x|1≤x≤2}，a≥x”是真命题，则a 些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们要根据命 的取值范围是 题涉及的意义去判断。 答案(1)a≥2(2)a≥1 二全称量词命题和存在量词命题的真假判断 解析(1)由已知得a≥xm,所以a的取值范围是a≥2. (2)由已知得a≥xmm,所以a的取值范围是a≥l. 典例剖析 2.判断下列命题的真假： 规律总结」求解含有全称量词或存在量词的命题中参 数取值范围的方法 (1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示： (1)对于全称量词命题“Hx∈M,a>y(或a<y)” (2)存在一个实数x,使得等式x2+x十8=0成立： 为真的问题（其中y是关于x的函数），实质就是不等式 (3)Vx∈R,x2-3x+2=0: 恒成立问题，通常转化为求y的最大值（或最小值），即 (4)3x∈R,x2-3x+2=0. a>ymx（或a<ym). 解(1)假命题，如边长为1的正方形的对角线的长为 (2)对于存在量词命题“3x∈M,a>y(或a<y)” √反，不是正有理数 为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求 (2)假命题.因为△=12-4×1×8=一31<0，所以方程 y的最小值（或最大值），即a>ymm(或a<ymx), 无实数解 课后·训练提升 基础·巩固 D.菱形的对角线互相垂直 答案ABD 1.(多选题)下列命题是全称量词命题的是( 解析选项A,B,D中的命题都是全称量词命题，选项C A.一次函数的图象都是上升的或下降的 中的命题是存在量词命题 B.对任意x∈R,x十1<0 2.下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是() C.存在实数大于或者等于3 A.斜三角形的内角是锐角或钝角 21
第一章 集合与常用逻辑用语 2.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、对某 些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有 存在量词 的命题 续 表 形式 “存在M 中的元素x,p(x)成立”可用符号 简记为“∃x∈M,p(x)” 微思考 全称量词命题和存在量词命题中是否一定 含有全称量词和存在量词? 提示 全称量词命题不一定含有全称量词.如:命题“正 方形是特殊的菱形”,该命题中没有全称量词. 课堂·重难突破 一 全称量词命题与存在量词命题的判断 典例剖析 1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于360°; (2)有些素数的和仍是素数; (3)存在一个菱形,它的对角线不互相垂直; (4)所有自然数的平方是正整数. 解 (1)命题可以改写为“所有凸多边形的外角和等于 360°”,故为全称量词命题. (2)含有存在量词“有些”,故为存在量词命题. (3)含有存在量词“存在一个”,故为存在量词命题. (4)含有全称量词“所有”,故为全称量词命题. 判定命题是全称量词命题还是存在量词命 题,主要看命题中含有全称量词还是存在量词.要注意有 些全称量词命题并不含有全称量词,这时我们要根据命 题涉及的意义去判断. 二 全称量词命题和存在量词命题的真假判断 典例剖析 2.判断下列命题的真假: (1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示; (2)存在一个实数x,使得等式x2+x+8=0成立; (3)∀x∈R,x2-3x+2=0; (4)∃x∈R,x2-3x+2=0. 解 (1)假命题.如边长为1的正方形的对角线的长为 2,不是正有理数. (2)假命题.因为Δ=12-4×1×8=-31<0,所以方程 无实数解. (3)假命题.当x=0时,x2-3x+2≠0. (4)真命题.当x=2或x=1时,有x2-3x+2=0成立. 1.判断全称量词命题为真时,必须对限定 的集合M 中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判定 全称量词命题是假命题,只要能举出集合 M 中的一个 x,使p(x)不成立即可. 2.判断存在量词命题为真时,只要在限定的集合 M 中,找到一个x,使p(x)成立即可,否则这一命题就是假 命题. 三 含有全称量词与存在量词的命题的应用 典例剖析 3.(1)若命题“∀x∈{x|1≤x≤2},a≥x”是真命题,则 a的取值范围是 ; (2)若命题“∃x∈{x|1≤x≤2},a≥x”是真命题,则a 的取值范围是 . 答案 (1)a≥2 (2)a≥1 解析 (1)由已知得a≥xmax,所以a的取值范围是a≥2. (2)由已知得a≥xmin,所以a的取值范围是a≥1. 