数学 必修 第一册 配人教A版 0… 所以一2m≤ 4 ,每释m≥ 应有3十m≤3， 2 即m的取值范国是mm≥8} m>0, 解得0m≤3. 规律总结」1，从集合角度看充分、必要条件：设条件 故实数m的取值范图是{m0<m≤3}， p,9分别对应集合A,B,若A二B,则p是q的充分条 (2)由已知可得 件：若B二A,则p是q的必要条件. 集合A={=(-)-x∈R={y≥ 2.利用充分、必要条件求参数的取值范围的思路 根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将条件 -},B=zlz>-2mm∈R. p,9等价转化为相应的集合，再根据充分、必要条件与集 合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含 因为q是p的必要条件， 关系，然后建立关于参数的不等式（组）来求解 所以p→q,所以A二B, 课后·训练提升 基础·巩固 答案A 解析当x>1,y>1时，x十y>2一定成立，即p→q;当 1设集合A={x|0≤x≤3}，B={x1≤x≤3}，那么“m∈ x十y>2时，可以x=一1y=4,此时x<1,9推不出p A”是“m∈B”的( ) 故p是g的充分条件。 A.充分条件 4.下列说法正确的是( ) B.必要条件 A.“x2>0是“x>0”的充分条件 C既不充分也不必要条件 B.“xy=0”是“x=0”的必要条件 D.以上答案都不正确 C.“|a|=lb|”是“a=b”的充分条件 答案B D.“|x>1”是“x2不小于1”的必要条件 解析因为集合A={x|0≤x≤3}，B={x|1≤x≤3}，则 答案B 由“m∈A”得不到“m∈B”,但由“m∈B”可得到“m∈A”. 解析A中，由于（一2）2>0，但一2<0，“x2>0”不能推出 故选B. “x>0”,所以“x2>0”不是“x>0”的充分条件.B中，因为 2.（多选题)对于任意的实数a,b,c,下列说法正确的是 x=0→xy=0,所以“xy=0”是“x=0”的必要条件.C中， ( 由于|一2|=|2，但-2≠2，“|a=|b|”不能推出“a= A.“ac2>bc2”是“a>b"的充分条件 b”,所以“|a|=|b|”不是“a=b”的充分条件.D中，由于 B.“a3=b3”是“a=b”的必要条件 (-1)2=1,但|-1|=1，“x2不小于1”不能推出“1x> C“g<"是“a<b的必要条件 1”,所以“|x>1”不是“x2不小于1”的必要条件.故选B. C D.“a2<b2”是“a<b”的充分条件 5.已知条件p:m>0,结论q:关于x的方程x2-x一m=0 答案AB 有实根，则( 解析图为ac2>bc2>a>b,所以“ac2>bc2"是“a>b”的 A.p是g的充分条件 B.p是q的必要条件 充分条件；图为a=b→a3=b3,所以“a3=b3”是“a=b”的 C.p不是q的充分条件 必要条件：因为a中<名加23，但-号>-昌 D.无法判断 所以a<么"不是“a<b”的必要条件；因为a2<2中a< 答案A 解析因为关于x的方程x2一x一m=0有实根，所以△= b,如(-2)2<(-3)2，但-2>-3，所以“a2<b2”不是 “a<b”的充分条件. 1计n≥0，解得m≥-子而mlm>ocmm≥-}。 3.设p:实数x,y满足x>1且y>1,q:实数x,y满足x十 所以“m>0”是“关于x的方程x2一x一m=0有实根”的 y>2,则p是g的() 充分条件.故选A A.充分条件 6.若“2x十m<0”是“x<一1或x>3”的充分条件，则实数 B.必要条件 m的取值范围是() C.既不充分也不必要条件 A.m6 B.2m6 D.以上答案都不正确 C.m≥2 D.m2 16
数 学 必修 第一册 配人教 A版 应有 3-m 2 ≥0, 3+m 2 ≤3, m>0, 解得0<m≤3. 故实数m 的取值范围是{m|0<m≤3}. (2)由已知可得 集合 A= y y= x- 3 2 2 - 5 4 ,x∈R = y y≥ - 5 4 ,B={x|x≥-2m,m∈R}. 因为q是p 的必要条件, 所以p⇒q,所以A⊆B, 所以-2m≤- 5 4 ,解得m≥ 5 8 , 即m 的取值范围是 m m≥ 5 8 . 1.从集合角度看充分、必要条件:设条件 p,q分别对应集合A,B,若A⊆B,则p 是q 的充分条 件;若B⊆A,则p 是q的必要条件. 2.利用充分、必要条件求参数的取值范围的思路 根据充分、必要条件求参数的取值范围时,先将条件 p,q等价转化为相应的集合,再根据充分、必要条件与集 合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含 关系,然后建立关于参数的不等式(组)来求解. 课后·训练提升 基础 巩固 1.设集合A={x|0≤x≤3},B={x|1≤x≤3},那么“m∈ A”是“m∈B”的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.