数学必修 第一册 配人教A版 解析依题设知，该集合为一点集，且点的横坐标满足0≤ 解A是方程x2十ax十1=0的解组成的集合. x2,纵坐标满足0y1,所以该集合为{(x,y)|0 (1)当a=2时，x2+ax十1=0，即x2+2x十1=0，解 x2,0y1}. 得x1=x2=-1,所以A={-1. 挑战·创新 (2)A中只有一个元素，即方程x2+.x十1=0有两 个相等的实数根，由△=a2-4=0,得a=士2. 设集合A={xlx2+ax十1=0，a∈R). 所以当a=士2时，集合A中只有一个元素. (1)当a=2时，试求出集合A: (3)A中有两个元素，即方程x2+ax十1=0有两个 (2)当α为何值时，集合A中只有一个元素？ 不相等的实根，由△=a2-4>0,得a<-2或a>2. (3)当a为何值时，集合A中有两个元素？ 所以当a<-2或a>2时，集合A中有两个元素。 1.2 集合间的基本关系 课前·基础认知 1.Venn图的优点及其表示 这两个集合就没有包含关系 (1)优点：形象直观. (2)符号“∈”表示元素与集合间的关系； (2)表示：经常用平面上封闭曲线的内部代表集合. 而“二”表示集合与集合间的关系。 2.子集、真子集、集合相等的相关概念 3.空集 集合B中任意一个元素(1)都是 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为⑦ 集合A中的元素 -Venn图： A(B) (2)规定：空集是任何集合的子集， A与B 相等 微思考2{0}与0相同吗？ 集合A -符号表示：(2)A=B 中任意 提示不同.{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个 个元 Venn图： BA 元素0：而⑦表示空集，其不含有任何元素，故{0}与⑦不 素都 A是B的 子集 集合B中 符号表示：4A二B或5)B2A 相同. 的元素 A是B的 Venn图：(BA○ 4.集合间关系的性质 真子集 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A二A. 符号表示：6ASB或(7)B星A (3)A≠B (2)对于集合A,B,C, 截思考D(1)任何两个集合之间是不是都有包含关系？ ①若A二B,且B二C,则A二C: (2)符号“∈”与“二”有何不同？ ②若AB,BC,则AC. (3)若A≤B,A≠B,则AB. 提示(1)不一定.如集合A={0,1,2},B={一1,0,1}， 课堂·重难突破 集合间关系的判断 ..MCN. 又2∈N,且2tM,.MN. 典例剖析 故选C (2)用数轴表示集合A,B,如图所示 1(1)已知集合M={x|x2-x=0},N={0,1,2},则 M与N间的关系表示正确的是( ) A.M=N B.M∈N C.MN D.N≤M 由图可知，AB (2)已知集合A={x|一1<x<4},B={xlx<5},则 规律总结」判断集合问关系的方法 ( ) (1)观察法：将元素一一列举观察， A.A∈B B.ASB (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清 C.B车A D.BCA 集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. 答案(1)C(2)B (3)数形结合法：利用数轴或Venn图， 解析(1)解方程x2一x=0,得x=0或x=1,则M= 提醒：若A二B和AB同时成立，则A军B更能准 {1,0}. 确表达集合A,B之间的关系， .1∈M,且1∈N,0∈M,且0∈N, 6
数 学 必修 第一册 配人教 A版 解析 依题设知,该集合为一点集,且点的横坐标满足0≤ x≤2,纵坐标满足0≤y≤1,所以该集合为{(x,y)|0≤ x≤2,0≤y≤1}. 挑战 创新 设集合A={x|x2+ax+1=0,a∈R}. (1)当a=2时,试求出集合A; (2)当a为何值时,集合A 中只有一个元素? (3)当a为何值时,集合A 中有两个元素? 解 A 是方程x2+ax+1=0的解组成的集合. (1)当a=2时,x2+ax+1=0,即x2+2x+1=0,解 得x1=x2=-1,所以A={-1}. (2)A 中只有一个元素,即方程x2+ax+1=0有两 个相等的实数根,由Δ=a2-4=0,得a=±2. 所以当a=±2时,集合A 中只有一个元素. (3)A 中有两个元素,即方程x2+ax+1=0有两个 不相等的实根,由Δ=a2-4>0,得a<-2或a>2. 所以当a<-2或a>2时,集合A 中有两个元素. 1.2 集合间的基本关系 课前·基础认知 1.Venn图的优点及其表示 (1)优点:形象直观. (2)表示:经常用平面上 封闭 曲线的 内部 代表集合. 2.