求解含有全称量词或存在量词的命题中参 数取值范围的方法 (1)对于全称量词命题“∀x∈M,a>y(或a<y)” 为真的问题(其中y是关于x 的函数),实质就是不等式 恒成立问题,通常转化为求y 的最大值(或最小值),即 a>ymax(或a<ymin). (2)对于存在量词命题“∃x∈M,a>y(或a<y)” 为真的问题,实质就是不等式能成立问题,通常转化为求 y的最小值(或最大值),即a>ymin(或a<ymax). 课后·训练提升 基础 巩固 1.(多选题)下列命题是全称量词命题的是( ) A.一次函数的图象都是上升的或下降的 B.对任意x∈R,x+1<0 C.存在实数大于或者等于3 D.菱形的对角线互相垂直 答案 ABD 解析 选项 A,B,D中的命题都是全称量词命题,选项 C 中的命题是存在量词命题. 2.下列四个命题中,既是全称量词命题又是真命题的是( ) A.斜三角形的内角是锐角或钝角 21
数学 必修 第一册 配人教A版 B.至少有一个实数x,使x>0 9.已知命题p:3x∈R,一x2十1>a,若p是真命题，则实数 C.任意自然数的平方必大于0 a的取值范围是( D.存在一个负数x,使上>2 A.a<1 B.a≤1 答案A C.0<a1 解析只有A,C两个选项中的命题是全称量词命题，且A D.a>-1 中命题显然为真命题.因为0是自然数，而0=0不大于 答案A 0,所以C中命题为假命题 解析因为x∈R, 3.下列命题是假命题的是( 所以一x2十1的最大值为1. A.对任意的实数a,b,都有a2+b2-2ab≥0 所以a的取值范围是a<1. B.3x∈Z,x2=2 10.给出下列说法：①同一平面内存在两条相交直线，它们垂 C.二次函数y=x2一a.x-1的图象与x轴恒有交点 直于同一条直线；②所有正整数都能被2或3整除；③所 D.偶数的平方还是偶数 有的梯形都是圆内接四边形：④存在一个直角三角形，它 答案B 的两个锐角相等.其中正确的是 (填序号). 解析对于A,因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0，故A为真 答案④ 命题；对于B,当x2=2时，x=士√瓦为无理数，故B为假 11.已知函数y=x2-2x十5，若至少存在一个实数x,使不 命题；对于C,因为方程x2-a.x-1=0的判别式△=a2+ 等式m一y>0成立，求实数m的取值范围. 4>0恒成立，所以函数y=x2-ax-1的图象与x轴恒 解不等式m一y>0可化为m>y,若至少存在一个实 有交点，故C为真命题：易知D为真命题」 数x,使不等式m>y成立，只需m>ymm.因为y=x2 4.下列命题是真命题的是() 2x十5=(x-1)2十4，所以y=4,所以m>4.所以实数 A.有一个实数x,使反<0 m的取值范国是m>4, B.存在一个不能被2整除的偶数 拓展·提高 C.有些三角形是等边三角形 D.存在一个三角形，没有外接圆 1.下列命题中的真命题是() 答案C A.Hx∈R,x2+2x+1>0 B.Hx∈R,x2+1>0 5.下列命题是全称量词命题且为真命题的是( C.3x∈N,2x2=7 A.存在一个实数大于3 D.3x∈R,x2-1<-1 B.菱形的对角线不相等 答案B C.有些小数不是实数 D.圆是中心对称图形 解析对于A,当x=-1时，x2十2x十1=0，故为假命题； 答案D 对于C,当2=7时，江=士)EN,故为假命题：对于 2 6.下列命题是存在量词命题且为假命题的是( A存在两个全等三角形，它们的周长不相等 D,因为x2≥0，所以x2-1≥-1，故为假命题. B.所有的三角形都不是钝角三角形 2.已知a>0,则“xo满足关于x的方程ax=b”的充要条件 是() C.存在一个四边形，其四个顶点不共圆 D.3m∈R,使方程mx2十m.x十1=0无实根 A.3x∈R,2au2-br≥2az6-brg 答案A 1 1 7.若命题“二次函数y=(a一1)x2十x一1的图象开口向上” B.3x∈R,2ar2-br≤2ar6-bro 是真命题，则a的取值范围是( A.a<1 B.a≤l Cx∈R,2ar-br≥2 axo-bro C.a≥1 D.a>l 1 1 答案D D.Hx∈R,2ar2-bc≤zaz6-br0 8.给出下列说法：①有些不相似的三角形的面积相等，是真 答案C 命题；②a∈R,b∈R,使函数y=ax十b的图象经过第 解析由于a>0,令通数y=ar2-hc=a(-台）) 一、第二、第三象限，是假命题：③正数的平方根不等于0， 是真命题：④对任意的两个非空集合，A∩B≠心，是假命 故此函数图象的开口向上，且当工=之时，取得最小 b2 题.其中正确说法的个数是() A.1 B.2 值 2a,而z0满足关于x的方程ar=b,那么x。=么，故 C.3 D.4 答案C Hx∈R,2ar2-hz≥ 2ar6-bxo.故选C 22