以上答案都不正确 答案 B 解析 因为集合A={x|0≤x≤3},B={x|1≤x≤3},则 由“m∈A”得不到“m∈B”,但由“m∈B”可得到“m∈A”. 故选B. 2.(多选题)对于任意的实数a,b,c,下列说法正确的是 ( ) A.“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件 B.“a3=b3”是“a=b”的必要条件 C.“ a c < b c ”是“a<b”的必要条件 D.“a2<b2”是“a<b”的充分条件 答案 AB 解析 因为ac2>bc2⇒a>b,所以“ac2>bc2”是“a>b”的 充分条件;因为a=b⇒a3=b3,所以“a3=b3”是“a=b”的 必要条件;因为a<b⇒/ a c < b c ,如2<3,但- 2 5 >- 3 5 , 所以“ a c < b c ”不是“a<b”的必要条件;因为a2<b2⇒/a< b,如(-2)2<(-3)2,但-2>-3,所以“a2<b2”不是 “a<b”的充分条件. 3.设p:实数x,y满足x>1且y>1,q:实数x,y 满足x+ y>2,则p 是q的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.以上答案都不正确 答案 A 解析 当x>1,y>1时,x+y>2一定成立,即p⇒q;当 x+y>2时,可以x=-1,y=4,此时x<1,q推不出p. 故p 是q的充分条件. 4.下列说法正确的是( ) A.“x2>0”是“x>0”的充分条件 B.“xy=0”是“x=0”的必要条件 C.“|a|=|b|”是“a=b”的充分条件 D.“|x|>1”是“x2 不小于1”的必要条件 答案 B 解析 A中,由于(-2)2>0,但-2<0,“x2>0”不能推出 “x>0”,所以“x2>0”不是“x>0”的充分条件.B中,因为 x=0⇒xy=0,所以“xy=0”是“x=0”的必要条件.C中, 由于|-2|=|2|,但-2≠2,“|a|=|b|”不能推出“a= b”,所以“|a|=|b|”不是“a=b”的充分条件.D中,由于 (-1)2=1,但|-1|=1,“x2 不小于1”不能推出“|x|> 1”,所以“|x|>1”不是“x2 不小于1”的必要条件.故选B. 5.已知条件p:m>0,结论q:关于x 的方程x2-x-m=0 有实根,则( ) A.p 是q的充分条件 B.p 是q的必要条件 C.p 不是q的充分条件 D.无法判断 答案 A 解析 因为关于x 的方程x2-x-m=0有实根,所以Δ= 1+4m≥0,解得m≥- 1 4 .而{m|m>0}⊆ m m≥- 1 4 , 所以“m>0”是“关于x 的方程x2-x-m=0有实根”的 充分条件.故选 A. 6.若“2x+m<0”是“x<-1或x>3”的充分条件,则实数 m 的取值范围是( ) A.m≥6 B.2≤m≤6 C.m≥2 D.m≤2 16
第一章集合与常用逻辑用语 答案C A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 解析由已知得{<-受，m∈R{xr<-1,或 B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C,丙既是甲的充分条件，也是甲的必要条件 x>31,所以-受≤-1，解得m≥2.故选C D.丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 答案A 7.设x,y∈R,那么“x>y>0”是工>1"的 条件 解析由已知得乙→甲，丙→乙，乙中丙，所以丙→甲， y 甲中丙.故选A (填“充分”或“必要”). 3.关于x的一元二次方程x2+x十m=0有实数解的一个必 答案充分 要条件是( 解析x>y>0→工>1，而由工>1推不出x>y>0,如： Am<号 x=-5,y=一4，满足工>1，但-5<-4<0，不满足x> y>0.故“x>y>0”是“>1”的充分条件」 cm<-号 8.若“a≤x≤2a十1”是“1<x<2”的必要条件，则a的取值 范围是 Am<-} 答案<a<1 答案A 解析由题意可得，△=1一41≥0， 解析由已知得{x|1<x<2}二{x|a≤x≤2a十l,a∈ 解得m<子 R,所以2a+1≥2， 观察回个选项，只有m<分“是“m≤}的必要 9.判断下列各题中的p是q的什么条件.（在“充分条件”“必 要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种) 条件 故选A (1)p:x-5=0,q:(.x-5)(x-3)=0: (2)p:m<-3,q:方程x2-x-m=0无实根： 4.下列选项中，可以作为一元二次方程ax2十2x十1=0(a≠ 0)有一个正根和一个负根的充分条件的是() (3)p:四边形的对角线相等，q:四边形是矩形. A.a<0 B.a>0 解(1)因为x-5=0→(x-5)(x-3)=0,而(x-5)· Ca<-1 D.a<1 (x-3)=0≯x-5=0, 答案C 所以p是q的充分条件 解析因为一元二次方程a.x2+2x十1=0(a≠0)有一个 (2)因为x2-x-一m=0无实根时， 4-4a>0, △=(-1)2-4×(-m)=1+4m<0, 正根和一个负根，所以 解得a<0.