定理1任一个n阶矩阵A的特征矩阵A()=E一A都 相抵于一个对角形矩阵,即 A(入)=(E-A)三 D(^) dn(入) 且 Ak()=D() (k=1,2,…,n) (6 其中
定理1 任一个n阶矩阵A的特征矩阵A() = E − A都 相抵于一个对角形矩阵，即 且 其中 D( ) (5) d ( ) d ( ) d ( ) A( ) ( E A) n 2 1 = = − Ak () = Dk () (k =1，2，，n) （6）
d0)(i=1,2,…,n)是首一多项式(即的 最高次项系数为1); 2.di()|di+1(x)(即d+1(x)=q(0)d0),q(0)也 是入的多项式)(i=1,2,…,n) 3.Ak()和Dk分别表示A(和D()中全部k阶子 式的最高公因式 由定理的结论可知: Dk)=d1()d2(X)…dk(A),(7) k=1,2,……,n, D1()=D1(X)=A1() (8) Ak()=Dk()=Dk-1(X)dk(=AK-1(^)dk(^)
1. di()（i =1，2，…，n）是首一多项式（即的 最高次项系数为1）； 2. di()|di+1()（即di+1() =qi()di()，qi()也 是的多项式）（i=1，2，…，n） 3. Ak()和Dk()分别表示A()和D()中全部k阶子 式的最高公因式 由定理的结论可知： Dk() = d1()d2() … dk()， (7) k=1，2，…，n， D1() = D1()=A1() (8) Ak() = Dk()=Dk-1()dk()=Ak-1()dk()
所以dk()=Ak(x)Ak-1()k=1,2,…,n.(9) 由此可见,d1(λ),d2(),…,dn(A)是由A)=久E A唯一确定的,它们称为A-E的不变因子(简称为 A的不变因子)。由于An()=E-A|=Dn(A)是 的n次多项式,所以n个不变因子的次数和等于n 例3求三阶矩阵 10 a00 0 a 的特征矩阵()=AE-小的不变因子
所以 dk()=Ak()/Ak−1(),k=1,2,…,n. (9) 由此可见，d1()，d2()，…，dn()是由A()=E − A唯一确定的，它们称为A−E的不变因子（简称为 A的不变因子）。由于An() = |E − A |=Dn()是 的n次多项式，所以n个不变因子的次数和等于n 例3 求三阶矩阵 的特征矩阵J()=E − J的不变因子。 = 0 0 a 0 a 1 a 1 0 J
解[方法1]根据(8)式及(9)式dk(=Ak(Ak-1() 求不变因子。 先把 入-a 0 J()=(入E-J) 0入-a 0入-a 的所有的一阶、二阶子式及三阶子式求出来,然后 容易求得它们的最高公因式分别为: J1)=1,J2()=1,J3(^)=0-a)3 于是得J()的不变因子: d1()=J1()=1,d2()=J2()小J1(x) d3A)=3(2A)=0-a3
解 [方法1] 根据(8)式及(9)式dk()=Ak()/Ak-1() 求不变因子。 先把 的所有的一阶、二阶子式及三阶子式求出来，然后 容易求得它们的最高公因式分别为： J1()=1，J2()=1，J3()=(−a)3， 于是得J()的不变因子： d1()=J1()=1，d2()=J2()/J1()， d3()=J3()/J2()=(−a)3。 − − − − − = − = 0 0 a 0 a 1 a 1 0 J( ) ( E J)