数学必修 第一册 配人教A版 答案ACD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 解析A项中集合{0,1,2}中有1这个元素，所以A正确： 13.命题“梯形是轴对称图形”的否定是 因为集合{1}是集合{0,1,2}的真子集，不能用“∈”来表 示，所以B错误：因为任何集合都是它本身的子集，所以C 答案存在一个梯形，它不是轴对称图形 正确：因为集合中的元素具有无序性，所以D正确 14.已知全集U=R,集合A={x|1x|<1},B= 综上可得ACD正确， ,A∩B= 10.下列四个命题为假命题的是() >-}则AUB= A.Vx∈R,x2+1>1 (第一空3分，第二空2分) B3ER.+2 答案>-)-<到 C.3x∈R,lx-1|<0 15.已知集合A={2+a2,a,B={0,1,3},且A∩B=A,则 D.Hx∈R,lx+1l>0 实数a= 答案ACD 答案1 解析当x=0时，x2+十1=1，故A中命题是假命题： 解析因为A∩B=A,所以A二B.因为a2十2≥2，所以 a2+2=3,得a=-1或a=1.当a=-1时，A={-1, 当x=2时x+=2叶号>2，故B中令题是真命 3},不满足A二B:当a=1时，A={1,3},满足A二B.所 题：对Hx∈R,|x-1|≥0，故C中命题是假命题： 以所求a的值为1. 当x=一1时，x十1>0不成立，故D中命题是假 16.若“函数y=x2-2x十a一3的图象与y轴正半轴相交” 命题. 是“a>m”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 故选ACD. 1L.已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤3，或4<x<6},集 答案m>3 合B={x|2≤x<5},下列集合运算正确的是( ) 解析因为函数y=x2-2x十a一3的图象与y轴正半 A.CA={xlx<1,或3x<4,或x>6} 轴相交，所以a一3>0，即a>3. B.CB={xlx<2,或x≥5} 由已知得{ala>m,m∈R}吴{a|a>3},所以m的 C.A∩(CB)={xl1≤x<2,或5≤x<6} 取值范围是m>3. D.(CA)UB={xlx<1,或2<x<5,或x>6} 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字 答案BC 说明、证明过程或演算步骤。 解析图为集合A={x|1≤x≤3，或4<x<6},所以 17.(10分)写出下列命题的否定，并判断其真假： CA={xx<1,或3<x≤4，或x≥6}，故A错误； (1)存在实数a,使二次函数y=2x2+a的图象关于y轴 因为B={x|2≤x<5},所以CB={x|x<2,或 对称； (2)任何一个四边形的对边都平行」 x≥5}，故B正确： 由CB={xlx<2,或x≥5}可得，A∩(CB)={x| 解(1)该命题的否定是：对任意实数a,二次函数y= 1x<2,或5x<6},故C正确： 2x2十a的图象都不关于y轴对称.假命题. 由A={x|x<1,或3<x≤4，或x≥6}可得， (2)该命题的否定是：存在一个四边形，它的对边不 (A)UB={x|x<1,或2≤x<5,或x≥6}，故D 都平行.真命题 错误. 18.(12分)已知集合A={x|a≤x≤a十1，a∈R},B={xl 12.下列命题为真命题的是( x<1,或x>2},若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条 A.3a,b∈R,la-2l+(b+1)2≤0 件，求实数α的取值范围. B.Ha∈R,3x∈R,使得ax>2 解因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件， C.ab≠0是a2+b2≠0的充要条件 所以A军B. 所以a十1<1或a>2,即a<0或a>2. x>0, D.0<x<1是使 成立的充分不必要条件 所以所求a的取值范围是a<0或a>2. x-2<0 19.(12分)请在“①充分不必要，②必要不充分，③充要”这 答案AD 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中再解答，若问 解析A中，当a=2,b=一1时，不等式成立，所以A中 题中的实数m存在，求出m的取值范围：若不存在，请 命题为真命题；B中，当a=0时，0·x=0<2,不等式不 说明理由. 成立，所以B中命题为假命题：C中，当a=0,b≠0时， 已知集合A={x|-2≤x≤6}，B={x1-m≤x≤1十 a2十b2≠0成立，此时ab=0,推不出ab≠0，所以C中命 m,m>0},若“x∈A”是“x∈B”成立的 条 题为假命题：D中，0x<1是使F>0, 件，判断实数m是否存在（注：如果选择多个条件分别解 x-2<0 成立的充分不 答，按第一个解答计分). 必要条件，故D中命题为真命题 解若选择条件①，即x∈A是x∈B成立的充分不必要 26