四个选项中 即m<-, 0 只有a<-1→a<0. 所以q:m<一4 1 故选C 5.已知a,b都是实数，试从①ab=0:②a十b=0:③ab>0中 所以p→q,q中p. 所以p是q的充分条件 选出适合的条件，用序号填空， (1)a,b都为0的必要条件是 (3)因为矩形的对角线相等，所以q→p.而对角线相 (2)使a,b都不为0的充分条件是 等的四边形不一定是矩形，所以p卡q,所以p是q的必要 答案(1)①②(2)③ 条件 解析(1)“a,b都为0”能推出“ab=0,a十b=0”,所以填 拓展·提高 ①②. 1.已知条件p:k=1,结论q:函数y=kx十1的图象经过第 (2)因为“ab>0”能推出“a,b都不为0”，所以“a,b都 一象限，则() 不为0”的充分条件是“ab>0”. A.p是q的充分条件 6.在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件？ B.p是q的必要条件 (在“充分”“必要”“既不充分也不必要”中选出一种) C.p不是q的充分条件 D.无法判断 答案A 2.已知甲、乙、丙三个条件，如果甲是乙的必要条件，丙是乙 的充分条件，但不是乙的必要条件，那么() 3
第一章 集合与常用逻辑用语 答案 C 解析 由已知得 x x<- m 2 ,m∈R ⊆{x|x<-1,或 x>3},所以- m 2 ≤-1,解得m≥2.故选C. 7.设x,y∈R,那么“x>y>0”是“ x y >1”的 条件 (填“充分”或“必要”). 答案 充分 解析 x>y>0⇒ x y >1,而由 x y >1推不出x>y>0,如: x=-5,y=-4,满足 x y >1,但-5<-4<0,不满足x> y>0.故“x>y>0”是“ x y >1”的充分条件. 8.若“a≤x≤2a+1”是“1<x<2”的必要条件,则a 的取值 范围是 . 答案 1 2 ≤a≤1 解析 由已知得{x|1<x<2}⊆{x|a≤x≤2a+1,a∈ R},所以 a≤1, 2a+1≥2, 即 1 2 ≤a≤1. 9.判断下列各题中的p 是q的什么条件.(在“充分条件”“必 要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种) (1)p:x-5=0,q:(x-5)(x-3)=0; (2)p:m<-3,q:方程x2-x-m=0无实根; (3)p:四边形的对角线相等,q:四边形是矩形. 解 (1)因为x-5=0⇒(x-5)(x-3)=0,而(x-5)· (x-3)=0⇒/x-5=0, 所以p 是q的充分条件. (2)因为x2-x-m=0无实根时, Δ=(-1)2-4×(-m)=1+4m<0, 即m<- 1 4 , 所以q:m<- 1 4 . 所以p⇒q,q⇒/p. 所以p 是q的充分条件. (3)因为矩形的对角线相等,所以q⇒p.而对角线相 等的四边形不一定是矩形,所以p⇒/q,所以p 是q的必要 条件. 拓展 提高 1.已知条件p:k=1,结论q:函数y=kx+1的图象经过第 一象限,则( ) A.p 是q的充分条件 B.p 是q的必要条件 C.p 不是q的充分条件 D.无法判断 答案 A 2.已知甲、乙、丙三个条件,如果甲是乙的必要条件,丙是乙 的充分条件,但不是乙的必要条件,那么( ) A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件 C.丙既是甲的充分条件,也是甲的必要条件 D.丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件 答案 A 解析 由已知得乙⇒甲,丙⇒乙,乙⇒/丙,所以丙⇒甲, 甲⇒/丙.故选 A. 3.关于x 的一元二次方程x2+x+m=0有实数解的一个必 要条件是( ) A.m< 1 2 B.m< 1 4 C.m<- 1 2 D.m<- 1 4 答案 A 解析 由题意可得,Δ=1-4m≥0, 解得m≤ 1 4 . 观察四个选项,只有“m < 1 2 ”是“m ≤ 1 4 ”的必要 条件. 故选 A. 4.下列选项中,可以作为一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠ 0)有一个正根和一个负根的充分条件的是( ) A.a≤0 B.a>0 C.a<-1 D.a<1 答案 C 解析 因为一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个 正根和一个负根,所以 4-4a>0, 1 a <0, 解得a<0.四个选项中 只有a<-1⇒a<0. 故选C. 5.已知a,b都是实数,试从①ab=0;②a+b=0;③ab>0中 选出适合的条件,用序号填空. (1)a,b都为0的必要条件是 ; (2)使a,b都不为0的充分条件是 . 答案 (1)①② (2)③ 解析 (1)“a,b都为0”能推出“ab=0,a+b=0”,所以填 ①②. (2)因为“ab>0”能推出“a,b都不为0”,所以“a,b都 不为0”的充分条件是“ab>0”. 6.在下列电路图中,闭合开关 A 是灯泡 B亮的什么条件? (在“充分”“必要”“既不充分也不必要”中选出一种) 17