数 学 必修 第一册 配人教 A版 B.至少有一个实数x,使x2>0 C.任意自然数的平方必大于0 D.存在一个负数x,使 1 x >2 答案 A 解析 只有A,C两个选项中的命题是全称量词命题,且A 中命题显然为真命题.因为0是自然数,而02=0不大于 0,所以C中命题为假命题. 3.下列命题是假命题的是( ) A.对任意的实数a,b,都有a2+b2-2ab≥0 B.∃x∈Z,x2=2 C.二次函数y=x2-ax-1的图象与x 轴恒有交点 D.偶数的平方还是偶数 答案 B 解析 对于A,因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,故A为真 命题;对于B,当x2=2时,x=± 2为无理数,故B为假 命题;对于C,因为方程x2-ax-1=0的判别式Δ=a2+ 4>0恒成立,所以函数y=x2-ax-1的图象与x 轴恒 有交点,故C为真命题;易知D为真命题. 4.下列命题是真命题的是( ) A.有一个实数x,使 x<0 B.存在一个不能被2整除的偶数 C.有些三角形是等边三角形 D.存在一个三角形,没有外接圆 答案 C 5.下列命题是全称量词命题且为真命题的是( ) A.存在一个实数大于3 B.菱形的对角线不相等 C.有些小数不是实数 D.圆是中心对称图形 答案 D 6.下列命题是存在量词命题且为假命题的是( ) A.存在两个全等三角形,它们的周长不相等 B.所有的三角形都不是钝角三角形 C.存在一个四边形,其四个顶点不共圆 D.∃m∈R,使方程mx2+mx+1=0无实根 答案 A 7.若命题“二次函数y=(a-1)x2+x-1的图象开口向上” 是真命题,则a的取值范围是( ) A.a<1 B.a≤1 C.a≥1 D.a>1 答案 D 8.给出下列说法:①有些不相似的三角形的面积相等,是真 命题;②∃a∈R,b∈R,使函数y=ax+b的图象经过第 一、第二、第三象限,是假命题;③正数的平方根不等于0, 是真命题;④对任意的两个非空集合,A∩B≠⌀,是假命 题.其中正确说法的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 9.已知命题p:∃x∈R,-x2+1>a,若p 是真命题,则实数 a的取值范围是( ) A.a<1 B.a≤1 C.0<a≤1 D.a>-1 答案 A 解析 因为x∈R, 所以-x2+1的最大值为1. 所以a的取值范围是a<1. 10.给出下列说法:①同一平面内存在两条相交直线,它们垂 直于同一条直线;②所有正整数都能被2或3整除;③所 有的梯形都是圆内接四边形;④存在一个直角三角形,它 的两个锐角相等.其中正确的是 (填序号). 答案 ④ 11.已知函数y=x2-2x+5,若至少存在一个实数x,使不 等式m-y>0成立,求实数m 的取值范围. 解 不等式m-y>0可化为m>y,若至少存在一个实 数x,使不等式m>y成立,只需m>ymin.因为y=x2- 2x+5=(x-1)2+4,所以ymin=4,所以m>4.所以实数 m 的取值范围是m>4. 拓展 提高 1.下列命题中的真命题是( ) A.∀x∈R,x2+2x+1>0 B.∀x∈R,x2+1>0 C.∃x∈N,2x2=7 D.∃x∈R,x2-1<-1 答案 B 解析 对于A,当x=-1时,x2+2x+1=0,故为假命题; 对于C,当2x2=7时,x=± 14 2 ∉N,故为假命题;对于 D,因为x2≥0,所以x2-1≥-1,故为假命题. 2.已知a>0,则“x0 满足关于x 的方程ax=b”的充要条件 是( ) A.∃x∈R, 1 2 ax2-bx≥ 1 2 ax 2 0-bx0 B.∃x∈R, 1 2 ax2-bx≤ 1 2 ax 2 0-bx0 C.∀x∈R, 1 2 ax2-bx≥ 1 2 ax 2 0-bx0 D.∀x∈R, 1 2 ax2-bx≤ 1 2 ax 2 0-bx0 答案 C 解析 由于a>0,令函数y= 1 2 ax2-bx= 1 2 a xb a 2 - b2 2a ,故此函数图象的开口向上,且当x= b a 时,取得最小 值- b2 2a ,而x0 满足关于x 的方程ax=b,那么x0= b a ,故 ∀x∈R, 1 2 ax2-bx≥ 1 2 ax 2 0-bx0.故选C. 22