子集、真子集、集合相等的相关概念 微思考 1 (1)任何两个集合之间是不是都有包含关系? (2)符号“∈”与“⊆”有何不同? 提示 (1)不一定.如集合A={0,1,2},B={-1,0,1}, 这两个集合就没有包含关系. (2)符号“∈”表示元素与集合间的关系; 而“⊆”表示集合与集合间的关系. 3.空集 (1)定义:不含 任何 元素的集合叫做空集,记为 ⌀ . (2)规定:空集 是任何集合的子集. 微思考 2 {0}与⌀相同吗? 提示 不同.{0}表示一个集合,且集合中有且仅有一个 元素0;而⌀表示空集,其不含有任何元素,故{0}与⌀不 相同. 4.集合间关系的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A. (2)对于集合A,B,C, ①若A⊆B,且B⊆C,则A⊆C; ②若A⫋B,B⫋C,则A⫋C. (3)若A⊆B,A≠B,则A⫋B. 课堂·重难突破 一 集合间关系的判断 典例剖析 1.(1)已知集合 M ={x|x2-x=0},N={0,1,2},则 M 与N 间的关系表示正确的是( ) A.M=N B.M∈N C.M⫋N D.N⊆M (2)已知集合A={x|-1<x<4},B={x|x<5},则 ( ) A.A∈B B.A⫋B C.B⫋A D.B⊆A 答案 (1)C (2)B 解析 (1)解方程x2-x=0,得x=0或x=1,则 M= {1,0}. ∵1∈M,且1∈N,0∈M,且0∈N, ∴M⊆N. 又2∈N,且2∉M,∴M⫋N. 故选C. (2)用数轴表示集合A,B,如图所示. 由图可知,A⫋B. 判断集合间关系的方法 (1)观察法:将元素一一列举观察. (2)元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清 集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系. (3)数形结合法:利用数轴或 Venn图. 提醒:若A⊆B 和A⫋B 同时成立,则A⫋B 更能准 确表达集合A,B 之间的关系. 6
第一章集合与常用逻辑用语 二子集、真子集的个数问题 三 由集合间的关系求参数 典例剖析 典例剖析 2.已知集合A={x∈R|x2-3x+2=0},B= 3.已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m十1≤x≤ {x∈NOx<5},则满足条件A二C军B的集合C的个数 2m-1,m∈R},若B军A,求实数m的取值范围. 为() 解当B=0时，由m十1>2m-1,得m<2. A.1 B.2 当B≠心时，如图所示 C.3 D.4 答案C -2m+12m-15大 解析因为集合A={1,2},B={1,2,3,4},所以当A二 1m+1≥-2， m+1>-2, C军B时，集合C可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4} 由图可得2m-1<5,或2m-1≤5， 故满足条件的集合C有3个， 2m-1>+12m-1≥m+1, 解得2m3. 规律总结1求一个集合的子集、真子集个数的3个 综上可得，m的取值范围是{mm≤3} 步骤 规律总结」1.利用集合间的关系求参数的取值范围问题 判断 根据子集、真子集的概念判断出集合中 含有元素的可能情况 (1)利用集合间的关系求参数的取值范围问题，常涉 及两个集合，其中一个为动集合（含参数），另一个为静集 分类 根据集合中元素的多少进行分类 合（具体的），解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需 列举一 采用列举法逐一写出每种情况的子集 特别注意端点问题， (2)空集是任何集合的子集，因此在解A二B(B≠ 2.与子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n(n∈N·)个元素，则有 )的含参数的问题时，要注意讨论A=☑和A≠0两种 情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面， (1)A的子集的个数为2" 2.数学素养的建立 (2)A的非空子集的个数为2一1. 通过本例尝试建立数形结合的思想意识，以及在动 (3)A的真子集的个数为2"-1. 态变化中学会用分类讨论的思想解决问题. (4)A的非空真子集的个数为2"一2. 课后·训练提升 基础·巩固 4.已知集合A={xla.x2-5x十6=0，a∈R},若2∈A,则集 合A的子集个数为( 1.下列关系式不正确的是( A.4 B.3 C.2 D.1 A.{1}二{1,2》 答案A B.