数学必修第一册 配人教A版 (1)如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件： :p是q的一个充分条件， (2)如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件： p→q,A二B, (3)如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件 答案(1)充分(2)必要(3)既不充分也不必要 -g<-1 解析(1)开关A闭合，灯泡B亮：而灯泡B亮时，开关A ∴.m≥3， 即m的取值范围是m≥3. 不一定闭合，故开关A闭合是灯泡B亮的充分条件， (2)开关A闭合，灯泡B不一定亮；而灯泡B亮，开关 挑战·创新 A必须闭合，故开关A闭合是灯泡B亮的必要条件. 已知p:(x-3)(x十1)<0.若-a<x-1<a(a>0)是p (3)开关A闭合，灯泡B不一定亮：而灯泡B亮，开关 的一个必要条件，求使a>b恒成立的实数b的取值范围. A也不一定闭合，所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充 分也不必要条件 解由(x-3)(x+1)<0,得-1<x<3. 7.已知p:3x十m<0,g:x<-1或x>3,若p是q的一个 由-a<x-1<a,得1-a<x<1十a. 充分条件，则m的取值范围是 图为-a<x一l<a(a>0)是p的一个必要条件， 答案m≥3 所以{x|-1<x<3}二{xl1-a<x<1十a,a>0} 解析由3x十m<0,得r<-号 所以1a≤一1. `1+a≥3， 解得a≥2. 记条合A=<-号m∈R,B=x<-1, 则使a>b恒成立的实数b的取值范图是b<2. 或x>3}, 1.4.2 充要条件 课前·基础认知 1.充要条件 (2)若p台g,则p是g的充要条件. 如果“若p,则g”和它的逆命题“若q,则p”均是真命 (3)若p→g,且q中p,则称p是q的充分不必要 题，即既有p→g,又有q→p,就记作p台q.此时，p既是q 条件」 的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必 (4)若p本q,且q→p,则称p是g的必要不充分 要条件，简称为充要条件. 条件 如果p是g的充要条件，那么q也是p的充要条件，即 (5)若p≯g,且q≯p,则称p是g的既不充分也不必要 如果p台g,那么p与q互为充要条件. 条件. 2.从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 3.“台”的传递性 (1)若p→q,则称p是g的充分条件，g是p的必要 若p是g的充要条件，q是s的充要条件，即p台q,q曰 条件 s,则有p台s,即p是s的充要条件. 课堂 重难突破 一充要条件的判断 所以p是q的充要条件。 (3)图为A∩B=A→A二B→CB二CA,并且CBC 典例剖析 CA→A二B→A∩B=A, 所以p是q的充要条件 1.在下列各题中，试判断p是q的什么条件. (1)p:a十5是无理数，9：a是无理数； 规律总结」判断p是g的充要条件的两个角度 (2)若a,b∈R,p:a2+b2=0,9:a=b=0: (1)命题角度：判断p是q的充要条件，需判断p→q (3)p:A∩B=A,g:CB≤CA. 及q→p两个方面. 解(1)因为a十5是无理数→a是无理数，并且a是无 (2)集合角度：当不容易判断p→g及q→p时，也 理数→a十5是无理数， 可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合→大集 所以p是q的充要条件 合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大 (2)因为a2+b2=0→a=b=0,并且a=b=0→a2+ 有益处的 b2=0. 18
数 学 必修 第一册 配人教 A版 (1)如图①所示,开关A闭合是灯泡B亮的 条件; (2)如图②所示,开关A闭合是灯泡B亮的 条件; (3)如图③所示,开关A闭合是灯泡B亮的 条件. 答案 (1)充分 (2)必要 (3)既不充分也不必要 解析 (1)开关 A闭合,灯泡B亮;而灯泡B亮时,开关 A 不一定闭合,故开关 A闭合是灯泡B亮的充分条件. (2)开关 A闭合,灯泡B不一定亮;而灯泡B亮,开关 A必须闭合,故开关 A闭合是灯泡B亮的必要条件. (3)开关 A闭合,灯泡B不一定亮;而灯泡B亮,开关 A也不一定闭合,所以开关 A 闭合是灯泡B亮的既不充 分也不必要条件. 7.已知p:3x+m<0,q:x<-1或x>3,若p 是q的一个 充分条件,则m 的取值范围是 . 