第一章集合与常用逻辑用语 3.已知函数y=x2+bx十c,则“c<0”是“3xo∈R,使x+ 5.函数y=mx2十x一1的图象和x轴恒有公共点，求实数 bxo十c<0”的( m的取值范围。 A充分不必要条件 B.必要不充分条件 解当m=0时，函数y=x一1的图象与x轴有交点.当 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 m≠0时，由已知得函效数y=mx2十x一1对应方程的判别 答案A 武△=1十4m≥0，得m≥一，且m≠0.综上所述，m的 解析3x。∈R,使x。十bxo十c<0的充要条件是x2十bx十 c<0有解，即b2-4c>0,4c<b2.所以当c<0时，一定有 取值范围是m≥一 1 4 4c<b2,即3x。∈R,使x十bxo十c<0.反之，只要4c< b,则3x。∈R,使x十br。十c<0,不一定有c<0. 挑战·创新 故选A 已知命题“3x∈{x|-3≤x≤2}，3a十x一2=0”为真命 4.若“Hx∈{x-1≤x≤1}，x十1≤m”是真命题，求实数m 题，求实数a的取值范围. 的最小值 解由3a十x-2=0,得3a-2=-x.-3≤x≤2，∴.-2≤ 解由已知得m≥(x十1)m 因为一1x1, -≤3-2a-23,即0心a≤号 所以(x十1)n=2. 所以m≥2，所以m的最小值为2. 故实教a的取值范国是0心a<号 1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定 课前·基础认知 1含有一个量词的命题的否定 M,(x) 一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的 结论： 否定是全称量词命题. 全称量词命题p:Hx∈M,p(x),它的否定一p:3x∈ 2.命题的否定与原命题的真假 M,7p(x); 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一 存在量词命题p:3x∈M,p(x),它的否定Tp:Hx∈ 真一假 课堂·重难突破 全称量词命题的否定 规律总结」1.对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词.即： 典例剖析 全称量词(Y)改为存在量词(3). 1.写出下列命题的否定，并判断其真假， (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是” (1)不论m取何实数，方程x2+x一m=0必有实数根： “不成立”等 (2)等圆的面积相等： 对于省去了全称量词的全称量词命题的否定，一殼 (3)每个三角形至少有两个锐角」 先改写为含有全称量词的命题，再写出命题的否定 解(1)这一命题可以表述为“对所有的实数m,方程 2.全称量词命题否定后的真假判断方法 x2十x一m=0有实数根”，其否定形式是“存在实数m,使得 全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与 x2十x一m=0没有实数根” 全称量词命题的真假性相反：要说明一个全称量词命题 因为当△=12-4×1×(-m)=1十4m<0, 是假命题，只需举一个反例即可」 中m<一子时，一元二水方程：2十红一m=0淡有实 二 存在量词命题的否定 数根，所以原命题的否定是真命题 (2)这一命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否 典例剖析 定形式是“存在一对等圆，其面积不相等”.由等圆的概念知 2.写出下列命题的否定，并判断其真假 原命题的否定是假命题. (1)有一个奇数不能被3整除： (3)这一命题的否定是“有的三角形至多有一个锐角”， (2)有些三角形的三个内角都是60°： 由三角形的内角和为180°，知原命题的否定为假命题 (3)3x∈R,使得|x+1≤1. 23
第一章 集合与常用逻辑用语 3.已知函数y=x2+bx+c,则“c<0”是“∃x0∈R,使x 2 0+ bx0+c<0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 ∃x0∈R,使x 2 0+bx0+c<0的充要条件是x2+bx+ c<0有解,即b2-4c>0,4c<b2.所以当c<0时,一定有 4c<b2,即∃x0∈R,使x 2 0+bx0+c<0.反之,只要4c< b2,则∃x0∈R,使x 2 0+bx0+c<0,不一定有c<0. 故选 A. 4.若“∀x∈{x|-1≤x≤1},x+1≤m”是真命题,求实数m 的最小值. 解 由已知得m≥(x+1)max. 因为-1≤x≤1, 所以(x+1)max=2. 所以m≥2,所以m 的最小值为2. 5.函数y=mx2+x-1的图象和x 轴恒有公共点,求实数 m 的取值范围. 解 当m=0时,函数y=x-1的图象与x 轴有交点.当 m≠0时,由已知得函数y=mx2+x-1对应方程的判别 式Δ=1+4m≥0,得m≥- 1 4 ,且m≠0.综上所述,m 的 取值范围是m≥- 1 4 . 挑战 创新 已知命题“∃x∈{x|-3≤x≤2},3a+x-2=0”为真命 题,求实数a的取值范围. 解 由3a+x-2=0,得3a-2=-x.∵-3≤x≤2,∴-2≤ -x≤3,∴-2≤3a-2≤3,即0≤a≤ 5 3 . 故实数a的取值范围是0≤a≤ 5 3 . 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 课前·基础认知 1.