数 学 必修 第一册 配人教 A版 答案 ACD 解析 A项中集合{0,1,2}中有1这个元素,所以 A正确; 因为集合{1}是集合{0,1,2}的真子集,不能用“∈”来表 示,所以B错误;因为任何集合都是它本身的子集,所以C 正确;因为集合中的元素具有无序性,所以D正确. 综上可得 ACD正确. 10.下列四个命题为假命题的是( ) A.∀x∈R,x2+1>1 B.∃x∈R,x+ 1 x ≥2 C.∃x∈R,|x-1|<0 D.∀x∈R,|x+1|>0 答案 ACD 解析 当x=0时,x2+1=1,故 A中命题是假命题; 当x=2时,x+ 1 x =2+ 1 2 >2,故B中命题是真命 题;对∀x∈R,|x-1|≥0,故C中命题是假命题; 当x=-1时,|x+1|>0不成立,故 D中命题是假 命题. 故选 ACD. 11.已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤3,或4<x<6},集 合B={x|2≤x<5},下列集合运算正确的是( ) A.∁UA={x|x<1,或3<x<4,或x>6} B.∁UB={x|x<2,或x≥5} C.A∩(∁UB)={x|1≤x<2,或5≤x<6} D.(∁UA)∪B={x|x<1,或2<x<5,或x>6} 答案 BC 解析 因为集合A={x|1≤x≤3,或4<x<6},所以 ∁UA={x|x<1,或3<x≤4,或x≥6},故 A错误; 因为B={x|2≤x<5},所以∁UB={x|x<2,或 x≥5},故B正确; 由∁UB={x|x<2,或x≥5}可得,A∩(∁UB)={x| 1≤x<2,或5≤x<6},故C正确; 由∁UA={x|x<1,或3<x≤4,或x≥6}可得, (∁UA)∪B={x|x<1,或2≤x<5,或x≥6},故 D 错误. 12.下列命题为真命题的是( ) A.∃a,b∈R,|a-2|+(b+1)2≤0 B.∀a∈R,∃x∈R,使得ax>2 C.ab≠0是a2+b2≠0的充要条件 D.0<x<1是使 x>0, x-2<0 成立的充分不必要条件 答案 AD 解析 A中,当a=2,b=-1时,不等式成立,所以 A 中 命题为真命题;B中,当a=0时,0·x=0<2,不等式不 成立,所以B中命题为假命题;C中,当a=0,b≠0时, a2+b2≠0成立,此时ab=0,推不出ab≠0,所以C中命 题为假命题;D中,0<x<1是使 x>0, x-2<0 成立的充分不 必要条件,故D中命题为真命题. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.命题“梯形是轴对称图形”的否定是 . 答案 存在一个梯形,它不是轴对称图形 14.已 知 全 集 U =R,集 合 A = {x||x|<1},B = x x>- 1 2 ,则A∪B= ,A∩B= (第一空3分,第二空2分). 答案 {x|x>-1} x - 1 2 <x<1 15.已知集合A={2+a2,a},B={0,1,3},且A∩B=A,则 实数a= . 答案 1 解析 因为A∩B=A,所以A⊆B.因为a2+2≥2,所以 a2+2=3,得a=-1或a=1.当a=-1时,A={-1, 3},不满足A⊆B;当a=1时,A={1,3},满足A⊆B.所 以所求a的值为1. 16.若“函数y=x2-2x+a-3的图象与y 轴正半轴相交” 是“a>m”的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是 . 答案 m>3 解析 因为函数y=x2-2x+a-3的图象与y 轴正半 轴相交,所以a-3>0,即a>3. 由已知得{a|a>m,m∈R}⫋{a|a>3},所以m 的 取值范围是m>3. 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)写出下列命题的否定,并判断其真假: (1)存在实数a,使二次函数y=2x2+a的图象关于y轴 对称; (2)任何一个四边形的对边都平行. 解 (1)该命题的否定是:对任意实数a,二次函数y= 2x2+a的图象都不关于y轴对称.假命题. (2)该命题的否定是:存在一个四边形,它的对边不 都平行.真命题. 18.(12分)已知集合A={x|a≤x≤a+1,a∈R},B={x| x<1,或x>2},若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条 件,求实数a的取值范围. 解 因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件, 所以A⫋B. 所以a+1<1或a>2,即a<0或a>2. 所以所求a的取值范围是a<0或a>2. 19.(12分)请在“①充分不必要,②必要不充分,③充要”这 三个条件中任选一个,补充在下面的问题中再解答,若问 题中的实数m 存在,求出m 的取值范围;若不存在,请 说明理由. 已知集合A={x|-2≤x≤6},B={x|1-m≤x≤1+ m,m>0},若“x∈A”是“x∈B”成立的 条 件,判断实数m 是否存在(注:如果选择多个条件分别解 答,按第一个解答计分). 解 若选择条件①,即x∈A 是x∈B 成立的充分不必要 26
