第一章集合与常用逻辑用语 拓展·提高 ∴A∩(BUC)=A,又A={x|-1≤x≤2}， {xla≤xb}={x|一1x≤2}. 1.已知集合M={-1,0,1},N={a,a2},则使M∩N=N ∴a=-1,b=2 成立的a的值是( A.-1 B.0 C.1 D.1或-1 挑战·创新 答案A 已知集合A={x|2a十1≤r≤3a-5,a∈R},B={x|x< 解析因为集合N中的元素互不相同，所以a≠a2, -1,或x>16}. 所以a≠0，且a≠1. (1)若A∩B=0,求实数a的取值范围： 又因为M∩N=N,所以a=-1. (2)若A二(A∩B),求实数a的取值范围. 2.已知MC{a1,a2,aa,a4},则满足M∩{a1,a2,aa}={a1, 解(1)若A=0,则A∩B=0成立. az}的集合M的个数是( 此时2a十1>3a-5,解得a<6. A.I B.2 C.3 D.4 若A≠0，如图 答案B 解析由题意得，集合M中含有元素a1,a2,且不含元素 -12a+13a-5i6 ag,故M={a1,az}或{a1a2,a,}. 12a+13a-5, 3.若A,B,C为三个集合，AUB=B∩C,则一定有() 则(2a十1≥-1，解得6≤a≤7. A.A二C B.C二AC.A≠C D.A=0 3a-516. 答案A 综上，满足条件A∩B=☑的实数a的取值范围是 解析，(B∩C)二C,AUB=B∩C,∴.(AUB)二C, a7. .A二C.故选A. (2)因为A二(A∩B),所以A∩B=A,即A二B. 4.已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则 显然A=0满足条件，此时a<6. A∩B= 若A≠⑦，如图. 答案{1,4} 解析图为集合B中的x∈A,所以当x=1时，y=3一 2a+13a-5-1 16 2=1;当x=2时，y=3×2-2=4:当x=3时， y=3X3-2=7:当x=4时，y=3X4-2=10.即B={1, 4,7,10以.又图为A={1,2,3,4},所以A∩B=1,4. 1 162a+13a-53 5.设集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|-1<x≤4}，C= ,|2a+13a-5, {x|-3<x<2},且集合A∩(BUC)={xla≤x≤b},则 5 解得a>5 2 a= ,b= 综上，满足条件A二(A∩B)的实数a的取值范围是 答案-12 解析，BUC={x|-3<x≤4}，.A二(BUC). a<6或a>2 15 第2课时补集及其综合应用 课前·基础认知 1.全集 续表 (1)概念：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及 的所有元素，那么就称这个集合为全集. 图形语言 A (2)记法：通常记作U· 2.补集 An(KA)=.AU(CA)=U.CU=0. 对于一个集合A,由全集U中不属于集合 性质 h=U A的所有元素组成的集合称为集合A相对于 文字语言 全集U的补集，简称为集合A的补集，记作 徽提醒CA的三层含义： GA (1)CA表示一个集合： 符号语言 CA={xlx∈U,且x年A〉 (2)A是U的子集，即A□U: (3)CA是U中不属于A的所有元素组成的集合. 11
第一章 集合与常用逻辑用语 拓展 提高 1.已知集合M={-1,0,1},N={a,a2},则使 M∩N=N 成立的a的值是( ) A.-1 B.0 C.1 D.1或-1 答案 A 解析 因为集合N 中的元素互不相同,所以a≠a2, 所以a≠0,且a≠1. 又因为M∩N=N,所以a=-1. 2.已知M⊆{a1,a2,a3,a4},则满足 M∩{a1,a2,a3}={a1, a2}的集合M 的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 由题意得,集合 M 中含有元素a1,a2,且不含元素 a3,故M={a1,a2}或{a1,a2,a4}. 3.若A,B,C 为三个集合,A∪B=B∩C,则一定有( ) A.A⊆C B.C⊆A C.A≠C D.A=⌀ 答案 A 解析 ∵(B∩C)⊆C,A∪B=B∩C,∴(A∪B)⊆C, ∴A⊆C.故选 A. 4.已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则 A∩B= . 答案 {1,4} 解析 因为集合B 中的x∈A,所以当x=1时,y=3- 2=1;当 x =2 时,y =3×2-2=4;当 x =3 时, y=3×3-2=7;当x=4时,y=3×4-2=10.即B={1, 4,7,10}.又因为A={1,2,3,4},所以A∩B={1,4}. 5.设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|-1<x≤4},C= {x|-3<x<2},且集合A∩(B∪C)={x|a≤x≤b},则 a= ,b= . 