含有一个量词的命题的否定 一般地,对于含有一个量词的命题的否定,有下面的 结论: 全称量词命题p:∀x∈M,p(x),它的否定p:∃x∈ M,p(x); 存在量词命题p:∃x∈M,p(x),它的否定p:∀x∈ M,p(x). 全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的 否定是全称量词命题. 2.命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定,仍是一个命题,它和原命题只能是一 真一假. 课堂·重难突破 一 全称量词命题的否定 典例剖析 1.写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)不论m 取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根; (2)等圆的面积相等; (3)每个三角形至少有两个锐角. 解 (1)这一命题可以表述为“对所有的实数 m,方程 x2+x-m=0有实数根”,其否定形式是“存在实数m,使得 x2+x-m=0没有实数根”. 因为当Δ=12-4×1×(-m)=1+4m<0, 即m<- 1 4 时,一元二次方程x2+x-m=0没有实 数根,所以原命题的否定是真命题. (2)这一命题可以表述为“所有等圆的面积相等”,其否 定形式是“存在一对等圆,其面积不相等”.由等圆的概念知 原命题的否定是假命题. (3)这一命题的否定是“有的三角形至多有一个锐角”, 由三角形的内角和为180°,知原命题的否定为假命题. 1.对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词.即: 全称量词(∀) 改为 →存在量词(∃). (2)否定结论:原命题中的“是”“成立”等改为“不是” “不成立”等. 对于省去了全称量词的全称量词命题的否定,一般 先改写为含有全称量词的命题,再写出命题的否定. 2.全称量词命题否定后的真假判断方法 全称量词命题的否定是存在量词命题,其真假性与 全称量词命题的真假性相反;要说明一个全称量词命题 是假命题,只需举一个反例即可. 二 存在量词命题的否定 典例剖析 2.写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)有一个奇数不能被3整除; (2)有些三角形的三个内角都是60°; (3)∃x∈R,使得|x+1|≤1. 23
数学必修 第一册 配人教A版 解(1)原命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除” 全称量词命题与存在量词命题否定的应用 这个命题是假命题，如5是奇数，但5不能被3整除 (2)原命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都 典例剖析 是60°”，这个命题是假命题，如等边三角形的三个内角都是 3.已知命题“3x∈R,2x2+3x十a≤0”是假命题，求实 60°. 数a的取值范围 (3)原命题的否定为“Hx∈R,有|x十1|>1”.这个命题 解因为命题“]x∈R,2x2+3x十a≤0”是假命题， 为假命题，如x=0时，不满足|x十1>1. 所以其否定“Hx∈R,2x2十3x十a>0”是真命题，等价 规律总结」1对存在量词命题否定的两个步聚 于方程2x2+3x十a=0无实根， (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词.即： 所以△=32-4×2Xa<0, 存在量词(3)政为全称量词（Y). 解得a>8 9 (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没 有”“不存在”等 故实数a的取值范周是口a>} 2.存在量词命题否定后的真假判断方法 存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与 规律总结」解决相关问题时要注意等价命题的转化， 存在量词命题的真假性相反：要说明一个存在量词命题 在已知命题不好求解时，可转化为其命题的否定进行 是真命题，只需要找到一个实例即可， 求解。 课后·训练提升 基础·巩固 解析因为“3x∈M,p(x)”的否定是“Vx∈M, 一p(x)”,所以命题“3n∈N,n2>2”的否定是“Hn∈N, 1.已知命题p:Vx∈R,x2=5,则该命题的否定是( ) n2≤2m”,故选C A.VrER,r2=5 B.Hx∈R,x2≠5 6.已知命题“x∈R,使ax2十2x一1≤0”，是否存在a∈R, C.3x∈R,x2=5 D.3x∈R,x2≠5 使该命题的否定是真命题？若存在，求出a的取值范围： 答案D 若不存在，请说明理由. 2.