第一章集合与常用逻辑用语 条件，则集合A是集合B的真子集， 子天有阳2得汤。 解得<a<, 又m>0,所以实数m的取值范图是{mlm≥5}. 即宾数口的取值范国是{a片a<} 若选择条件②，即x∈A是x∈B成立的必要不充 21.(12分)设集合A={x|-1≤x≤7}，B={xln十1≤x≤ 分条件，则集合B是集合A的真子集， 2m一3，n∈R},若集合B是集合A的子集，求实数n的 取值范围。 于是有十m≤6，”解得m≤3，又m>0, 解①当B=☑，即n十1>2m-3时，B二A. 所以实数m的取值范围是{m0<m≤3}. 此时解得n<4. 若选择条件③，即x∈A是x∈B成立的充要条件， n十1≤2-3， 则条合A等于集合B,于是有十m=6, 1-m=-2, @当B≠0时，由B二A,得n十1≥-1， 方程组无解， 2n-37, 所以不存在满足条件的实数m. 解得4n5. 202分)设集合A=-1K<.B=女-5Kx<引： 综上所述，实数n的取值范图是{nn≤5}. 22.(12分)对于集合A,B,我们把集合{(a,b)|a∈A,b∈ C={xl1-2a<x<2a,a∈R. B}记作A×B.例如，A={1,2},B={3,4},则有：A× (1)若C=0,求实数a的取值范围； B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)},B×A={(3,1),(3, (2)若C≠☑，且C二(A∩B),求实数a的取值范围. 2),(4,1),(4,2)},A×A={(1,1),(1,2),(2,1),(2, 解(1)图为C={x|1-2a<x<2a,a∈R}=0, 2)},B×B={(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)} 所以1-2a≥2a,解得a<子 据此，试回答下列问题： (1)已知C={a,D={1,2,3},求C×D: 即实数a的取值范国是{aa<》。 (2)已知A×B={(1,2),(2,2)},求集合A,B: (3)若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，试确 (2)因为C={xl1-2a<x<2a,a∈R}≠0， 定AXB中有多少个元素. 所以1-2a<2a,即a> 解(1)C×D={(a,1),(a,2),(a,3)}. (2)因为A×B={(1,2),(2,2)}, 图为A=z-1x<4,B={x-5<x<} 所以A={1,2},B={2. (3)由题意可知AXB中元素的个数与集合A和B 所以AnB={-1Kx<名}。 中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与B中 1-2a≥-1 的任何一个元素对应后，得到AXB中的一个新元素. 若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中 因为C二(A∩B),且C≠0，所以 2a21 应有mXm个元素.于是，若集合A中有3个元素，集合 >, B中有4个元素，则A×B中有12个元素. 27
第一章 集合与常用逻辑用语 条件,则集合A 是集合B 的真子集, 于是有 1-m≤-2, 1+m≥6, 解得m≥5, 又m>0,所以实数m 的取值范围是{m|m≥5}. 若选择条件②,即x∈A 是x∈B 成立的必要不充 分条件,则集合B 是集合A 的真子集, 于是有 1-m≥-2, 1+m≤6, 解得m≤3,又m>0, 所以实数m 的取值范围是{m|0<m≤3}. 若选择条件③,即x∈A 是x∈B 成立的充要条件, 则集合A 等于集合B,于是有 1-m=-2, 1+m=6, 方程组无解, 所以不存在满足条件的实数m. 20.(12分)设集合A={x|-1<x<4},B= x -5<x< 3 2 , C={x|1-2a<x<2a,a∈R}. (1)若C=⌀,求实数a的取值范围; (2)若C≠⌀,且C⊆(A∩B),求实数a的取值范围. 解 (1)因为C={x|1-2a<x<2a,a∈R}=⌀, 所以1-2a≥2a,解得a≤ 1 4 , 即实数a的取值范围是 a a≤ 1 4 . (2)因为C={x|1-2a<x<2a,a∈R}≠⌀, 所以1-2a<2a,即a> 1 4 . 因为A={x|-1<x<4},B= x -5<x< 3 2 , 所以A∩B= x -1<x< 3 2 . 因为C⊆(A∩B),且C≠⌀,所以 1-2a≥-1, 2a≤ 3 2 , a> 1 4 , 解得 1 4 <a≤ 3 4 , 即实数a的取值范围是 a 1 4 <a≤ 3 4 . 21.(12分)设集合A={x|-1≤x≤7},B={x|n+1≤x≤ 2n-3,n∈R},若集合B 是集合A 的子集,求实数n 的 取值范围. 