{0}二{1,2} 解析依题意得4a一10十6=0，解得a=1,则x2一5x十 C.{2}二{1,2} D.1∈{1,2} 6=0,解得x1=2,x2=3,所以A={2,3},所以集合A的 答案B 子集个数为2=4.故选A 5.已知集合U=R,则正确表示集合U,M={-1,0,1},N= 解析0庄{1,2}，∴{0}三{1,2}不正确：根据子集的概 {xlx2+x=0}之间关系的Venn图是( 念可知A,C正确：D显然正确 2.已知集合A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},则 M(N ( A.A￥B B.B￥A D C.A二B D.B=A 答案B 答案B 3.若集合A满足A二B,A二C,B={0,1,2,3},C={0,2,4, 解析图为N={xx2十x=0}={0,-1} 8},则满足上述条件的集合A的个数为( 所以NM故选B. A.0 B.1 C.2 D.4 6.已知集合A={x|x=2m+1,n∈Z},集合B={x|x= 答案D 4k士1，k∈Z,则A与B间的关系是 解析：A二B,A二C,∴A中最多能含有0,2两个元素， 答案A=B .集合A可以为☑，{0}，{2}，{0,2}，共4个. 解析因为整数包括奇数与偶数，所以n=2k或n=2k一 7
第一章 集合与常用逻辑用语 二 子集、真子集的个数问题 典例剖析 2.已 知 集 合 A = {x ∈R|x2 -3x +2=0},B = {x∈N|0<x<5},则满足条件A⊆C⫋B 的集合C 的个数 为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 因为集合A={1,2},B={1,2,3,4},所以当A⊆ C⫋B 时,集合C 可以为{1,2},{1,2,3},{1,2,4}, 故满足条件的集合C 有3个. 1.求一个集合的子集、真子集个数的3个 步骤 2.与子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A 中含有n(n∈N* )个元素,则有 (1)A 的子集的个数为2n . (2)A 的非空子集的个数为2n -1. (3)A 的真子集的个数为2n -1. (4)A 的非空真子集的个数为2n -2. 三 由集合间的关系求参数 典例剖析 3.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤ 2m-1,m∈R},若B⫋A,求实数m 的取值范围. 解 当B=⌀时,由m+1>2m-1,得m<2. 当B≠⌀时,如图所示. 由图可得 m+1≥-2, 2m-1<5, 2m-1≥m+1 或 m+1>-2, 2m-1≤5, 2m-1≥m+1, 解得2≤m≤3. 综上可得,m 的取值范围是{m|m≤3}. 1.利用集合间的关系求参数的取值范围问题 (1)利用集合间的关系求参数的取值范围问题,常涉 及两个集合,其中一个为动集合(含参数),另一个为静集 合(具体的),解答时常借助数轴来建立变量间的关系,需 特别注意端点问题. (2)空集是任何集合的子集,因此在解A⊆B(B≠ ⌀)的含参数的问题时,要注意讨论A=⌀和A≠⌀两种 情况,前者常被忽视,造成思考问题不全面. 2.数学素养的建立 通过本例尝试建立数形结合的思想意识,以及在动 态变化中学会用分类讨论的思想解决问题. 课后·训练提升 基础 巩固 1.下列关系式不正确的是( ) A.{1}⊆{1,2} B.{0}⊆{1,2} C.{2}⊆{1,2} D.1∈{1,2} 答案 B 解析 ∵0∉{1,2},∴{0}⊆{1,2}不正确;根据子集的概 念可知 A,C正确;D显然正确. 2.已知集合A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},则 ( ) A.A⫋B B.B⫋A C.A⊆B D.B=A 答案 B 3.若集合A 满足A⊆B,A⊆C,B={0,1,2,3},C={0,2,4, 8},则满足上述条件的集合A 的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.4 答案 D 解析 ∵A⊆B,A⊆C,∴A 中最多能含有0,2两个元素, ∴集合A 可以为⌀,{0},{2},{0,2},共4个. 4.已知集合A={x|ax2-5x+6=0,a∈R},若2∈A,则集 合A 的子集个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案 A 解析 依题意得4a-10+6=0,解得a=1,则x2-5x+ 6=0,解得x1=2,x2=3,所以A={2,3},所以集合A 的 子集个数为22=4.故选 A. 5.已知集合U=R,则正确表示集合U,M={-1,0,1},N= {x|x2+x=0}之间关系的 Venn图是( ) 答案 B 解析 因为N={x|x2+x=0}={0,-1}, 所以N⫋M.故选B. 6.已知集合A={x|x=2n+1,n∈Z},集合B={x|x= 4k±1,k∈Z},则A 与B 间的关系是 . 答案 A=B 解析 因为整数包括奇数与偶数,所以n=2k或n=2k- 7