命题“3x∈{xx>0},|x-1=x-1”的否定是( 解“Hx∈R,ax2+2x-1>0”是真命题， A.Hx∈{x|x>0},lx-1|≠x-1 |a>0, B.VrE(zla>0),la-1l=r-1 4t4a<0 此不等式的解集为心 C.3x∈{xlx>0},lx-1l≠x-1 综上，这样的a不存在. D.3xt{xlx>0},x-1|=x-1 答案A 拓展·提高 3.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( 1.命题“Hx>0,x2>√红”的否定是( A.任意一个有理数的平方是有理数 AHx>0,x2≤√E B.任意一个无理数的平方不是有理数 C.存在一个有理数，它的平方是有理数 B.Hx≤0，x2≤E D.存在一个无理数，它的平方不是无理数 C.3x>0,x2≤F 答案B D.x≤0，x2≤E 4.命题“3m∈R,关于x的方程x2-2m.x-1=0有实根”的 答案C 否定是() 2.(多选题)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题 A.Vm∈R,关于x的方程x2一2mx一1=0有实根 的有() B.至多有一个实数m,使关于x的方程x2一2mx一1=0 有实根 A3x∈Rr2-x+<0 C.Hm∈R,关于x的方程x2-2mx-1=0无实根 B.所有的正方形都是矩形 D.了x∈R,关于x的方程x2-2mx一1=0无实根 C.3x∈R,x2+2x+2≤0 答案C D.至少有一个实数，使x3十1=0 5,设命题p:3n∈N,n2>2",则p的否定为() 答案AC A.Hn∈N,n2>2 B.3n∈N,n2≤2 解析命题的否定是全称量词命题，即原命题为存在量词 C.Hn∈N,n22 D.3n∈N,n2=2 命题，故排除B.再根据命题的否定为真命题，即原命题为 答案C 假命题.又D为真命题，故选AC 24
数 学 必修 第一册 配人教 A版 解 (1)原命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”. 这个命题是假命题,如5是奇数,但5不能被3整除. (2)原命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都 是60°”.这个命题是假命题,如等边三角形的三个内角都是 60°. (3)原命题的否定为“∀x∈R,有|x+1|>1”.这个命题 为假命题,如x=0时,不满足|x+1|>1. 1.对存在量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词.即: 存在量词(∃) 改为 →全称量词(∀). (2)否定结论:原命题中的“有”“存在”等更改为“没 有”“不存在”等. 2.存在量词命题否定后的真假判断方法 存在量词命题的否定是全称量词命题,其真假性与 存在量词命题的真假性相反;要说明一个存在量词命题 是真命题,只需要找到一个实例即可. 三 全称量词命题与存在量词命题否定的应用 典例剖析 3.已知命题“∃x∈R,2x2+3x+a≤0”是假命题,求实 数a的取值范围. 解 因为命题“∃x∈R,2x2+3x+a≤0”是假命题, 所以其否定“∀x∈R,2x2+3x+a>0”是真命题,等价 于方程2x2+3x+a=0无实根, 所以Δ=32-4×2×a<0, 解得a> 9 8 . 故实数a的取值范围是 a a> 9 8 . 解决相关问题时要注意等价命题的转化, 在已知命题不好求解时,可转化为其命题的否定进行 求解. 课后·训练提升 基础 巩固 1.已知命题p:∀x∈R,x2=5,则该命题的否定是( ) A.∀x∉R,x2=5 B.∀x∈R,x2≠5 C.∃x∈R,x2=5 D.∃x∈R,x2≠5 答案 D 2.命题“∃x∈{x|x>0},|x-1|=x-1”的否定是( ) A.∀x∈{x|x>0},|x-1|≠x-1 B.∀x∈{x|x>0},|x-1|=x-1 C.∃x∈{x|x>0},|x-1|≠x-1 D.∃x∉{x|x>0},|x-1|=x-1 答案 A 3.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( ) A.任意一个有理数的平方是有理数 B.任意一个无理数的平方不是有理数 C.存在一个有理数,它的平方是有理数 D.存在一个无理数,它的平方不是无理数 答案 B 4.命题“∃m∈R,关于x 的方程x2-2mx-1=0有实根”的 否定是( ) A.∀m∈R,关于x 的方程x2-2mx-1=0有实根 B.至多有一个实数m,使关于x 的方程x2-2mx-1=0 有实根 C.∀m∈R,关于x 的方程x2-2mx-1=0无实根 D.∃x∈R,关于x 的方程x2-2mx-1=0无实根 答案 C 5.设命题p:∃n∈N,n2>2n,则p 的否定为( ) A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n 答案 C 解析 因 为 “∃x ∈ M,p (x)”的 否 定 是 “∀x ∈ M, p(x)”,所以命题“∃n∈N,n2>2n”的否定是“∀n∈N, n2≤2n”.