解 ①当B=⌀,即n+1>2n-3时,B⊆A. 此时解得n<4. ②当B≠⌀时,由B⊆A,得 n+1≤2n-3, n+1≥-1, 2n-3≤7, 解得4≤n≤5. 综上所述,实数n的取值范围是{n|n≤5}. 22.(12分)对于集合A,B,我们把集合{(a,b)|a∈A,b∈ B}记作A×B.例如,A={1,2},B={3,4},则有:A× B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)},B×A={(3,1),(3, 2),(4,1),(4,2)},A×A={(1,1),(1,2),(2,1),(2, 2)},B×B={(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)}. 据此,试回答下列问题: (1)已知C={a},D={1,2,3},求C×D; (2)已知A×B={(1,2),(2,2)},求集合A,B; (3)若集合A 中有3个元素,集合B 中有4个元素,试确 定A×B 中有多少个元素. 解 (1)C×D={(a,1),(a,2),(a,3)}. (2)因为A×B={(1,2),(2,2)}, 所以A={1,2},B={2}. (3)由题意可知A×B 中元素的个数与集合A 和B 中的元素个数有关,即集合A 中的任何一个元素与B 中 的任何一个元素对应后,得到A×B 中的一个新元素. 若A 中有m 个元素,B 中有n 个元素,则A×B 中 应有m×n个元素.于是,若集合A 中有3个元素,集合 B 中有4个元素,则A×B 中有12个元素. 27
第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 课前·基础认知 1.不等关系 (4)性质4：如果a=b,那么ac=bc; 不等关系常用不等式来表示 2.实数a,b的大小比较 （6)性质5：如果a=6c0,事么号=名 文字语言 符号语言 等价条件 5.不等式的基本性质 a-b是正数 a-b>0 ab (1)性质1：a>b台b≤a. a一b等于零 a-b=0 a=b (2)性质2：a>b,b>c→a>c. a-b是负数 a-b<0 a<b (3)性质3：a>b台a十c>b十c 3.重要不等式 (4)性质4：a>b,c>0→ac>bca>b,c<0Pac≤bc. 一般地，Ha,b∈R,有a2+b2≥2ab,当且仅当a= (5)性质5：a>b,c>da十c>b+d. b时，等号成立 (6)性质6：a>b>0,c>d>0→ac>bd 4.等式的性质 (7)性质7：a>b>0→a">b(n∈N,n≥2). (1)性质1：如果a=b,那么b=a: 微提醒(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立 (2)性质2：如果a=b,b=c,那么a=c; 的前提，不可强化或弱化成立的条件 (3)性质3：如果a=b,那么a士c=b士c: (2)要注意每条性质是否具有可逆性 课堂·重难突破 一用不等式（组）表示不等关系 规律总结☐作差法比较两个实数大小的基本步骤 典例剖析 <作差 -a-b 1.已知某列车的速度为v1(单位：km/h),这个速度的 变形 采用配方、因式分解、通分、有理化等手段 2倍再加上100km/h,不超过民航飞机的最低速度v2(单 位：km/h),可列车的速度已经超过了普通客车速度va(单 、定号 判断差与0的大小 位：km/h)的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度 关系。 结论 利用实数a,b大小比较的基本事实 解由题意，得v1,2的关系为2w1十100≤v2, 1,Vg的关系为1>3ug 利用不等式的性质判断或证明不等式 规律总结」在用不等式（组）表示不等关系时，要进行 比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个（或几 典例剖析 个)量之间不可用不等式（组）来表示，另外，在用不等式 3.(1)对于实数a,b,c,给出下列命题： (组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一 ①若a>b,则ac2>bc2; ②若a<b<0,则a2>ab>b2: 二比较两数（式）的大小 ③若a>b,则a2>b2； 典例剖析 ④若a0,则后>2 2.已知x≤1，试比较3x3与3x2-x十1的大小 其中真命题的序号有 解3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)= (2)已知a>be>f,c>0.求证：f-ac<e-bc. 3x2(x-1)+(x-1)=(3.x2+1)(x-1) 答案(1)②④ x≤1，x-1≤0，而3.x2+1>0, 解析对于①，c2≥0， .(3x2+1)(x-1)≤0，.3x3≤3.x2-x+1. .只有c≠0时才成立，①为假命题； 28