答案 m≥3 解析 由3x+m<0,得x<- m 3 . 记集合A= x x<- m 3 ,m∈R ,B={x|x<-1, 或x>3}, ∵p 是q的一个充分条件, ∴p⇒q,∴A⊆B, ∴- m 3 ≤-1, ∴m≥3, 即m 的取值范围是m≥3. 挑战 创新 已知p:(x-3)(x+1)<0.若-a<x-1<a(a>0)是p 的一个必要条件,求使a>b恒成立的实数b的取值范围. 解 由(x-3)(x+1)<0,得-1<x<3. 由-a<x-1<a,得1-a<x<1+a. 因为-a<x-1<a(a>0)是p 的一个必要条件, 所以{x|-1<x<3}⊆{x|1-a<x<1+a,a>0}. 所以 1-a≤-1, 1+a≥3, 解得a≥2. 则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b<2. 1.4.2 充要条件 课前·基础认知 1.充要条件 如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命 题,即既有 p⇒q ,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,p 既是q 的充分条件,也是q的必要条件,我们说p 是q 的 充分必 要 条件,简称为 充要 条件. 如果p 是q的充要条件,那么q也是p 的充要条件,即 如果p⇔q,那么p 与q互为 充要 条件. 2.从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 (1)若p⇒q,则称p 是q 的充分条件,q 是p 的必要 条件. (2)若p⇔q,则p 是q的充要条件. (3)若p⇒q,且q⇒/p,则称p 是q 的 充分不必要 条件. (4)若p⇒/q,且q⇒p,则称p 是q 的 必要不充分 条件. (5)若p⇒/q,且q⇒/p,则称p 是q的既不充分也不必要 条件. 3.“⇔”的传递性 若p 是q的充要条件,q是s的充要条件,即p⇔q,q⇔ s,则有p⇔s,即p 是s的充要条件. 课堂·重难突破 一 充要条件的判断 典例剖析 1.在下列各题中,试判断p 是q的什么条件. (1)p:a+5是无理数,q:a是无理数; (2)若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0; (3)p:A∩B=A,q:∁UB⊆∁UA. 解 (1)因为a+5是无理数⇒a 是无理数,并且a 是无 理数⇒a+5是无理数, 所以p 是q的充要条件. (2)因为a2+b2=0⇒a=b=0,并且a=b=0⇒a2+ b2=0, 所以p 是q的充要条件. (3)因为A∩B=A⇒A⊆B⇒∁UB⊆∁UA,并且∁UB⊆ ∁UA⇒A⊆B⇒A∩B=A, 所以p 是q的充要条件. 判断p 是q的充要条件的两个角度 (1)命题角度:判断p 是q的充要条件,需判断p⇒q 及q⇒p 两个方面. (2)集合角度:当不容易判断p⇒q及q⇒p 时,也 可以从集合角度去判断,结合集合中“小集合⇒大集 合”的关系来理解,这对解决与逻辑有关的问题是大 有益处的. 18
第一章集合与常用逻辑用语 二充要条件的探求与证明 (2)可以利用集合的思想来证明，证明p与q的解集 是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚 典例剖析 由哪些条件推证到哪些结论 2.求证：一元二次方程a.x2+bx十c=0(a≠0)有一正根 提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证 和一负根的充要条件是ac<0. 明方向。 证明①必要性：图为一元二次方程ax2十bx十c=0 三 充分条件、必要条件、充要条件的应用 （a≠0)有一正根和一负根，所以△=b2-4ac>0.x1x=a 典例剖析 0(x1x2为一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)的两根)， 所以ac<0. 3.已知p:-2≤x≤10，q:1-m≤x≤1十m(m>0),若 ②充分性：由ac<0可推得△=b2-4ac>0及x1x2= p是g的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 <0(x1x2为一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)的两 a 答案{mlm≥9} 根).所以一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)有两个相异 解析因为p是q的充分不必要条件， 的实根，且两根异号，即一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠ 所以p→q且q中p, 0)有一正根和一负根 即{x|-2≤x≤10}是{x|1-m≤x≤1十m,m>0}的 絮上所述，一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)有一正 真子集， 根和一负根的充要条件是ac<0. m>0. 