数学必修第一册 配人教A版 1(k∈Z),当n=2k(k∈Z)时，2n十1=4k+1(k∈Z),当 A.A∈B B.B∈A n=2k一1(k∈Z)时，2n十1=4k一1(k∈Z),故A=B. C,A二B D.BCA 7.已知非空集合A满足：①A二{1,2,3,4}：②若x∈A,则 答案B 5一x∈A,则满足上述要求的集合A的个数为 解析因为集合B的子集为{1}，{2}，{1.2}，0，所以A= {x|x二B}={{1},{2},{1,2},⑦}，所以B∈A. 答案3 5.(多选题)下列选项中的两个集合相等的有() 解析由题意知，满足题中要求的集合A可以是{1,4}， A.P={xlx=2n,n∈Z},Q={xlx=2(n+1),n∈Z {2,3},{1,2,3,4},共3个. B.P=(rlx=2n-1,nEN'),Q=(zIx=2n+1, 8.定义集合AB={x|x∈A,且x任B},若A={1,2,3, n∈N} 4,5},B={2,4,5},则A*B的子集个数是 cP=zlr-r=o.Q={女= +(-1yneZ☑ 答案4 2 解析在集合A*B中，x∈A,∴x可能取1,2,3,4,5. D.P=(rly=x+1),Q=((x.y)ly=x+1) 又x任B,.x不能取2,4,5. 答案AC 因此x的可能取值只有1和3， 解析选项A中集合P,Q都表示所有偶数组成的集合， .A*B={1,3},其子集个数为4， 所以P=Q:选项B中集合P是由1,3,5，…（所有正奇 数)组成的集合，Q是由3,5,7，…（所有大于1的正奇数） 拓展·提高 组成的集合，1任Q,所以P≠Q:选项C中集合P={0, 1.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则下列说法正确的是 1,当n为奇数时，=十（1少=0，当n为偶数时x一 2 A.若a=3,则A二B 1十(-1)=1，所以Q={0,1,所以P=Q:选项D中，P 2 B.若A二B,则a=3 C.若a=3,则A=B 表示直线y=x十1上点的横坐标构成的集合，而Q表示 D.若A二B,则a=2 直线y=x十1上点的坐标构成的集合，所以P≠Q.综上 可知，选AC 答案A 6.若集合M={xlx2+x-6=0},N={x|ax-1=0,a∈ 解析当a=3时，A={1,3},因为B={1,2,3}, R},且N二M,则实数a的值为 所以A二B.当A二B时，a=2或3. 11 2.满足{a}军M至{a,b,c,d}的集合M共有( 答案0,2-3 A.6个 B.7个 解析集合M={x|x2十x-6=0}={2,-3}.当a=0 C.8个 D.15个 时，N=0,满足N二M:当a≠0时，N={x|ax-l=0}= 答案A 解析图为{a}M军{a,b,c,d},所以集合M中含有b, 侣}因为NCM,所以日=2或=-3解得a=方或 a c,d中的1个或2个，即M可以为{a,b},{a,c},{a,d}, 11 a=- {a,b,c},{a,b,d},{a,c,d}.所以集合M共有6个 3综上a的值为0,2-3 3.已知集合A={x(a-1)x2+3x-2=0,a∈R}有且仅有 挑战·创新 两个子集，则实数a=() A-言 已知集合M={xlx2+2x-a=0,a∈R}. B.1 (1)若⑦M,求实数a的取值范围： C-日或1 (2)若N={x|x2十x=0},且M二N,求实数a的取值 D.-8或1 范围. 答案C 解(1)由题意得，方程x2十2x一a=0有实数解， 解析由题意，知集合A={x|(a一1)x2十3x一2=0，a∈ 故△=22-4（一a)≥0，得a≥一1. R}中有且仅有一个元素，即关于x的方程(a-1)x2+ (2)N={x|x2+x=0}={0,一1}，又M二N,若 3x一2=0有且仅有一个根.当a=1时，方程只有一根 M=0,则△=22-4(-a)<0,得a<-1,符合题意. =号特合要求：当a1时，由△=8-4Xa-DX 若M≠0，则当△=0，即a=一1时，M={-1},满 足M二N,符合题意. (一2)=0，解得a=一日故实数a的值为1或一日 当△>0，即a>-1时，M中有两个元素， 4.若集合B={1,2},A={x|x二B},则A与B的关系是 由MCN,得M=N,从而1+0=-2， 无解。 l(-1)×0=-a () 综上，a的取值范围为{a|a一1}. 8