第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 课前·基础认知 1.不等关系 不等关系常用 不等式 来表示. 2.实数a,b的大小比较 文字语言 符号语言 等价条件 a-b是正数 a-b>0 a>b a-b等于零 a-b=0 a=b a-b是负数 a-b<0 a<b 3.重要不等式 一般地,∀a,b∈R,有a2+b2 ≥ 2ab,当且仅当a = b时,等号成立. 4.等式的性质 (1)性质1:如果a=b,那么b=a; (2)性质2:如果a=b,b=c,那么a=c; (3)性质3:如果a=b,那么a±c=b±c; (4)性质4:如果a=b,那么ac=bc; (5)性质5:如果a=b,c≠0,那么 a c = b c . 5.不等式的基本性质 (1)性质1:a>b⇔b < a. (2)性质2:a>b,b>c⇒a > c. (3)性质3:a>b⇔a+c > b+c. (4)性质4:a>b,c>0⇒ac >bc;a>b,c<0⇒ac <bc. (5)性质5:a>b,c>d⇒a+c > b+d. (6)性质6:a>b>0,c>d>0⇒ac > bd. (7)性质7:a>b>0⇒an > bn(n∈N,n≥2). 微提醒 (1)在应用不等式时,一定要搞清它们成立 的前提,不可强化或弱化成立的条件. (2)要注意每条性质是否具有可逆性. 课堂·重难突破 一 用不等式(组)表示不等关系 典例剖析 1.已知某列车的速度为v1(单位:km/h),这个速度的 2倍再加上100km/h,不超过民航飞机的最低速度v2(单 位:km/h),可列车的速度已经超过了普通客车速度v3(单 位:km/h)的3倍,请你用不等式表示三种交通工具的速度 关系. 解 由题意,得v1,v2 的关系为2v1+100≤v2, v1,v3 的关系为v1>3v3. 在用不等式(组)表示不等关系时,要进行 比较的各量必须具有相同性质,没有可比性的两个(或几 个)量之间不可用不等式(组)来表示.另外,在用不等式 (组)表示实际问题时,一定要注意单位的统一. 二 比较两数(式)的大小 典例剖析 2.已知x≤1,试比较3x3 与3x2-x+1的大小. 解 3x3 -(3x2 -x+1)=(3x3 -3x2)+(x-1)= 3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1). ∵x≤1,∴x-1≤0,而3x2+1>0, ∴(3x2+1)(x-1)≤0,∴3x3≤3x2-x+1. 作差法比较两个实数大小的基本步骤 三 利用不等式的性质判断或证明不等式 典例剖析 3.(1)对于实数a,b,c,给出下列命题: ①若a>b,则ac2>bc2; ②若a<b<0,则a2>ab>b2; ③若a>b,则a2>b2; ④若a<b<0,则 a b > b a . 其中真命题的序号有 . (2)已知a>b,e>f,c>0.求证:f-ac<e-bc. 答案 (1)②④ 解析 对于①,∵c2≥0, ∴只有c≠0时才成立,①为假命题; 28
第二章一元二次函数、方程和不等式 对于②，a<b<0→a2>ab:a<b<0->ab>b2, (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等 ②为真命题： 式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不 对于③，若0>a>b,则a2<b2,如-1>-2， 能随意构造性质与法则. 但（一1）2<(-2)2，∴③为假命题： 对于④，，a<b<0,∴.-a>-b>0, 四利用不等式的性质求取值范围 .(-a)2>(-b)2,即a2>b2 品> a6>0a2. 又ab>0 典例剖析 4.已知1<a<4,2<b<8.试求2a+3b与a-b的取值 “治>台④为真分题 范围. 解1<a<4,2<b<8, (2)证明，'a>b,c>0,.ac>bc,.-ac<-bc ∴.2<2a<8,6<3b<24. :f<e,∴f-ac<e-bc. ∴.82a+3b32. 规律总结」1.利用不等式判断正误的两种方法 .*2<b<8. (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关 .-8<-b-2 性质证明：对于说法错误的只需举出一个反例即可. 又1<a<4, (2)特殊值法： .1十(-8)a+(-b)<4+(-2), 注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件： 即-7<a-b<2. 二是取值要简单，便于验证计算：三是所取的值要有代表性， 故8<2a十3b<32,-7<a-b<2. 2.利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等 规律总结」同向不等式具有可加性与可乘性，但是不 能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变 式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不 形来求范围，注意变形的等价性。 