故选C. 6.已知命题“∃x∈R,使ax2+2x-1≤0”,是否存在a∈R, 使该命题的否定是真命题? 若存在,求出a 的取值范围; 若不存在,请说明理由. 解 ∵“∀x∈R,ax2+2x-1>0”是真命题, ∴ a>0, 4+4a<0, 此不等式的解集为⌀. 综上,这样的a不存在. 拓展 提高 1.命题“∀x>0,x2> x”的否定是( ) A.∀x>0,x2≤ x B.∀x≤0,x2≤ x C.∃x>0,x2≤ x D.∃x≤0,x2≤ x 答案 C 2.(多选题)下列命题的否定中,是全称量词命题且为真命题 的有( ) A.∃x∈R,x2-x+ 1 4 <0 B.所有的正方形都是矩形 C.∃x∈R,x2+2x+2≤0 D.至少有一个实数,使x3+1=0 答案 AC 解析 命题的否定是全称量词命题,即原命题为存在量词 命题,故排除B.再根据命题的否定为真命题,即原命题为 假命题.又D为真命题,故选 AC. 24
第一章集合与常用逻辑用语 3.命题“实数都能写成小数的形式”的否定是( A.至少有一个实数不能写成小数的形式 挑战·创新 B.至少有一个实数能写成小数的形式 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出它 C.至多有一个实数不能写成小数的形式 们的否定，并判断命题的否定的真假 D.实数都不能写成小数的形式 (1)矩形的对角线互相垂直： 答案A (2)存在一个集合，它的子集个数是2： 4.已知命题“对任意一个实数x,m≠x2十1”的否定是真命 (3)a,b∈R,关于x的方程a.x=b有唯一解. 题，则m的取值范围是 解(1)全称量词命题；否定为：有些矩形的对角线不互相 答案m≥1 垂直：真命题.(2)存在量词命题：否定为：任何集合的子集 解析该命题的否定是：存在一个实数x,m=x2十1，且为 个数都不是2：假命题.(3)全称量词命题；否定为：3a 真命题.因为x2+1≥1，所以m≥1. b∈R,关于x的方程ax=b的解不存在或至少有2个；真 命题 第一章过关检测 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每 答案A 小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 6.已知集合A={0,1,2},则集合B={x-yx∈A,y∈A) 求的。 中元素的个数是( 1,下列结论不正确的是( A.5 B.6 C.8 D.9 A.0∈N agEQ 答案A 解析当x=0,y=0,1,2时，x-y=0,-1,一2 C.7R D.-3∈Z 当x=1,y=0,1,2时，x-y=1,0,-1;当x=2,y=0,1, 答案C 2时，x一y=2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B 2.已知集合A={xx2-1=0},B={一1,0,2}，则A∩B= 中的元素为-2.一1.0.1.2.共5个 ( 7.已知全集为R,若集合P={xlx<1},Q={x|2≤x≤7}， A.{-1} B.{-1,1} 则( C.{-1,0,1,2} D.0 A.P二Q B.CRQ二PC.CRP二QD.Q≤CkP 答案A 答案D 3.命题“Vx>1,x>2”的否定是( ) 解析因为P={x|x<1},所以CRP={xlx≥1.又Q= A.3x>1,x2 B.3x>1,x2 {x|2≤x≤7}，所以CQ={x|x<2,或x>7.结合四个 C.]x≤1，x≤2 D.Hx>1,x≤2 选项，可知只有Q二CP正确.故选D. 答案B 8.“集合A={xlx2+6x十m=0,m∈R}为空集”是“3x> 4.已知全集U=R,则正确表示集合U,M={一7,0,3}，N= 0,x一m=0为真命题”的( {xlx2+5.x=0}之间关系的Venn图是( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 M 答案A 解析因为集合A={x|x2十6x十m=0,m∈R}是空集， B 所以关于x的方程x2十6.x十m=0无实根， 所以△=36-4m<0,解得m>9. 又因为3x>0,x-m=0为真命题，所以m>0. 因为{mlm>9}军{m|m>0}, 所以“m>9”是“m>0”的充分不必要条件.故选A. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每 答案A 小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 解析由已知得N={-5,0},所以M∩N={0}.故选A. 对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 5.在△ABC中，“A=150”是“△ABC是钝角三角形”的( 9.下列关系中正确的是() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 A.1∈{0,1,2} B.{1}∈{0,1,2} C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C.{0,1,2}二{0,1,2} D.{0,1,2}={2,0,1} 25
