第二节 第七章 可分离变量微分方程 可分离变量方程 =f(x)f) dx M (x)M2(y)dx+N(x)N2(y)dy=0 转化 解分离变量方程g(y)dy=f(x)dx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
转化 可分离变量微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节 解分离变量方程 g(y)dy = f (x)dx 可分离变量方程 ( ) ( ) d d 1 2 f x f y x y = M1 (x) M (y) dx + N 1 (x) N (y)d y = 0 2 2 第七章
分离变量方程的解法： g(y)dy=f(x)dx ① 设y=p(x)是方程①的解，则有恒等式 g((x))o'(x)dx=f(x)dx 两边积分，得 ∫gy)dy=∫f(x)dx G(y) F(x) 则有 G(y)=F(x)+C 当G6)与Fx)可微且Gy)=gy0时，上述过程可逆 说明由②确定的隐函数y=x)是①的解.同样，当F'(x) =f(x)0时，由②确定的隐函数x=y)也是①的解 称②为方程①的隐式通解，或通积分 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
分离变量方程的解法: g(y)dy = f (x)dx 设 y＝ (x) 是方程①的解, g( (x))(x)dx f (x)dx 两边积分, 得 f (x)dx = ① 则有恒等式 ② 当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时, 说明由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解. 则有 称②为方程①的隐式通解, 或通积分. 同样,当F’(x) = f (x)≠0 时, 上述过程可逆, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求微分方程 dy =2xy 的通解 解：分离变量得 2xdx 说明：在求解过程中 1 每—步不一定是同解 两边积分 -2 变形，因此可能增、 减解 得 Iny =x2+C 或 即 y=±e+G =±e9e In y =x2+In C 令C=±eC1 v=Ce (C为任意常数)》 此式含分离变量时丢失的解y=0) HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束
例1. 求微分方程 的通解. 解: 分离变量得 d 2 d y x x y = 两边积分 得 2 1 ln y x C = + 2 即 ln ln y x C = + C1 令C = e ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
xydx+(x2+1)dy =0 例.解初值问题 0)=1 解：分离变量得 X 2 dx 1+x1 两边积分得lny=ln x2+1 +1nC 即 yx2+1=C(C为任意常数) 由初始条件得C=1,故所求特解为 yx2+1=1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例. 解初值问题 d ( 1) d 0 2 xy x + x + y = 解: 分离变量得 x x x y y d 1 d 2 + = − 两边积分得 即 y x +1 = C 2 由初始条件得 C = 1, 1 1 2 y x + = ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 y(0) =1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
练习：求方程 dy= 的通解 d 解分离变量 e dy=ex dx -e=ex+C 即 (e+C)ey+1=0(C<0） HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
练习: 解 分离变量 e e C y x − = + − 即 ( + ) +1 = 0 x y e C e ( C < 0 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束