规律总结 所以1-m<-2, 充要条件的证明策略 1+m≥10 (1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要 1-m≤-2， 性两个方向进行，即证明两个命题“若p,则q”和“若q, 或m>0, 解得m≥9. 则p”均为真 1+m>10. 所以实数m的取值范围为{m|m≥9}. 课后·训练提升 基础·巩固 工-1>0成立，但由2x2+x-1>0不一定得到x>2 1.在圆O中，“圆周角相等”是“圆周角所对的弧相等”的( A.充分不必要条件 所以x>”是2r+z-1>0的充分不必要条件。 B.必要不充分条件 4.“|x-1<2成立”是“x(x一3)<0成立”的() C.充要条件 A.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件 答案C C.充要条件 2.“关于x的方程ax2+bx十c=0(a≠0)的解集为☑”是 D.既不充分也不必要条件 “b2-4ac<0”"的( 答案B A.充分不必要条件 解析因为|x-1|<2→-1<x<3,x(x-3)<0→>0< B.必要不充分条件 x<3,{xl0<x<3}至{x|-1<x<3, C.充要条件 所以“|x-1<2成立”是“x(x-3)<0成立”的必要 D.既不充分也不必要条件 不充分条件。 答案C 5.如果不等式x≤m成立的充分不必要条件是1≤x≤2，则 3设x∈R则x>号是2x+红-1D0的 m的最小值为 答案2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 解析由题意可知1≤x≤2→x≤m,反之不成立，所以 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 m≥2，即m的最小值为2. 答案A 6.“⊙O内的两条弦相等”是“⊙O内两条弦所对的弧相等” 解析不等式2x2十x一1>0，即(x十1)(2x一1)>0，解得 的 条件（填“充分不必要”“必要不充分” “充要”或“既不充分也不必要”). >号或x<-1,所以由x>号可以得到不等式2x2+ 答案必要不充分 19
第一章 集合与常用逻辑用语 二 充要条件的探求与证明 典例剖析 2.求证:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根 和一负根的充要条件是ac<0. 证明 ①必要性:因为一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一正根和一负根,所以Δ=b2-4ac>0,x1x2= c a < 0(x1,x2 为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根), 所以ac<0. ②充分性:由ac<0可推得Δ=b2-4ac>0及x1x2= c a <0(x1,x2 为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两 根).所以一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相异 的实根,且两根异号,即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ 0)有一正根和一负根. 综上所述,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正 根和一负根的充要条件是ac<0. 充要条件的证明策略 (1)要证明p 是q的充要条件,需要从充分性和必要 性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”和“若q, 则p”均为真. (2)可以利用集合的思想来证明,证明p 与q的解集 是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚 由哪些条件推证到哪些结论. 提醒:证明时一定要注意,分清充分性与必要性的证 明方向. 三 充分条件、必要条件、充要条件的应用 典例剖析 3.已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若 p 是q 的 充 分 不 必 要 条 件,则 实 数 m 的 取 值 范 围 为 . 答案 {m|m≥9} 解析 因为p 是q的充分不必要条件, 所以p⇒q且q⇒/p, 即{x|-2≤x≤10}是{x|1-m≤x≤1+m,m>0}的 真子集, 所以 m>0, 1-m<-2, 1+m≥10 或 1-m≤-2, m>0, 1+m>10, 解得m≥9. 所以实数m 的取值范围为{m|m≥9}. 课后·训练提升 基础 巩固 1.