数 学 必修 第一册 配人教 A版 1(k∈Z),当n=2k(k∈Z)时,2n+1=4k+1(k∈Z),当 n=2k-1(k∈Z)时,2n+1=4k-1(k∈Z),故A=B. 7.已知非空集合A 满足:①A⊆{1,2,3,4};②若x∈A,则 5-x ∈A,则 满 足 上 述 要 求 的 集 合 A 的 个 数 为 . 答案 3 解析 由题意知,满足题中要求的集合A 可以是{1,4}, {2,3},{1,2,3,4},共3个. 8.定义集合A*B={x|x∈A,且x∉B},若A={1,2,3, 4,5},B={2,4,5},则A*B 的子集个数是 . 答案 4 解析 在集合A*B 中,x∈A,∴x 可能取1,2,3,4,5. 又x∉B,∴x 不能取2,4,5. 因此x 的可能取值只有1和3, ∴A*B={1,3},其子集个数为4. 拓展 提高 1.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则下列说法正确的是 ( ) A.若a=3,则A⊆B B.若A⊆B,则a=3 C.若a=3,则A=B D.若A⊆B,则a=2 答案 A 解析 当a=3时,A={1,3},因为B={1,2,3}, 所以A⊆B.当A⊆B 时,a=2或3. 2.满足{a}⫋M⫋{a,b,c,d}的集合M 共有( ) A.6个 B.7个 C.8个 D.15个 答案 A 解析 因为{a}⫋M⫋{a,b,c,d},所以集合 M 中含有b, c,d 中的1个或2个,即 M 可以为{a,b},{a,c},{a,d}, {a,b,c},{a,b,d},{a,c,d}.所以集合M 共有6个. 3.已知集合A={x|(a-1)x2+3x-2=0,a∈R}有且仅有 两个子集,则实数a=( ) A.- 1 8 B.1 C.- 1 8 或1 D.-8或1 答案 C 解析 由题意,知集合A={x|(a-1)x2+3x-2=0,a∈ R}中有且仅有一个元素,即关于x 的方程(a-1)x2+ 3x-2=0有且仅有一个根.当a=1时,方程只有一根 x= 2 3 ,符合要求;当a≠1时,由Δ=32-4×(a-1)× (-2)=0,解得a=- 1 8 .故实数a的值为1或- 1 8 . 4.若集合B={1,2},A={x|x⊆B},则A 与B 的关系是 ( ) A.A∈B B.B∈A C.A⊆B D.B⊆A 答案 B 解析 因为集合B 的子集为{1},{2},{1,2},⌀,所以A= {x|x⊆B}={{1},{2},{1,2},⌀},所以B∈A. 5.(多选题)下列选项中的两个集合相等的有( ) A.P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n+1),n∈Z} B.P={x|x=2n-1,n∈N* },Q = {x|x=2n+1, n∈N* } C.P={x|x2-x=0},Q= x x= 1+(-1)n 2 ,n∈Z D.P={x|y=x+1},Q={(x,y)|y=x+1} 答案 AC 解析 选项 A中集合P,Q 都表示所有偶数组成的集合, 所以P=Q;选项 B中集合P 是由1,3,5,…(所有正奇 数)组成的集合,Q 是由3,5,7,…(所有大于1的正奇数) 组成的集合,1∉Q,所以P≠Q;选项 C中集合P={0, 1},当n为奇数时,x= 1+(-1)n 2 =0,当n为偶数时,x= 1+(-1)n 2 =1,所以Q={0,1},所以P=Q;选项 D中,P 表示直线y=x+1上点的横坐标构成的集合,而Q 表示 直线y=x+1上点的坐标构成的集合,所以P≠Q.综上 可知,选 AC. 6.若集合M={x|x2+x-6=0},N={x|ax-1=0,a∈ R},且N⊆M,则实数a的值为 . 答案 0, 1 2 ,- 1 3 解析 集合 M ={x|x2+x-6=0}={2,-3}.当a=0 时,N=⌀,满足N⊆M;当a≠0时,N={x|ax-1=0}= 1 a .因为N⊆M,所以 1 a =2或 1 a =-3,解得a= 1 2 或 a=- 1 3 .综上,a的值为0, 1 2 ,- 1 3 . 挑战 创新 已知集合M={x|x2+2x-a=0,a∈R}. (1)若⌀⫋M,求实数a的取值范围; (2)若N={x|x2+x=0},且 M ⊆N,求实数a 的取值 范围. 解 (1)由题意得,方程x2+2x-a=0有实数解, 故Δ=22-4(-a)≥0,得a≥-1. (2)N ={x|x2+x=0}={0,-1},又 M ⊆N,若 M=⌀,则Δ=22-4(-a)<0,得a<-1,符合题意. 若M ≠⌀,则当Δ=0,即a=-1时,M={-1},满 足M⊆N,符合题意. 当Δ>0,即a>-1时,M 中有两个元素, 由M⊆N,得M=N,从而 -1+0=-2, (-1)×0=-a, 无解. 综上,a的取值范围为{a|a≤-1}. 8