答案 -1 2 解析 ∵B∪C={x|-3<x≤4},∴A⊆(B∪C). ∴A∩(B∪C)=A,又A={x|-1≤x≤2}, ∴{x|a≤x≤b}={x|-1≤x≤2}. ∴a=-1,b=2. 挑战 创新 已知集合A={x|2a+1≤x≤3a-5,a∈R},B={x|x< -1,或x>16}. (1)若A∩B=⌀,求实数a的取值范围; (2)若A⊆(A∩B),求实数a的取值范围. 解 (1)若A=⌀,则A∩B=⌀成立. 此时2a+1>3a-5,解得a<6. 若A≠⌀,如图. 则 2a+1≤3a-5, 2a+1≥-1, 3a-5≤16, 解得6≤a≤7. 综上,满足条件A∩B=⌀的实数a 的取值范围是 a≤7. (2)因为A⊆(A∩B),所以A∩B=A,即A⊆B. 显然A=⌀满足条件,此时a<6. 若A≠⌀,如图. 则 2a+1≤3a-5, 3a-5<-1, 或 2a+1≤3a-5, 2a+1>16, 解得a> 15 2 . 综上,满足条件A⊆(A∩B)的实数a 的取值范围是 a<6或a> 15 2 . 第2课时 补集及其综合应用 课前·基础认知 1.全集 (1)概念:一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及 的 所有元素 ,那么就称这个集合为全集. (2)记法:通常记作 U . 2.补集 文字语言 对于一个集合A,由全集U 中 不属于 集合 A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于 全集U 的补集,简称为集合A 的补集,记作 ∁UA 符号语言 ∁UA= x|x∈U,且x∉A 续 表 图形语言 性质 A∩(∁UA)=⌀,A∪(∁UA)=U,∁UU=⌀, ∁U ⌀=U 微提醒 ∁UA 的三层含义: (1)∁UA 表示一个集合; (2)A 是U 的子集,即A⊆U; (3)∁UA 是U 中不属于A 的所有元素组成的集合. 11
数学 必修 第一册 配人教A版 课堂·重难突破 补集的基本运算 规律总结」集合交集、并集、补集运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素 典例剖析 一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义求解.在解 1.(1)若全集U={x∈R-2≤x≤2)，集合A={x∈R 答过程中常常借助于Venn图帮助理解. -2≤x≤0}，则CA等于( (2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知 A.{x∈R|0<x<2} B.{x∈R|0≤x<2} 集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交集、并集、补 C.{x∈R|0x≤2} D.{x∈R|0x2} 集的运算.解答过程中注意边界点的取舍。 (2)已知全集为U,集合A={1,3,5,7},CA={2,4, 三 6},CB={1,4,6},则集合B=」 与补集有关的参数的求解 答案(1)C(2){2,3,5,7} 3典例剖析 解析(1)借助数轴易知CA={x∈R|0<x≤2}. 3.设集合A={xlx十m≥0，m∈R},B={x|-2<x< A0 4},全集U=R,且(CA)∩B=0,求实数m的取值范围. -2 02 解法一（直接法）由A={x|x十m≥0，m∈R}= (2)A=1,3,5,7},CA={2,4,6}, {xx≥-m,m∈R},得CA={xlx<-m,m∈R. U={1,2,3,4,5,6,71. 因为B={x|一2<x<4},(CA)∩B=⑦，在数轴上表 又CB={1,4,6},∴.B={2,3,5,7. 示出集合CA,B,如图. 规律总结」求集合的补集的方法 -m-2029 (1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直 由图可知，一m一2，即m≥2， 接求解 所以m的取值范围是{mm≥2}. (2)Ven图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集 解法二（利用集合间的关系）由(CA)∩B=心，可知 (3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助 B二A, 数轴求解。 又B={x|-2<x<4},A={x|x+m≥0，m∈R}= 二集合交集、并集、补集的综合运算 {xx≥一m,m∈R},在数轴上表示出集合A,B,如图. AB☐ 典例剖析 -m-24 由图可得，一m一2，即m≥2 2.设全集为R,集合A={x|3≤x<7},B={x|2< x<10},求CRB,CR(AUB)及(CRA)∩B. 