在圆O 中,“圆周角相等”是“圆周角所对的弧相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 2.“关于x 的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集为⌀”是 “b2-4ac<0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 3.设x∈R,则“x> 1 2 ”是“2x2+x-1>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 不等式2x2+x-1>0,即(x+1)(2x-1)>0,解得 x> 1 2 或x<-1,所以由x> 1 2 可以得到不等式2x2+ x-1>0成立,但由2x2+x-1>0不一定得到x> 1 2 , 所以“x> 1 2 ”是“2x2+x-1>0”的充分不必要条件. 4.“|x-1|<2成立”是“x(x-3)<0成立”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 因为|x-1|<2⇒-1<x<3,x(x-3)<0⇒0< x<3,{x|0<x<3}⫋{x|-1<x<3}, 所以“|x-1|<2成立”是“x(x-3)<0成立”的必要 不充分条件. 5.如果不等式x≤m 成立的充分不必要条件是1≤x≤2,则 m 的最小值为 . 答案 2 解析 由题意可知1≤x≤2⇒x≤m,反之不成立,所以 m≥2,即m 的最小值为2. 6.“☉O 内的两条弦相等”是“☉O 内两条弦所对的弧相等” 的 条件(填“充分不必要”“必要不充分” “充要”或“既不充分也不必要”). 答案 必要不充分 19
数学必修第一册 配人教A版 7.当n∈N"时，求关于x的一元二次方程x2-4x十n=0有 {xl0<x<1}{xla≤x≤a十2}， 整数根的充要条件。 |a0, 所以 解若关于x的一元二次方程x2一4x十n=0有实数根， a+2≥1, 解得一l≤a≤0.故选A 则△=(-4)2-4n≥0，解得n≤4.又n∈N”,则当n=4 4.设a,b,c分别是△ABC的三边，则“△ABC为等边三角 时，关于x的一元二次方程x2一4x十4=0有整数根2：当 形”是“a2+b2+c2=ab+bc+ac”的() n=3时，关于x的一元二次方程x2一4x十3=0有整数根 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 1,3;当n=2时，关于x的一元二次方程x2-4x十2=0 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 无整数根；当n=1时，关于x的一元二次方程x2-4x十 答案C 1=0无整数根.所以n∈N”,关于x的一元二次方程 解析因为a2+b2十c2=ab十bc十ac, x2-4x十n=0有整数根的充要条件是n=3或n=4. 所以2a2+2b2+2c2-2ab-2hc-2ac=0,所以(a- 拓展·提高 b)2十(b一c)2+(a一c)2=0.所以a=b=c.此过程逆推也 成立，故选C 1.“A∩B为空集”是“A,B中至少有一个为空集”的( 5.设a,b∈R,则“(a-b)a2<0"是“a<b”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案B 答案A 解析当A={1,3},B={2,4}时，A∩B=0,但A,B都 解析若0=a<b,则(a一b)a2=0,所以由a<b不能推 不是空集，所以“A∩B为室集”不是“A,B中至少有一个 出(a-b)a2<0,故必要性不成立.由(a-b)a2<0,知 为空集”的充分条件.当A,B中至少有一个为室集时， a2>0,可得a<b,故充分性成立.综上可得“(a-b)a2< A∩B显然为空集，所以“A∩B为空集”是“A,B中至少 0”是“a<b”的充分不必要条件，故选A 有一个为空集”的必要不充分条件. 2.已知a,b∈R,则a十b≠0的一个必要不充分条件是( 挑战·创新 A.ab0 B.a>0且b>0 已知ab≠0，求证：a十b=1的充要条件是a3+b3+ab- C.a+b>3 D.a≠0或b≠0 a2-b2=0. 答案D 证明(1)必要性： 解析当a十b≠0时，可取a=一3，b=1,此时ab>0, a+b=1,∴a十b-1=0. a>0且b>0,a十b>3均不成立.用反证法易证选项D为 .a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)- 所求的一个必要不充分条件，故选D. (a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab十b2)=0. (2)充分性： 3若“0<x<1”是“ x一a≥0， x-(a+2)≤ ”的充分不必要条件，则 .a3+b3+ab-a2-b2=(a+b-1)(a2-ab+b2)= 实数a的取值范围是( 0,又ab≠0，.a≠0，且b≠0. A-1a0 B.-1<a<0 C.a≤0或a≥1 D.a<-1或a>0 -ab+b-(a-2+>0 答案A ∴a十b-1=0,即a十b=1. 解析由/r一a≥0， 综上可知，当ab≠0时，a十b=1的充要条件是a3十 x-(a+2)≤0 可得，a≤xa十2.则由已知得 b3十ab-a2-b2=0. 1.5全称量词与存在量词 1.5.1 全称量词与存在量词 课前·基础认知 1.全称量词与全称量词命题 续表 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 “对M中任意一个x,p(x)成立”，可用符 符号 形式 号简记为“Vx∈M,(x)” 全称量词命题 含有全称量词的命题 20