第一章集合与常用逻辑用语 1.3集合的基本运算 第1课时并集、交集 课前 基础认知 1.并集 (2)不一定等于，AUB的元素个数小于或等于集合A 集合A与B的并集是由所有属于集合A或属 与集合B的元素个数之和. 于集合B的元素组成的集合，记作AUB 2.交集 (读作“A并B”) 密 AUB={xlr∈A,或r∈B] 自然 集合4与B的交集是由所有属于集合A且属 语言 于集合B的元素组成的集合，记作A∩B 图形 语言 A○B (读作“A交B”) AUB AnB={xKeA,且x∈B] 微思考(I)“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？ 图形 B (2)集合AUB的元素个数是否等于集合A与集合B 语言 A A∩B 的元素个数之和？ 提示(I)“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情 3.并集与交集的运算性质 况：x∈A,但x任B:x∈B,但x任A:x∈A,且x∈B.用 并集的运算性质 交集的运算性质 Venn图表示如图所示， AUB=BUA A∩B=B∩A AB AOB○ x∈A,但xBx∈B,但x使A AUA-A A∩A=A CAB AUO=A A∩0=0 xeA,且x∈B 课堂 重难突破 并集的概念及其应用 规律总结」求集合并集的两种方法 (1)定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并 典例剖析 集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的 1.(1)设集合M={x|x2+2x=0},N={x|x2-2x= 结果 o},则MUN=( (2)数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助 A.{0 B.{0,2} 数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应 C.{-2.0} D.{-2,0,2} 用“空心圈”表示 (2)已知集合M={x|一3<x5},N={x|x<一5或 二 交集的概念及其应用 x>5},则MUN=() A{xx<-5,或x>-3} 典例剖析 B.{x|-5<x<5} C.{x|-3<x<5} 2.(1)设集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}， D.{xx<-3,或x>5} 则A∩B等于() 答案(1)D(2)A A.{x|0≤x≤2} 解析(1)M={x|x2+2x=0}={0,-2},N={x| B.{x|1x2} x2-2x=0}={0,2},则MUN={-2,0,2}. C.{x|0≤r≤4} 故选D. D.{x|1≤x≤4} (2)在数轴上表示集合M,N,如图所示，由图可知， (2)已知集合A={xx=3m十2，n∈N},B={6,8,10, MUN={xlx<-5,或x>-3. 12,14},则集合A∩B中元素的个数为 答案(1)A(2)2 -5-30 解析(1)在数轴上表示出集合A,B,如图所示， 9
第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 集合的基本运算 第1课时 并集、交集 课前·基础认知 1.并集 微思考 (1)“x∈A 或x∈B”包含哪几种情况? (2)集合A∪B 的元素个数是否等于集合A 与集合B 的元素个数之和? 提示 (1)“x∈A 或x∈B”这一条件包括下列三种情 况:x∈A,但x∉B;x∈B,但x∉A;x∈A,且x∈B.用 Venn图表示如图所示. (2)不一定等于,A∪B 的元素个数小于或等于集合A 与集合B 的元素个数之和. 2.交集 3.并集与交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质 A∪B=B∪A A∩B=B∩A A∪A= A A∩A= A A∪⌀= A A∩⌀= ⌀ 课堂·重难突破 一 并集的概念及其应用 典例剖析 1.(1)设集合M={x|x2+2x=0},N={x|x2-2x= 0},则M∪N=( ) A.{0} B.{0,2} C.{-2,0} D.{-2,0,2} (2)已知集合M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5或 x>5},则M∪N=( ) A.{x|x<-5,或x>-3} B.{x|-5<x<5} C.{x|-3<x<5} D.{x|x<-3,或x>5} 答案 (1)D (2)A 解析 (1)M ={x|x2+2x=0}={0,-2},N ={x| x2-2x=0}={0,2},则M∪N={-2,0,2}. 