规律总结」由集合求解参数的方法 解把集合A,B在数轴上分别表示出来，如图， (1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时， A☐B 可利用补集定义并结合相关知识求解， 23 710 (2)如果所给集合是无限集，求解与集合交集、并 由图知CRB={x|x≤2，或x≥10}，AUB={x|2<x< 集、补集运算有关的参数问题时，一般利用数轴分析 10},所以CR(AUB)={xlx≤2，或x≥10X.图为CRA={x 法求解。 x<3,或x≥7}，所以(CmA)∩B={x2<x<3,或7x<101. 课后·训练提升 基础·巩固 解析由P={x|-2≤x<3},得CP={x|x<-2,或 x≥3.故选A 1.设全集U=R,集合P={x|一2≤x<3},则CP等于 2.已知全集U={1,2,a2-2a十3}，集合A={1,a},CA= {3},则实数a等于( A{xlx<-2,或x≥3} A0或2 B.0 B.{xlx<-2,或x>3} C.1或2 D.2 C.{xx≤-2，或x>3} 答案D D.{x|x≤-2，且x≥3} 答案A 解析由题意，知，=2， a2-2a+3=3, 解得a=2. 12
数 学 必修 第一册 配人教 A版 课堂·重难突破 一 补集的基本运算 典例剖析 1.(1)若全集U={x∈R|-2≤x≤2},集合A={x∈R| -2≤x≤0},则∁UA 等于( ) A.{x∈R|0<x<2} B.{x∈R|0≤x<2} C.{x∈R|0<x≤2} D.{x∈R|0≤x≤2} (2)已知全集为U,集合A={1,3,5,7},∁UA={2,4, 6},∁UB={1,4,6},则集合B= . 答案 (1)C (2){2,3,5,7} 解析 (1)借助数轴易知∁UA={x∈R|0<x≤2}. (2)∵A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6}, ∴U={1,2,3,4,5,6,7}. 又∁UB={1,4,6},∴B={2,3,5,7}. 求集合的补集的方法 (1)定义法:当集合中的元素较少时,可利用定义直 接求解. (2)Venn图法:借助Venn图可直观地求出全集及补集. (3)数轴法:当集合中的元素连续且无限时,可借助 数轴求解. 二 集合交集、并集、补集的综合运算 典例剖析 2.设全集为 R,集合 A={x|3≤x<7},B={x|2< x<10},求∁RB,∁R(A∪B)及(∁RA)∩B. 解 把集合A,B 在数轴上分别表示出来,如图. 由图知∁RB={x|x≤2,或x≥10},A∪B={x|2<x< 10},所以∁R(A∪B)={x|x≤2,或x≥10}.因为∁RA={x| x<3,或x≥7},所以(∁RA)∩B={x|2<x<3,或7≤x<10}. 集合交集、并集、补集运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一 一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义求解.在解 答过程中常常借助于 Venn图帮助理解. (2)如果所给集合是无限集,则常借助数轴,把已知 集合及全集分别表示在数轴上,然后进行交集、并集、补 集的运算.解答过程中注意边界点的取舍. 三 与补集有关的参数的求解 典例剖析 3.设集合A={x|x+m≥0,m∈R},B={x|-2<x< 4},全集U=R,且(∁UA)∩B=⌀,求实数m 的取值范围. 解法一 (直接法)由 A = {x|x+m ≥0,m ∈R}= {x|x≥-m,m∈R},得∁UA={x|x<-m,m∈R}. 因为B={x|-2<x<4},(∁UA)∩B=⌀,在数轴上表 示出集合∁UA,B,如图. 由图可知,-m≤-2,即m≥2, 所以m 的取值范围是{m|m≥2}. 解法二 (利用集合间的关系)由(∁UA)∩B=⌀,可知 B⊆A, 又B={x|-2<x<4},A={x|x+m≥0,m∈R}= {x|x≥-m,m∈R},在数轴上表示出集合A,B,如图. 由图可得,-m≤-2,即m≥2. 由集合求解参数的方法 (1)如果所给集合是有限集,由补集求参数问题时, 可利用补集定义并结合相关知识求解. (2)如果所给集合是无限集,求解与集合交集、并 集、补集运算有关的参数问题时,一般利用数轴分析 法求解. 课后·训练提升 基础 巩固 1.设全集U=R,集合P={x|-2≤x<3},则∁UP 等于 ( ) A.{x|x<-2,或x≥3} B.{x|x<-2,或x>3} C.{x|x≤-2,或x>3} D.{x|x≤-2,且x≥3} 答案 A 解析 由P={x|-2≤x<3},得∁UP={x|x<-2,或 x≥3}.故选 A. 2.已知全集U={1,2,a2-2a+3},集合A={1,a},∁UA= {3},则实数a等于( ) A.0或2 B.0 C.1或2 D.2 答案 D 解析 由题意,知 a=2, a2-2a+3=3, 解得a=2. 12
