例1.讨论函数z=x3+及z=(x2+)在点(0,0)是否取得极值解：显然(0,0)都是它们的驻点，并且在(0,0)都有AC-B2= 0z=x3 +y3在(0,0)点邻域内的取值正可能为负，因此 z(0,0)不是极值0当x2 +2 0时, z=(x2 +)>(0.0) =0因此 z(0,0)=(x2 +2)[(0.0)=0为极小值AH机动目录返回结束上页下页
例1.讨论函数 及 是否取得极值. 解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 在(0,0)点邻域内的取值 , 因此 z(0,0) 不是极值. 因此 0 , 当x 2 + y 2 时 2 2 2 z = (x + y ) 0 z (0,0) = 为极小值. 正 负 0 在点(0,0) x y z o 并且在 (0,0) 都有 可能为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.求函数f(x,)=x3-3+3x2+329x的极值解：第一步求驻点Jx(x,y)=3x2 +6x- 9= 0解方程组J,(x,y)= -3y2 +6y = 0得驻点：(1,0)，(1,2),(-3,0)，（-3,2)CB第二步判别．求二阶偏导数Jxx(x,y)=6x+6, fxy(x,y)= 0, fyy(x,y)= -6y+ 6在点(1,0)处A=12,B=0,C=6.AC-B2=12×6>0, A>0,:f(1,0)=-5为极小值;0000-E
例2. 求函数 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 A B C 的极值. 求二阶偏导数 f (x, y) = 6x + 6, xx f (x, y) = 0, x y f (x, y) = −6 y + 6 y y 12 6 0, 2 AC − B = A 0, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
在点(1,2)处 A=12,B=0,C=-6AC-B2 =12×(-6)<0,: f(1,2)不是极值在点(-3,0)处 A=-12,B=0,C=6,AC-B2=-12×6<0，::(-3,0)不是极值;在点(-3,2)处 A=-12,B=0, C =-6AC- B2 =-12×(-6)>0, A<0,:.f(-3,2)=31为极大值fxx(x,y)=6x+6, fx,(x,y)=0, fyy(x,y)= -6y+6BAC大公区回结束
在点(−3,0) 处 不是极值; 在点(−3,2) 处 为极大值. f (x, y) = 6x + 6, xx f (x, y) = 0, x y f (x, y) = −6 y + 6 y y 12 6 0, 2 AC − B = − 12 ( 6) 0, 2 AC − B = − − A 0, 在点(1,2) 处 12 ( 6) 0, 不是极值; 2 AC − B = − A B C 机动 目录 上页 下页 返回 结束
最值问题二、依据函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值驻点最值可疑点边界上的最值点特别，当区域内部最值存在，且只有一个极值点P时f(P)为极小(大) 值> f(P)为最小(大)值AOU
二、最值问题 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, f (P) 为极小(大) 值 f (P) 为最小(大) 值 依据 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例 4 求二元函数 = f(x,)=x2y(4--)在直线x＋y=6，x轴和 y轴所围成的闭区域 D上的最大值与最小值解如右图先求函数在D内的驻点，100x+y=6DOX0000x机动目录上页下页返回结束
例 4 求二元函数 ( , ) (4 ) 2 z = f x y = x y − x − y 在直线x + y = 6，x轴和 y轴所围成的闭区域 D 上的最大值与最小值. 解 先求函数在D内的驻点， x y o x + y = 6 D D 如右图 机动 目录 上页 下页 返回 结束