故选D. (2)在数轴上表示集合 M,N,如图所示,由图可知, M∪N={x|x<-5,或x>-3}. 求集合并集的两种方法 (1)定义法:若是用列举法表示的数集,可以根据并 集的定义直接观察或用 Venn 图表示出集合运算的 结果. (2)数形结合法:若是用描述法表示的数集,可借助 数轴分析写出结果,此时要注意当端点不在集合中时,应 用“空心圈”表示. 二 交集的概念及其应用 典例剖析 2.(1)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4}, 则A∩B 等于( ) A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2} C.{x|0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4} (2)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10, 12,14},则集合A∩B 中元素的个数为 . 答案 (1)A (2)2 解析 (1)在数轴上表示出集合A,B,如图所示, 9
数学 必修 第一册 配人教A版 1-3<k+1, -1024 雪(4≥2k一1， 由图可知，A∩B={x|0≤x2}. k+1≤2k-1, (2)8=3×2+2,14=3×4十2，.8∈A,14∈A, ∴A∩B={8,14}.故集合A∩B中有2个元素. 解得2<号 规律总结」求集合交集的两个注意点 综上可知，k≤号 (1)求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的 元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果， 规律总结☐由集合交集、并集的性质解题的策略、方法 (2)在求与不等式有关的集合的交集时，用数轴分析 及注意点 更直观清晰。 (1)策略：当题目中含有条件A∩B=A或AUB= B时，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系 三集合交、并运算的性质及综合应用 去分析，将A∩B=A转化为A二B,AUB=B转化为 A二B. 典例剖析 (2)方法：借助数轴解决，首先根据集合间的关系画 3.已知集合A={x|一3<x≤4}，B={x|k十1x 出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式（组），求解 2k-1,k∈R},且AUB=A,试求k的取值范围. 即可，特别要注意端点值的取舍， 解AUB=A,.B二A.当B=, (3)注意点：当题目条件中出现B二A时，若集合B 即k十1>2k一1时，k<2,满足AUB=A」 不确定，解答时要注意讨论B=心的情况。 当B≠⑦时，要使B二A, 课后 ·训练提升 基础：巩固 A.{1,2,3,4,5} B.{4,5,6} C.{4,5} D.{3,4,5} 1.已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则A∩ 答案BC B=( 解析由题意，可得集合N中必含有元素4和5，但不能 A.0 B.{2} C.(o) D.{-2} 含有元素1,2,3，根据选项，可得集合N可能为{4,5,6} 答案B {4,5}.故选BC 解析因为B={x|x2一x一2=0}={一1,2} 5.已知集合A={0,1},B={x|x>a,a∈R}.若 所以A∩B={2}.故选B A∩B=心，则实数a的取值范围是( 2.已知集合A={0,1,2,34,5},B={1,3,6,9},C={3,7, A.a≤1 B.a≥1 8},则(A∩B)UC等于( C.a≥0 D.a0 A.{0,1,2,6,8} B.{3,7,8} 答案B C.{1,3,7,8} D.{1,3,6,7,8} 解析因为A∩B=心，所以0任B,且1任B,结合选项，知 答案C a≥l.故选B. 解析因为集合A={0,1,2,3,4,5},B={1,3,6,9},所以 6.满足{0,1}UA={0,1,2的所有集合A的个数为 A∩B={1,3}.因为C={3,7,8},所以(A∩B)UC={1 答案4 3,7,8}.故选C 3.设集合A={a,b},B={a十1,5}，若A∩B={2},则AU 解析由{0,1}UA={0,1,2},可知A={2}或A={0,2} B等于( 或A={1,2}或A={0,1,2},共4个 A.{1,2} B.{1,5} 7.已知集合A={x|-2≤x≤7}，B={x|m十1<x<2m- C.{2,5} D.{1,2.5} 1,m∈R},若A∩B=B,则实数m的取值范围是 答案D 解析A∩B={2}, 答案m≤4 .2∈A,2∈B, 解析由A∩B=B,得B二A. a十1=2，a=1,b=2, 当B=0时，有m十1≥2m一1，解得m≤2. 即A={1,2},B={2,5}, m+1<2m-1, AUB={1,2,5}.故选D 当B≠⑦时，《m十1≥一2，解得2<m4. 4.(多选题)已知集合M={1,2,3,4,5},M∩N={4,5},则 2m-1≤7， V可能为() 综上可知，实数m的取值范图是m≤4， 10