第一章集合与常用逻辑用语 3.已知全集U=1,3,5},且CA={3},则集合A的真子集！ 8.已知全集为R,集合A={x|x<a,a∈R},B= 的个数为( {xx<2},且AU(CRB)=R,则a的取值范围是() A.3 B.4 C.5 D.6 A.a≥2 B.a>2 答案A C.a<2 D.a≤2 解析由题意得A={1,5},所以集合A的真子集的个数 答案A 为22一1=3. 解析由已知得CB={x|x≥2)，则由AU(CB)=R, 4.设集合U={-1,1,2,3},M={x|x2+px+q=0,p,q∈ 得a≥2.故选A R},若CM={-1,1,则实数p十g的值为( 9.已知全集U={0,1,2,3},A={x∈U|x2十m.x=0,m∈ A.-1 B.-5 R.若CA={1,2},则实数m的值是 C.5 D.1 答案一3 答案D 解析由已知得A={0,3}, 解析由已知可得M={2,3},则2,3为方程x2十px十 所以x=3是关于x的方程x2十mx=0的一个实根， q=0的两根，则p=一(2十3)=-5,9=2×3=6. 所以3m十9=0， 故p十q=一5十6=1.故选D. 解得m=一3. 5.如图，阴影部分表示的集合是( 10.高一某班60名同学参加跳远和铅球测试，及格人数分别 为40人和31人，这两项均不及格的人数有4人，则两项 都及格的人数为】 答案15 解析设两项都及格的人数为x,由题意画出Venn图， 如图 A.A∩(B∩C) B.(CA)∩(BnC) C.C∩Cu(AUB) D.CnC(A∩B) 由图可得，(40一x)十x十(31-x)十4=60， 答案C 解得x=15. 解析因为阴影部分在集合C中，均不在集合A,B中，所 I1.已知全集为R,集合M={x∈R|-2<x<2}.P= 以阴影部分表示的集合是C的子集，也是(AUB)的子 {x|x≥a,a∈R},并且M二CRP,则实数a的取值范围 集，即是C∩C(AUB). 彩 6.(多选题)设集合P={1,2,3},Q={x2≤x≤3}，则下列 答案a≥2 结论正确的是( 解析P={x|x≥a,a∈R}, A.P二Q B.P∩Q=P ∴.CRP={xlx<a,a∈R. C.(P∩Q)二P MC CRP,在数轴上表示出集合M,CkP, D.(C.Q)∩P≠ 由图可知，a≥2. 答案CD CM☐ 解析由于集合P中的元素1任Q,故选项A中结论错 -2 2 误；由P∩Q={2,3},知选项B中结论错误； 12.已知全集S={1,3,x3十3x2+2x},集合A={1, 由P∩Q={2,3}二P,知选项C中结论正确： |2x一1}，若CA={0},则这样的实数x是否存在？若 由CQ={xlx<2,或x>3},(CQ)∩P={1}≠0， 存在，求出x:若不存在，请说明理由. 知选项D中结论正确. 解，CsA={0},∴.0∈S,0EA, 7.已知全集U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,4,5},N={2,4 即x3+3x2+2x=0. 5,6},则( x=0或x=-1或x=-2 A.M∩N={4,6} 当x=0时，|2x一1=1，不符合要求，舍去 B.MUN=U 当x=-2时，|2x-1=5,5任S,舍去. C.(GN)UM=U 当x=-1时，|2x-1=3∈S,符合题意. D.(CM)∩N=N 这样的实数x存在，x=一1. 答案B 解析M∩N={4,5},MUN=1,2,3,4,5,6}=U, 拓展·提高 (CN)UM={1,3}U{1,3,4,5}={1,3,4,5},(CwM)∩ 1.已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤3}，B={x|x< N={2,6}∩{2,4,5,6}={2,6.故选B. -2,或x>4},那么集合(CA)∩(CB)等于() 13
第一章 集合与常用逻辑用语 3.已知全集U={1,3,5},且∁UA={3},则集合A 的真子集 的个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 A 解析 由题意得A={1,5},所以集合A 的真子集的个数 为22-1=3. 4.设集合U={-1,1,2,3},M={x|x2+px+q=0,p,q∈ R},若∁UM={-1,1},则实数p+q的值为( ) A.-1 B.-5 C.5 D.1 答案 D 解析 由已知可得 M ={2,3},则2,3为方程x2+px+ q=0的两根,则p=-(2+3)=-5,q=2×3=6. 故p+q=-5+6=1.故选D. 5.如图,阴影部分表示的集合是( ) A.A∩(B∩C) B.(∁UA)∩(B∩C) C.C∩∁U(A∪B) D.C∩∁U(A∩B) 答案 C 解析 因为阴影部分在集合C 中,均不在集合A,B 中,所 以阴影部分表示的集合是C 的子集,也是∁U(A∪B)的子 集,即是C∩∁U(A∪B). 