第一章 集合与常用逻辑用语 3.命题“实数都能写成小数的形式”的否定是( ) A.至少有一个实数不能写成小数的形式 B.至少有一个实数能写成小数的形式 C.至多有一个实数不能写成小数的形式 D.实数都不能写成小数的形式 答案 A 4.已知命题“对任意一个实数x,m≠x2+1”的否定是真命 题,则m 的取值范围是 . 答案 m≥1 解析 该命题的否定是:存在一个实数x,m=x2+1,且为 真命题.因为x2+1≥1,所以m≥1. 挑战 创新 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.写出它 们的否定,并判断命题的否定的真假. (1)矩形的对角线互相垂直; (2)存在一个集合,它的子集个数是2; (3)∀a,b∈R,关于x 的方程ax=b有唯一解. 解 (1)全称量词命题;否定为:有些矩形的对角线不互相 垂直;真命题.(2)存在量词命题;否定为:任何集合的子集 个数都不是2;假命题.(3)全称量词命题;否定为:∃a, b∈R,关于x 的方程ax=b的解不存在或至少有2个;真 命题. 第一章过关检测 (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每 小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.下列结论不正确的是( ) A.0∈N B. 1 9 ∈Q C.7∉R D.-3∈Z 答案 C 2.已知集合A={x|x2-1=0},B={-1,0,2},则A∩B= ( ) A.{-1} B.{-1,1} C.{-1,0,1,2} D.⌀ 答案 A 3.命题“∀x>1,x>2”的否定是( ) A.∃x>1,x<2 B.∃x>1,x≤2 C.∃x≤1,x≤2 D.∀x>1,x≤2 答案 B 4.已知全集U=R,则正确表示集合U,M={-7,0,3},N= {x|x2+5x=0}之间关系的 Venn图是( ) 答案 A 解析 由已知得N={-5,0},所以M∩N={0}.故选 A. 5.在△ABC中,“A=150°”是“△ABC是钝角三角形”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 6.已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A} 中元素的个数是( ) A.5 B.6 C.8 D.9 答案 A 解析 当 x=0,y=0,1,2 时,x-y=0,-1,-2; 当x=1,y=0,1,2时,x-y=1,0,-1;当x=2,y=0,1, 2时,x-y=2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B 中的元素为-2,-1,0,1,2,共5个. 7.已知全集为R,若集合P={x|x<1},Q={x|2≤x≤7}, 则( ) A.P⊆Q B.∁RQ⊆P C.∁RP⊆Q D.Q⊆∁RP 答案 D 解析 因为P={x|x<1},所以∁RP={x|x≥1}.又Q= {x|2≤x≤7},所以∁RQ={x|x<2,或x>7}.结合四个 选项,可知只有Q⊆∁RP 正确.故选D. 8.“集合A={x|x2+6x+m=0,m∈R}为空集”是“∃x> 0,x-m=0为真命题”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 因为集合A={x|x2+6x+m=0,m∈R}是空集, 所以关于x 的方程x2+6x+m=0无实根, 所以Δ=36-4m<0,解得m>9. 又因为∃x>0,x-m=0为真命题,所以m>0. 因为{m|m>9}⫋{m|m>0}, 所以“m>9”是“m>0”的充分不必要条件.故选 A. 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每 小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选 对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9.下列关系中正确的是( ) A.1∈{0,1,2} B.{1}∈{0,1,2} C.{0,1,2}⊆{0,1,2} D.{0,1,2}={2,0,1} 25