等式的性质并注意在解题中灵活准确地应用， 课后·训练提升 基础·巩固 为c<d<0,所以-c>-d>0,又a>b>0, 所以-ac>-bd>0,所以ac<bd,即ac-bd<0,又 L.李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他已经存了 60元.计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少 >0,所以<0，即号<总所以选装D成主 dc 有400元.设x个月后他至少有400元，则根据以上情景， 4(多选题若日< b <0,则下列不等式不成立的是() 得到的不等式是( A.30x-60≥400 B.30x+60≥400 A.lal>161 B.a<b C.30x-60400 D.30.x+40≤400 C.a+b<ab D.ab 答案B 答案AB 解析x月后他至少有400元，可表示成30x十60≥400， 解析由上<1 2.已知a>b,c>d,且c,d不为0，那么下列不等式一定成 a<方<0得ba<0,从而lal<bl,A中不等 立的是() 式不成立，B中不等式不成立：C中，a十b0,ab>0,则 A.adbc B.ac>bd a十b<ab,C中不等式成立，D中不等式成立.故选AB. C.a+c>b+d D.a-c>b-d 5.(多选题)已知a>b>1,则下列不等式一定成立的有 ( 答案C 解析由a>b,c>d得a十c>b十d,故选C. A.ab2 B.√a-b>√a-√b 3.若a>b>0,c<d<0,则一定有( ) C.a3+b2>2a2b na+>6+日 a A>治 答案ABD c>9 n号 解析a>b>1,则a2>b2,A中不等式成立； (√a-b)2-(a-6)2=26(a-6): 答案D 因为a>b>1,所以√a>b>0, 舞折兰一台-产，周为d>0,而a-在的特号不 所以26(a-√b)>0,即（√a-b)>(a-6)2, 能确定所以选项AB不一定成立后一名-“ 又√a-b>0,√a-6>0,所以√a-b>a-√b, dc ，因 B中不等式成立： 29
第二章 一元二次函数、方程和不等式 对于②,a<b<0⇒a2>ab;a<b<0⇒ab>b2, ∴②为真命题; 对于③,若0>a>b,则a2<b2,如-1>-2, 但(-1)2<(-2)2,∴③为假命题; 对于④,∵a<b<0,∴-a>-b>0, ∴(-a)2>(-b)2,即a2>b2. 又ab>0,∴ 1 ab >0,∴a2· 1 ab >b2· 1 ab , ∴ a b > b a ,④为真命题. (2)证明 ∵a>b,c>0,∴ac>bc,∴-ac<-bc. ∵f<e,∴f-ac<e-bc. 1.利用不等式判断正误的两种方法 (1)直接法:对于说法正确的,要利用不等式的相关 性质证明;对于说法错误的只需举出一个反例即可. (2)特殊值法: 注意取值一定要遵循三个原则:一是满足题设条件; 二是取值要简单,便于验证计算;三是所取的值要有代表性. 2.利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等 式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不 等式的性质并注意在解题中灵活准确地应用. (2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等 式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不 能随意构造性质与法则. 四 利用不等式的性质求取值范围 典例剖析 4.已知1<a<4,2<b<8.试求2a+3b与a-b的取值 范围. 解 ∵1<a<4,2<b<8, ∴2<2a<8,6<3b<24. ∴8<2a+3b<32. ∵2<b<8, ∴-8<-b<-2. 又1<a<4, ∴1+(-8)<a+(-b)<4+(-2), 即-7<a-b<2. 故8<2a+3b<32,-7<a-b<2. 同向不等式具有可加性与可乘性,但是不 能相减或相除,应用时,要充分利用所给条件进行适当变 形来求范围,注意变形的等价性. 课后·训练提升 基础 巩固 1.李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机,他已经存了 60元.计划从现在起以后每个月节省30元,直到他至少 有400元.设x 个月后他至少有400元,则根据以上情景, 得到的不等式是( ) A.30x-60≥400 B.30x+60≥400 C.30x-60≤400 D.30x+40≤400 答案 B 解析 x 月后他至少有400元,可表示成30x+60≥400. 2.已知a>b,c>d,且c,d 不为0,那么下列不等式一定成 立的是( ) A.ad>bc B.ac>bd C.a+c>b+d D.a-c>b-d 答案 C 解析 由a>b,c>d 得a+c>b+d,故选C. 3.