数 学 必修 第一册 配人教 A版 由图可知,A∩B={x|0≤x≤2}. (2)∵8=3×2+2,14=3×4+2,∴8∈A,14∈A, ∴A∩B={8,14}.故集合A∩B 中有2个元素. 求集合交集的两个注意点 (1)求两集合的交集时,首先要化简集合,使集合的 元素特征尽量明朗化,然后根据交集的含义写出结果. (2)在求与不等式有关的集合的交集时,用数轴分析 更直观清晰. 三 集合交、并运算的性质及综合应用 典例剖析 3.已知集合A={x|-3<x≤4},B={x|k+1≤x≤ 2k-1,k∈R},且A∪B=A,试求k的取值范围. 解 ∵A∪B=A,∴B⊆A.当B=⌀, 即k+1>2k-1时,k<2,满足A∪B=A. 当B≠⌀时,要使B⊆A, 需 -3<k+1, 4≥2k-1, k+1≤2k-1, 解得2≤k≤ 5 2 . 综上可知,k≤ 5 2 . 由集合交集、并集的性质解题的策略、方法 及注意点 (1)策略:当题目中含有条件A∩B=A 或A∪B= B 时,解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系 去分析,将A∩B=A 转化为A⊆B,A∪B=B 转化为 A⊆B. (2)方法:借助数轴解决,首先根据集合间的关系画 出数轴,然后根据数轴列出关于参数的不等式(组),求解 即可,特别要注意端点值的取舍. (3)注意点:当题目条件中出现B⊆A 时,若集合B 不确定,解答时要注意讨论B=⌀的情况. 课后·训练提升 基础 巩固 1.已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则A∩ B=( ) A.⌀ B.{2} C.{0} D.{-2} 答案 B 解析 因为B={x|x2-x-2=0}={-1,2}, 所以A∩B={2}.故选B. 2.已知集合A={0,1,2,3,4,5},B={1,3,6,9},C={3,7, 8},则(A∩B)∪C 等于( ) A.{0,1,2,6,8} B.{3,7,8} C.{1,3,7,8} D.{1,3,6,7,8} 答案 C 解析 因为集合A={0,1,2,3,4,5},B={1,3,6,9},所以 A∩B={1,3}.因为C={3,7,8},所以(A∩B)∪C={1, 3,7,8}.故选C. 3.设集合A={a,b},B={a+1,5},若A∩B={2},则A∪ B 等于( ) A.{1,2} B.{1,5} C.{2,5} D.{1,2,5} 答案 D 解析 ∵A∩B={2}, ∴2∈A,2∈B, ∴a+1=2,∴a=1,b=2, 即A={1,2},B={2,5}, ∴A∪B={1,2,5}.故选D. 4.(多选题)已知集合M={1,2,3,4,5},M∩N={4,5},则 N 可能为( ) A.{1,2,3,4,5} B.{4,5,6} C.{4,5} D.{3,4,5} 答案 BC 解析 由题意,可得集合 N 中必含有元素4和5,但不能 含有元素1,2,3,根据选项,可得集合 N 可能为{4,5,6}, {4,5}.故选BC. 5.已 知 集 合 A = {0,1},B = {x|x >a,a ∈R}.若 A∩B=⌀,则实数a的取值范围是( ) A.a≤1 B.a≥1 C.a≥0 D.a≤0 答案 B 解析 因为A∩B=⌀,所以0∉B,且1∉B,结合选项,知 a≥1.故选B. 6.满足{0,1}∪A={0,1,2}的所有集合A 的个数为 . 答案 4 解析 由{0,1}∪A={0,1,2},可知A={2}或A={0,2} 或A={1,2}或A={0,1,2},共4个. 7.已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m- 1,m ∈R},若 A ∩B =B,则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 . 答案 m≤4 解析 由A∩B=B,得B⊆A. 当B=⌀时,有m+1≥2m-1,解得m≤2. 当B≠⌀时, m+1<2m-1, m+1≥-2, 2m-1≤7, 解得2<m≤4. 综上可知,实数m 的取值范围是m≤4. 10