6.(多选题)设集合P={1,2,3},Q={x|2≤x≤3},则下列 结论正确的是( ) A.P⊆Q B.P∩Q=P C.(P∩Q)⊆P D.(∁RQ)∩P≠⌀ 答案 CD 解析 由于集合P 中的元素1∉Q,故选项 A 中结论错 误;由P∩Q={2,3},知选项B中结论错误; 由P∩Q={2,3}⊆P,知选项C中结论正确; 由∁RQ={x|x<2,或x>3},(∁RQ)∩P={1}≠⌀, 知选项D中结论正确. 7.已知全集U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,4,5},N={2,4, 5,6},则( ) A.M∩N={4,6} B.M∪N=U C.(∁UN)∪M=U D.(∁UM)∩N=N 答案 B 解析 M∩N ={4,5},M ∪N ={1,2,3,4,5,6}=U, (∁UN)∪M={1,3}∪{1,3,4,5}={1,3,4,5},(∁UM)∩ N={2,6}∩{2,4,5,6}={2,6}.故选B. 8.已 知 全 集 为 R,集 合 A = {x|x <a,a∈R},B = {x|x<2},且A∪(∁RB)=R,则a的取值范围是( ) A.a≥2 B.a>2 C.a<2 D.a≤2 答案 A 解析 由已知得∁RB={x|x≥2},则由A∪(∁RB)=R, 得a≥2.故选 A. 9.已知全集U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0,m∈ R}.若∁UA={1,2},则实数m 的值是 . 答案 -3 解析 由已知得A={0,3}, 所以x=3是关于x 的方程x2+mx=0的一个实根, 所以3m+9=0, 解得m=-3. 10.高一某班60名同学参加跳远和铅球测试,及格人数分别 为40人和31人,这两项均不及格的人数有4人,则两项 都及格的人数为 . 答案 15 解析 设两项都及格的人数为x,由题意画出 Venn图, 如图. 由图可得,(40-x)+x+(31-x)+4=60, 解得x=15. 11.已 知 全 集 为 R,集 合 M = {x∈R|-2<x<2}.P = {x|x≥a,a∈R},并且 M⊆∁RP,则实数a 的取值范围 是 . 答案 a≥2 解析 ∵P={x|x≥a,a∈R}, ∴∁RP={x|x<a,a∈R}. ∵M⊆∁RP,在数轴上表示出集合M,∁RP, ∴由图可知,a≥2. 12.已知 全 集 S= {1,3,x3 +3x2 +2x},集 合 A = {1, |2x-1|},若∁SA={0},则这样的实数x 是否存在? 若 存在,求出x;若不存在,请说明理由. 解 ∵∁SA={0},∴0∈S,0∉A, 即x3+3x2+2x=0. ∴x=0或x=-1或x=-2. 当x=0时,|2x-1|=1,不符合要求,舍去. 当x=-2时,|2x-1|=5,5∉S,舍去. 当x=-1时,|2x-1|=3∈S,符合题意. ∴这样的实数x 存在,x=-1. 拓展 提高 1.已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x< -2,或x>4},那么集合(∁UA)∩(∁UB)等于( ) 13
数学 必修 第一册 配人教A版 A.{xl3<x≤4} 7,8},CsP={2,4,5,7,8},所以(CsM)∩(CsP)={2,7, B.{x|x≤3，或x≥4} 8}.故选D. C.{xl3≤x<4) 6.已知全集为U,集合A={1,3,x},B={1,x2},若BU D.{x|-1≤x≤3} (CB)=A,则CB= 答案A 答案{-√3}或{5}或{3} 解析CA={x|x<-2,或x>3},CB={x|-2≤ 解析因为BU(CB)=A, x≤4}，.(A)∩(CB)={x|3<x≤4.故选A 所以A=U.所以x2=3或x2=x, 2.已知M,N为集合I的非空真子集，且M,N不相等，若 ①当x2=3时，x=土5，B={1,3},CB={3}或 N∩(CM)=0,则MUN等于() {-5. A.M B.N ②当x2=x时，x=0或1.当x=0时，B={0,1}, C.I D.0 CB={3}:当x=1时，B=1,1},不符合集合中元素的 答案A 互异性，舍去. 解析因为N∩(CM)=☑，所以N二M(如图)， 7.已知U=R,A={x|x2+px+12=0,p∈R},B={xlx2- 所以MUN=M. 5.x十q=0,9∈R.若(CA)∩B={2},(CB)∩A={4}, 则AUB= 答案{2,3,4} 解析因为(CA)∩B=(2},(CB)∩A={4},所以2∈ 3.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={xx2-3x十2= B,4∈A.所以16十4p十12=0,4-10十q=0,所以p= 0},B={xlx=2a,a∈A},则集合C(AUB)中元素的个 -7,q=6,所以A={3,4},B={2,3}, 数为() 所以AUB={2,3,4. A.1 B.2 8.