若a>b>0,c<d<0,则一定有( ) A. a c > b d B. a c < b d C. a d > b c D. a d < b c 答案 D 解析 a c - b d = ad-bc cd ,因为cd>0,而ad-bc的符号不 能确定,所以选项 A,B不一定成立; a d - b c = ac-bd dc ,因 为c<d<0,所以-c>-d>0,又a>b>0, 所以-ac>-bd>0,所以ac<bd,即ac-bd<0,又 dc>0,所以 ac-bd dc <0,即 a d < b c .所以选项D成立. 4.(多选题)若 1 a < 1 b <0,则下列不等式不成立的是( ) A.|a|>|b| B.a<b C.a+b<ab D.a3>b3 答案 AB 解析 由 1 a < 1 b <0得b<a<0,从而|a|<|b|,A中不等 式不成立,B中不等式不成立;C中,a+b<0,ab>0,则 a+b<ab,C中不等式成立,D中不等式成立.故选 AB. 5.(多选题)已知a>b>1,则下列不等式一定成立的有 ( ) A.a2>b2 B. a-b> a- b C.a3+b3>2a2b D.a+ 1 b >b+ 1 a 答案 ABD 解析 a>b>1,则a2>b2,A中不等式成立; ( a-b)2-(a- b)2=2b(a- b); 因为a>b>1,所以 a> b>0, 所以2b(a- b)>0,即( a-b)2>(a- b)2, 又 a-b>0,a- b>0,所以 a-b> a- b, B中不等式成立; 29
数学必修 第一册 配人教A版 取a=2,b= 3 2 ,则a3+b'=8+ <2a2b=12,C中 3.下列命题为真命题的是( 不等式不成立： A若a>6,且日>行则e>0b0 a-6+(-)-a-6+b=a-6+》 ab B若a>b,6≠0，则号>1 因为a>6>1,所以(a-b1+3)>0, C.若a>b,且a十c>b+d,则c>d D.若a>b,且ac>bd,则c>d 所以a+名>6+亡D中不等式成立，数选Am 1 答案A 6.已知一辆汽车原来每天行驶xkm. 解析对于A,日>行的2>0 ab,.. (1)如果现在这辆汽车每天行驶的路程比原来多19km, 又a>b,.b-a<0,∴ab<0, 那么它8天的行程就超过2200km,该问题用不等式 ∴a>0,b<0.故A中命题为真命题： 可表示为 (2)如果现在这辆汽车每天行驶的路程比原来少12km, 对于B,当a>0,6<0时，有号<1，故B中命题为假 那么它原来行驶8天的路程现在就得花9天多的时间 命题； 行驶，该问题用不等式可表示为 对于C,当a=10,b=2,c=1,d=3时，有10十1> 答案(1)8(x+19)>220(2)9<,2<10 8x 2十3，但1<3，故C中命题为假命题： 对于D,当a=一1，b=一2，c=一1，d=3时，有（一1）× 7.若1≤a≤5，-1≤b≤2，求a一b的取值范围. (一1)>（一2）×3，但一1<3，故D中命题为假命题 解-1≤b≤2，∴.-2≤-b≤1. 故选A 又1≤a≤5，∴.-1≤a-b≤6. 4.若a>b>c,且a十b十c=0,则下列不等式中正确的是 拓展·提高 () A.abac B.ac>be 1若-1<a<3<1,则下列各式中恒成立的是( C.albl>clbl D.a2>b2>c2 A.-2<a-B<0 B.-2<a-BK-1 答案A C.-1<a-3<0 解析由a>b>c及a十b十c=0知a>0,c<0, D.-1<a-<1 又a>0,b>c,ab>ac 答案A 5.已知a≠2，b≠-1，M=a2+b2,N=4a一2b-5,则M与 解析由一1<a<1,一1<3<1，得一1<一3<1， N的大小关系为 ∴.-2<a-B<2.又a<3,∴-2<a-B<0 答案M>N 2.已知a,b,c,d均为实数，有下列命题 解析，M-N=a2+b2-4a+2b十5=(a-2)2+(b+ ①若b<0,c-ad>0,则5-4>0：@若ab>0, 1)2,又a≠2，b≠-1，.M-N>0,即M>N. b a 6.已知12<a<60,15<b<36,求2a-b的取值范围 号>0，则c-ad>0:@若灰-a>0,后-号>0，则 解：15<<36，∴.-36<-b<-15.:12<a<60,.24< 2a<120..-12<2a-b<105. ab>0.其中真命题的个数是() 7.某矿山车队有4辆载质量为101的甲型卡车和7辆载质 A.0 B.1 C.2 D.3 量为6t的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运 答案C 360t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次， 解析①：ab<0: <0. 乙型卡车每辆每天可往返8次.用不等式或不等式组表示 ab 上述问题中的不等关系 灰-a>0小话依-a)<0,即台-号<0 解设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，由题意， ①中命题为假命题： x十y≤9， x十y9, ②rcb>0,后-名>0b(后-)>0， 10X6.x+6×8y≥360， 5.x+4y≥30， 得0x4, 即0≤x≤4， 即bc一ad>0,∴.②中命题为真命题： 0≤y≤7， 0≤y≤7， a6>0,.:cad ③cd、 ab>0, z∈N,y∈N, z∈N,y∈N 又bc-ad>0, 挑战·创新 .ab>0, 已知0a+b< ③中命题为真命题 受-<a-6<号，求2a和a-的 故选C. 取值范围 30