数 学 必修 第一册 配人教 A版 7.当n∈N* 时,求关于x 的一元二次方程x2-4x+n=0有 整数根的充要条件. 解 若关于x 的一元二次方程x2-4x+n=0有实数根, 则Δ=(-4)2-4n≥0,解得n≤4.又n∈N* ,则当n=4 时,关于x 的一元二次方程x2-4x+4=0有整数根2;当 n=3时,关于x 的一元二次方程x2-4x+3=0有整数根 1,3;当n=2时,关于x 的一元二次方程x2-4x+2=0 无整数根;当n=1时,关于x 的一元二次方程x2-4x+ 1=0无整数根.所以n∈N* ,关于x 的一元二次方程 x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=3或n=4. 拓展 提高 1.“A∩B 为空集”是“A,B 中至少有一个为空集”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 当A={1,3},B={2,4}时,A∩B=⌀,但A,B 都 不是空集,所以“A∩B 为空集”不是“A,B 中至少有一个 为空集”的充分条件.当 A,B 中至少有一个为空集时, A∩B 显然为空集,所以“A∩B 为空集”是“A,B 中至少 有一个为空集”的必要不充分条件. 2.已知a,b∈R,则a+b≠0的一个必要不充分条件是( ) A.ab>0 B.a>0且b>0 C.a+b>3 D.a≠0或b≠0 答案 D 解析 当a+b≠0时,可取a=-3,b=1,此时ab>0, a>0且b>0,a+b>3均不成立.用反证法易证选项D为 所求的一个必要不充分条件.故选D. 3.若“0<x<1”是“ x-a≥0, x-(a+2)≤0 ”的充分不必要条件,则 实数a的取值范围是( ) A.-1≤a≤0 B.-1<a<0 C.a≤0或a≥1 D.a<-1或a>0 答案 A 解析 由 x-a≥0, x-(a+2)≤0 可得,a≤x≤a+2.则由已知得 {x|0<x<1}⫋{x|a≤x≤a+2}, 所以 a≤0, a+2≥1, 解得-1≤a≤0.故选 A. 4.设a,b,c分别是△ABC 的三边,则“△ABC 为等边三角 形”是“a2+b2+c2=ab+bc+ac”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 因为a2+b2+c2=ab+bc+ac, 所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0,所以(ab)2+(b-c)2+(a-c)2=0.所以a=b=c.此过程逆推也 成立.故选C. 5.设a,b∈R,则“(a-b)a2<0”是“a<b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若0=a<b,则(a-b)a2=0,所以由a<b不能推 出(a-b)a2<0,故必要性不成立.由(a-b)a2<0,知 a2>0,可得a<b,故充分性成立.综上可得“(a-b)a2< 0”是“a<b”的充分不必要条件.故选 A. 挑战 创新 已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+aba2-b2=0. 证明 (1)必要性: ∵a+b=1,∴a+b-1=0. ∴a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)- (a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0. (2)充分性: ∵a3+b3+ab-a2-b2=(a+b-1)(a2-ab+b2)= 0,又ab≠0,∴a≠0,且b≠0. ∴a2-ab+b2= ab 2 2 + 3 4 b2>0. ∴a+b-1=0,即a+b=1. 综上可知,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+ b3+ab-a2-b2=0. 1.5 全称量词与存在量词 1.5.1 全称量词与存在量词 课前·基础认知 1.全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有 全称量词 的命题 续 表 形式 “对M 中任意一个x,p(x)成立”,可用符 号简记为“∀x∈M,p(x)” 20