已知全集为R,集合A={x|1≤x≤2}，若BU(CRA)= C.3 D.4 R,B∩(CRA)={x|0<x<1,或2x<3},求集合B 答案B 解A={x|1≤x≤2}， 解析由已知得A={1,2},B={2,4},所以AUB=1, .CRA={xlx<1,或x>2. 2,4,所以C(AUB)={3,5.故选B. 又BU(CRA)=R,AU(CRA)=R,可得A≤B. 4已知全集U=R,集合A={x∈Z|0<x≤3}， 而B∩(CwA)={x|0<x<1,或2<x<3}, B={x∈Zl-2<x<2),其Venn图如图所示，则图中阴 ∴.{x|0<x<1,或2<x<3二B. 影部分表示的集合为( 借助于数轴可得B=AU{x0x<1.或2<x<3}= {xl0<x3} )B CABCaA A.{1 0123x B.{-1,0,2,3} 挑战·创新 C.{-2,-1,0,2,3} 已知全集为R,集合A={x|0≤x≤2}，B={x|a≤x≤ D.{-1,0,1,2,3} a+3,a∈R}. 答案B (I)若(CRA)UB=R,求a的取值范围： 解析由已知得A={1,2,3},B={-1,0,1},所以 (2)是否存在实数a,使(CRA)UB=R,且A∩B= AUB={-1.0.1.2,3},A∩B={1}.记P=AUB.Q= 成立？ A∩B,则阴影部分表示的集合为CQ={一1,0,2,3}.故 解(1)因为A={x|0≤x≤2}，B={x|a≤x≤ 选B. a+3,a∈R},所以CRA={x|x0,或x>2}. 5.已知全集S={x∈N·|一2<x<9},集合M={3,4,5}, 因为(CRA)UB=R, P={1,3,6},则{2,7,8}是() A.MUP 化2 B.MOP 解得-1≤a0. C.(CsM)U(CP) (2)因为A∩B=0,所以a>2或a+30,解得a D.(CsM)∩(CsP) 2或a<-3. 答案D 因为(CRA)UB=R,所以-1≤a≤0. 解析图为S={1,2,3,4,5,6,7,8},所以CsM={1,2,6, 故不存在实数a,使(CRA)UB=R,且A∩B=⑦ 14
数 学 必修 第一册 配人教 A版 A.{x|3<x≤4} B.{x|x≤3,或x≥4} C.{x|3≤x<4} D.{x|-1≤x≤3} 答案 A 解析 ∵∁UA={x|x<-2,或x>3},∁UB={x|-2≤ x≤4},∴(∁UA)∩(∁UB)={x|3<x≤4}.故选 A. 2.已知M,N 为集合I 的非空真子集,且 M,N 不相等,若 N∩(∁IM)=⌀,则M∪N 等于( ) A.M B.N C.I D.⌀ 答案 A 解析 因为N∩(∁IM)=⌀,所以N⊆M(如图), 所以M∪N=M. 3.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={x|x2-3x+2= 0},B={x|x=2a,a∈A},则集合∁U(A∪B)中元素的个 数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 由已知得A={1,2},B={2,4},所以A∪B={1, 2,4},所以∁U(A∪B)={3,5}.故选B. 4.已 知 全 集 U =R,集 合 A = {x ∈Z|0<x ≤3}, B={x∈Z|-2<x<2},其 Venn图如图所示,则图中阴 影部分表示的集合为( ) A.{1} B.{-1,0,2,3} C.{-2,-1,0,2,3} D.{-1,0,1,2,3} 答案 B 解析 由已知得 A = {1,2,3},B = {-1,0,1},所以 A∪B={-1,0,1,2,3},A∩B={1}.记P=A∪B,Q= A∩B,则阴影部分表示的集合为∁PQ={-1,0,2,3}.故 选B. 5.已知全集S={x∈N*|-2<x<9},集合 M={3,4,5}, P={1,3,6},则{2,7,8}是( ) A.M∪P B.M∩P C.(∁SM)∪(∁SP) D.(∁SM)∩(∁SP) 答案 D 解析 因为S={1,2,3,4,5,6,7,8},所以∁SM={1,2,6, 7,8},∁SP={2,4,5,7,8},所以(∁SM)∩(∁SP)={2,7, 8}.故选D. 6.已知全集为U,集合A={1,3,x},B={1,x2},若B∪ (∁UB)=A,则∁UB= . 答案 {- 3}或{3}或{3} 解析 因为B∪(∁UB)=A, 所以A=U.所以x2=3或x2=x. ①当x2=3时,x=± 3,B={1,3},∁UB={3}或 {- 3}. ②当x2=x 时,x=0或1.当x=0时,B={0,1}, ∁UB={3};当x=1时,B={1,1},不符合集合中元素的 互异性,舍去. 7.已知U=R,A={x|x2+px+12=0,p∈R},B={x|x2- 5x+q=0,q∈R}.