数 学 必修 第一册 配人教 A版 取a=2,b= 3 2 ,则a3+b3=8+ 27 8 <2a2b=12,C中 不等式不成立; a-b+ 1 b - 1 a =a-b+ a-b ab =(a-b)1+ 1 ab , 因为a>b>1,所以(a-b)1+ 1 ab >0, 所以a+ 1 b >b+ 1 a .D中不等式成立.故选 ABD. 6.已知一辆汽车原来每天行驶xkm. (1)如果现在这辆汽车每天行驶的路程比原来多19km, 那么它8天的行程就超过2200km,该问题用不等式 可表示为 ; (2)如果现在这辆汽车每天行驶的路程比原来少12km, 那么它原来行驶8天的路程现在就得花9天多的时间 行驶,该问题用不等式可表示为 . 答案 (1)8(x+19)>2200 (2)9< 8x x-12 <10 7.若1≤a≤5,-1≤b≤2,求a-b的取值范围. 解 ∵-1≤b≤2,∴-2≤-b≤1. 又1≤a≤5,∴-1≤a-b≤6. 拓展 提高 1.若-1<α<β<1,则下列各式中恒成立的是( ) A.-2<α-β<0 B.-2<α-β<-1 C.-1<α-β<0 D.-1<α-β<1 答案 A 解析 由-1<α<1,-1<β<1,得-1<-β<1, ∴-2<α-β<2.又α<β,∴-2<α-β<0. 2.已知a,b,c,d 均为实数,有下列命题: ①若ab<0,bc-ad>0,则 c a - d b >0;②若ab>0, c a - d b >0,则bc-ad>0;③若bc-ad>0, c a - d b >0,则 ab>0.其中真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C 解析 ①∵ab<0,∴ 1 ab <0. ∵bc-ad>0,∴ 1 ab ·(bc-ad)<0,即 c a - d b <0, ∴①中命题为假命题; ②∵ab>0, c a - d b >0,∴ab c a - d b >0, 即bc-ad>0,∴②中命题为真命题; ③∵ c a - d b >0,∴ bc-ad ab >0, 又bc-ad>0, ∴ab>0, ∴③中命题为真命题. 故选C. 3.下列命题为真命题的是( ) A.若a>b,且 1 a > 1 b ,则a>0,b<0 B.若a>b,b≠0,则 a b >1 C.若a>b,且a+c>b+d,则c>d D.若a>b,且ac>bd,则c>d 答案 A 解析 对于 A,∵ 1 a > 1 b ,∴ b-a ab >0. 又a>b,∴b-a<0,∴ab<0, ∴a>0,b<0.故 A中命题为真命题; 对于B,当a>0,b<0时,有 a b <1,故B中命题为假 命题; 对于C,当a=10,b=2,c=1,d=3时,有10+1> 2+3,但1<3,故C中命题为假命题; 对于D,当a=-1,b=-2,c=-1,d=3时,有(-1)× (-1)>(-2)×3,但-1<3,故D中命题为假命题. 故选 A. 4.若a>b>c,且a+b+c=0,则下列不等式中正确的是 ( ) A.ab>ac B.ac>bc C.a|b|>c|b| D.a2>b2>c2 答案 A 解析 由a>b>c及a+b+c=0知a>0,c<0, 又a>0,b>c,∴ab>ac. 5.已知a≠2,b≠-1,M=a2+b2,N=4a-2b-5,则 M 与 N 的大小关系为 . 答案 M>N 解析 ∵M-N=a2+b2-4a+2b+5=(a-2)2+(b+ 1)2,又a≠2,b≠-1,∴M-N>0,即M>N. 6.已知12<a<60,15<b<36,求2a-b的取值范围. 解 ∵15<b<36,∴-36<-b<-15.∵12<a<60,∴24< 2a<120.∴-12<2a-b<105. 7.某矿山车队有4辆载质量为10t的甲型卡车和7辆载质 量为6t的乙型卡车,有9名驾驶员.此车队每天至少要运 360t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次, 乙型卡车每辆每天可往返8次.用不等式或不等式组表示 上述问题中的不等关系. 解 设每天派出甲型卡车x 辆,乙型卡车y辆,由题意, 得 x+y≤9, 10×6x+6×8y≥360, 0≤x≤4, 0≤y≤7, x∈N,y∈N, 即 x+y≤9, 5x+4y≥30, 0≤x≤4, 0≤y≤7, x∈N,y∈N. 挑战 创新 已知0<a+b< π 2 ,- π 2 <a-b< π 3 ,求2a和3ab 3 的 取值范围. 30