《数值分析》课程教学资源（PPT课件讲稿）第4章 数值微积分

第4章数值微积分 内插求积 Newton-Cotes公式 1.1 Newton-Cotes公式 可得插值多项式 p(x)=(1)+[(0-(1)(x+1)+[(0)(0)+f(1](x+1)x [f()-2f(0)-f()](x+1)x2 I()=,f(x)ax≈Q(门)=,p3(x) f(1×x2+[()(1(x2+x)+[f(0)-f(0)+((2x2+x2 +[f()-2f0)-f(-1)Gx2+x 2/()+20()+3{(o)-0+(+30)20(① =f(-1)+=f(0)+f(1)

第4章 数值微积分 4.1 内插求积 Newton-Cotes公式       3 2 ( ) (-1) (0) - (-1) ( 1) (0) - (0) (-1) ( 1) 1 (1) - 2 (0) - (-1) ( 1) 2 p x f f f x f f f x x f f f x x = + + + + +  + +  可得插值多项式 1 1 I f f x dx ( ) ( ) − =   Q f ( ) 1 3 1 p x dx ( ) − =        1 1 1 2 3 2 1 1 1 1 4 3 1 1 1 1 (-1) (0) - (-1) ( ) (0) - (0) (-1) ( ) 2 3 2 1 1 1 (1) - 2 (0) - (-1) ( ) 2 4 3 f x f f x x f f f x x f f f x x − − − − =  + + + + +  + +        2 1 2 (-1) 2 (0) - (-1) (0) - (0) (-1) (1) - 2 (0) - (-1) 3 3 = + + + + f f f f f f f f f   1 4 1 (-1) (0) (1) 3 3 3 = + + f f f 4.1.1 Newton-Cotes公式

第4章数值微积分 内插求积 Newton-Cotes公式 1.5待定系数法 因此,有A=,B=2,C=,D=0 f(x)dx≈[f(-1)+4f(0)+f(1) E(R)=(x)k=110..xx-1)2(x+1)d f-1,0,0,135](x-1)x(x+1)d )-1≤ms1 (3+1)!1 f(m7)-1≤m≤1

第4章 数值微积分 4.1 内插求积 Newton-Cotes公式 4.1.5 待定系数法 141 , , , 0 3 3 3 因此,有 A B C D = = = = 1 1 1 ( ) [ ( 1) 4 (0) (1)] 3 f x dx f f f −  − + +  1 1 E R R x dx ( ) ( ) − =  1 2 1 f x x x x dx [ 1,0,0,1, ]( 1) ( 1) − = − − +  1 2 1 f x x x dx [ 1,0,0,1, ] ( 1) ( 1)  − = − − +  (4) ( ) 4 ( ) 1 1 (3 1)! 15 f  = − −    + 1 (4) ( ) 1 1 90 = − −   f  

第4章数值微积分 内插求积 Newton-Cotes公式 1.1 Newton- Cotes公式 例:确定 Simpson求积公式的代数精度 解: Simpson求积公式为 6-a a+b f(x)dx f(a)+4f(--)+f(b) 令 f(x)=1[1dx=b-a= b [1+4+] f(x)=x xd=5( 6/a+4a+b b 2 a tb f(r) x dx=-16 a-+ tb f(x)=x3Jxh=元(b2-a) b-a a+b a3+4 +6

第4章 数值微积分 4.1 内插求积 Newton-Cotes公式 4.1.1 Newton-Cotes公式 例:确定Simpson求积公式的代数精度 解:Simpson求积公式为 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 6 2 b a b a a b f x dx f a f f b − +    + +      ( ) 1 1 1 4 1   6 b a b a f x dx b a − = = − = + +  令 ( ) 1 2 2 ( ) 4 2 6 2 b a b a a b f x x xdx b a a b − +   = = − = + +      ( ) 2 2 2 3 3 2 2 1 ( ) 4 3 6 2 b a b a a b f x x x dx b a a b − +     = = − = + +            ( ) 3 3 3 4 4 3 3 1 ( ) 4 4 6 2 b a b a a b f x x x dx b a a b − +     = = − = + +           

第4章数值微积分 内插求积 Newton-Cotes公式 1.1 Newton- Cotes公式 但是当f(x)=x4时 b-a +b +b4 因此 Simpson求积公式的代数精度m=3

第4章 数值微积分 4.1 内插求积 Newton-Cotes公式 4.1.1 Newton-Cotes公式 ( ) 4 4 4 5 5 4 4 ( ) 1 4 5 6 2 b a f x x b a a b x dx b a a b = − +     = −  + +            但是当 时 因此Simpson m 求积公式的代数精度 = 3

第4章数值微积分 内插求积 Newton-Cotes公式 1.1 Newton- Cotes公式 代数精度 梯形公式的代数精度为1 Simon求积公式的代数精度为3 Cotes求积公式的代数精度为5

第4章 数值微积分 4.1 内插求积 Newton-Cotes公式 4.1.1 Newton-Cotes公式 梯形公式的代数精度为1 Simpon求积公式的代数精度为3 Cotes求积公式的代数精度为5 代数精度