若(∁UA)∩B={2},(∁UB)∩A={4}, 则A∪B= . 答案 {2,3,4} 解析 因为(∁UA)∩B={2},(∁UB)∩A={4},所以2∈ B,4∈A.所以16+4p+12=0,4-10+q=0,所以p= -7,q=6,所以A={3,4},B={2,3}, 所以A∪B={2,3,4}. 8.已知全集为R,集合A={x|1≤x≤2},若B∪(∁RA)= R,B∩(∁RA)={x|0<x<1,或2<x<3},求集合B. 解 ∵A={x|1≤x≤2}, ∴∁RA={x|x<1,或x>2}. 又B∪(∁RA)=R,A∪(∁RA)=R,可得A⊆B. 而B∩(∁RA)={x|0<x<1,或2<x<3}, ∴{x|0<x<1,或2<x<3}⊆B. 借助于数轴可得B=A∪{x|0<x<1,或2<x<3}= {x|0<x<3}. 挑战 创新 已知全集为 R,集合A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤ a+3,a∈R}. (1)若(∁RA)∪B=R,求a的取值范围; (2)是否存在实数a,使(∁RA)∪B=R,且 A∩B=⌀ 成立? 解 (1)因 为 A = {x|0≤x≤2},B = {x|a≤x ≤ a+3,a∈R},所以∁RA={x|x<0,或x>2}. 因为(∁RA)∪B=R, 所以 a≤0, a+3≥2, 解得-1≤a≤0. (2)因为A∩B=⌀,所以a>2或a+3<0,解得a> 2或a<-3. 因为(∁RA)∪B=R,所以-1≤a≤0. 故不存在实数a,使(∁RA)∪B=R,且A∩B=⌀. 14
第一章集合与常用逻辑用语 1.4充分条件与必要条件 1.4.1充分条件与必要条件 课前·基础认知 1.命题及相关概念 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立 〔定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 的一个必要条件」 命分类 真命题：判断为真的语句 微思考如何理解充分条件、必要条件？ 假命题：判断为假的语句 提示对充分条件的理解：(1)所谓充分，就是说条件是 形式：“若p,则g”其中p称为命题的条件q称为命题的 充分的.“有之必成立，无之未必不成立”.(2)充分条件不是 结论 唯一的，如x>2,x>3都是x>0的充分条件. 2.充分条件与必要条件 对必要条件的理解：(1)所谓必要，就是说条件是必不可 命题真假 “若p,则g”是真命题 “若p,则q”是假命题 少的，缺其不可，“有之未必成立，无之必不成立”.(2)必要条 推出关系及 由p通过推理可以得 由条件p不能推出结 件不是唯一的，如x>0,x>5等都是x>9的必要条件. 符号表示 出q,记作：p→9 论q,记作：p力q 微提罪(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p, 则”形式的命题，若不是这种形式，则霄将命题改写成“若 条件关系 p是q的充分条件 p不是q的充分条件 p,则g”的形式 q是p的必要条件 9不是p的必要条件 (2)不能将“若p,则q”与“p→q”混为一谈，只有“若p, 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结 则q”为真命题时，才有“p→q”. 论成立的一个充分条件 课堂 重难突破 一 充分条件、必要条件的判定 规律总结」充分、必要条件的判断方法 (1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p→g 典例剖析 和g→p是否成立，最后得出结论。 1.下列各题中，p是q的充分条件吗？p是q的必要条 (2)命题判断法： 件吗？ ①如果命题“若p,则q”为真命题，那么p是q的充 (1)p:x>1,g:x>1或x<-1: 分条件，同时q是p的必要条件； (2)p:(a-2)(a-3)=0,g:a=3: ②如果命题“若p,则q”为假命题，那么力不是q的 (3)已知函数y=a.x2+bx十c(a≠0)，p:与函数y= 充分条件，同时q也不是p的必要条件. a.x2十bx十c(a≠0)对应的方程的判别式△=b2-4ac>0, 显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述 q:函数图象与x轴有交点」 的是同一个逻辑关系，即p→q,只是说法不同而已， 解(1)由x>1可以推出x>1或x<-1, 二充分条件、必要条件与集合的关系 因此p是q的充分条件： 由x>1或x<-1不一定有x>1. 典例剖析 因此卫不是q的必要条件 (2)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不 2已知p:关于：的不等式3<，<3”(m> 定有a=3, 0),q:0<x<3,若p是q的充分条件，求实数m的取值 因此p不是q的充分条件： 范围： 由a=3可以得出(a-2)(a一3)=0. (2)已知集合A={y|y=x2-3x+1,x∈R},B= 因此p是q的必要条件。 {x|x+2m≥0，m∈R},p:x∈A,q:x∈B,并且q是p的必 (3)二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)，当对应方程的判 要条件，求实数m的取值范围。 别式△>0时，其图象与x轴有交点， 因此p是q的充分条件： 说集合A=<<3空m>0小B= 反之，若函数的图象与工轴有交点，则对应方程的判别 {x0x<3. 式△≥0，不一定是△>0，因此p不是q的必要条件. 若p是q的充分条件，则A二B. 15
第一章 集合与常用逻辑用语 1.4 充分条件与必要条件 1.4.1 充分条件与必要条件 课前·基础认知 1.命题及相关概念 命 题 定义:用语言、符号或式子表达的,可以 判断真假 的陈述句 分类 真命题:判断为 真 的语句 假命题:判断为 假 的语句 形式:“若p,则q”.其中p称为命题的 条件 ,q称为命题的 结论 2.充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及 符号表示 由p 通过推理可以得 出q,记作:p ⇒ q 由条件p 不能推出结 论q,记作:p ⇒/ q 条件关系 p 是q的 充分 条件 q是p 的 必要 条件 p 不是q的充分条件 q 不是 p的必要条件 一般地,数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结 论成立的一个 充分 条件. 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立 的一个 必要 条件. 微思考 如何理解充分条件、必要条件? 提示 对充分条件的理解:(1)所谓充分,就是说条件是 充分的.“有之必成立,无之未必不成立”.(2)充分条件不是 唯一的,如x>2,x>3都是x>0的充分条件. 对必要条件的理解:(1)所谓必要,就是说条件是必不可 少的,缺其不可.“有之未必成立,无之必不成立”.(2)必要条 件不是唯一的,如x>0,x>5等都是x>9的必要条件. 微提醒 (1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p, 则q”形式的命题.若不是这种形式,则需将命题改写成“若 p,则q”的形式. (2)不能将“若p,则q”与“p⇒q”混为一谈,只有“若p, 则q”为真命题时,才有“p⇒q”. 课堂·重难突破 一 充分条件、必要条件的判定 典例剖析 1.下列各题中,p 是q的充分条件吗? p 是q的必要条 件吗? (1)p:x>1,q:x>1或x<-1; (2)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3; (3)已知函数y=ax2+bx+c(a≠0),p:与函数y= ax2+bx+c(a≠0)对应的方程的判别式Δ=b2-4ac>0, q:函数图象与x 轴有交点. 解 (1)由x>1可以推出x>1或x<-1, 因此p 是q的充分条件; 由x>1或x<-1不一定有x>1. 因此p 不是q的必要条件. (2)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不一 定有a=3, 因此p 不是q的充分条件; 由a=3可以得出(a-2)(a-3)=0. 因此p 是q的必要条件. (3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当对应方程的判 别式Δ>0时,其图象与x 轴有交点, 因此p 是q的充分条件; 反之,若函数的图象与x 轴有交点,则对应方程的判别 式Δ≥0,不一定是Δ>0,因此p 不是q的必要条件. 充分、必要条件的判断方法 (1)定义法:首先分清条件和结论,然后判断p⇒q 和q⇒p 是否成立,最后得出结论. (2)命题判断法: ①如果命题“若p,则q”为真命题,那么p 是q的充 分条件,同时q是p 的必要条件; ②如果命题“若p,则q”为假命题,那么p 不是q的 充分条件,同时q也不是p 的必要条件. 显然,p 是q的充分条件与q是p 的必要条件表述 的是同一个逻辑关系,即p⇒q,只是说法不同而已. 二 充分条件、必要条件与集合的关系 典例剖析 2.(1)已知p:关于x 的不等式 3-m 2 <x< 3+m 2 (m> 0),q:0<x<3,若p 是q 的充分条件,求实数 m 的取值 范围; (2)已知集合 A={y|y=x2-3x+1,x∈R},B= {x|x+2m≥0,m∈R},p:x∈A,q:x∈B,并且q是p 的必 要条件,求实数m 的取值范围. 解 (1)记集合A= x 3-m 2 <x< 3+m 2 ,m>0 ,B= {x|0<x<3}. 若p 是q的充分条件,则A⊆B. 15