第4章数值微积分 内插求积 Newton-Cotes公式 1.1 Newton- Cotes公式 b(x-x0)(x-x2) dx x-a=t t(t-2h) o h (h) h Xox,-x 2h 012h (x-x0)(x-x1 )1x-2(21(-h) dx (x2-x0)(x2-x) h 02h·h 求积公式为 a+6 )=S=3/(a)+4(2)+f(b) 2 称为 Simpson求积公式
第4章 数值微积分 4.1 内插求积 Newton-Cotes公式 4.1.1 Newton-Cotes公式 0 2 1 1 0 1 2 ( )( ) ( )( ) b a x x x x A dx x x x x − − = − − 2 0 ( 2 ) ( ) x a t h t t h dt h h − = − = − 2 3 2 2 0 1 3 2 h t t h h − = 4 3 = h 0 1 2 2 0 2 1 ( )( ) ( )( ) b a x x x x A dx x x x x − − = − − 2 0 ( ) 2 x a t h t t h dt h h − = − = 2 3 2 2 0 1 1 3 2 2 h t t h h − = 1 3 = h 1 ( ) [ ( ) 4 ( ) ( )] 3 2 h a b Q f S f a f f b + = = + + 求积公式为 称为Simpson求积公式
第4章数值微积分 内插求积 Newton-Cotes公式 1.1 Newton- Cotes公式 定理42设(x)在a,b上连续,则 Simpson求积公式的误差是 E ft(n,a<n<b 2880 证明:取R(x) +6 (x-a)lx 4! 则E +b)2 (x-a)lx (x-b)dx 4 2 (4) b (t-(b-a)dt 4! "(m)32r-16-4+40 4! 5 0 b-a) f4(n) 2880
第4章 数值微积分 4.1 内插求积 Newton-Cotes公式 4.1.1 Newton-Cotes公式 定理4.2 (4) 设f x a b ( ) [ , ] 在 上连续,则Simpson求积公式的误差是 ( ) 5 (4) 2 - - ( ), 2880 b a E f a b = 2 (4) ( ) ( ) ( ) ( ) 4! 2 f a b x x a x x b + = − − − 证明:取 R (4) 2 ( ) ( ) ( ) 4! 2 b a f a b x a x x b dx + = − − − 则 2 E (4) 5 5 5 5 0 ( ) 32 40 16 4 4! 5 3 h f t t t t = − − + 5 (4) ( ) ( ) 2880 b a f − = − (4) 2 2 0 ( ) ( ( )) 4! 2 x a t h dx dt f b a t t t b a dt − = = − − − − =
第4章数值微积分 内插求积 Newton-Cotes公式 1.1 Newton- Cotes公式 (3n=4则h ,xo=a,x=a+,x2=a+2h,x 3=a+3h, 4=b 插值多项式为 p4(x)=l(x)f(x0)+l1(x)f(x)+l2(x)f(x2)+l3(x)f(x3)+l4(x)f(x4) 可求得4(、14h 64h A=4(x)dx 45 45 A=4(x、24h 64h 14h 4=(x)=g,4=丁14(x 45 45 求积公式为 O()=C-b 7f(a)+32f(a+h)+12f(a+2h) 90 +32f(a+3h)+7f(b]称为 Cotes求积公式
第4章 数值微积分 4.1 内插求积 Newton-Cotes公式 4.1.1 Newton-Cotes公式 (3) 4 n = 0 1 2 3 4 , , , 2 , 3 , 4 b a h x a x a h x a h x a h x b − 则 = = = + = + = + = 插值多项式为 4 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 p x l x f x l x f x l x f x l x f x l x f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + + 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 14 64 ( ) , ( ) , 45 45 24 64 14 ( ) , ( ) , ( ) 45 45 45 b b a a b b b a a a h h A l x dx A l x dx h h h A l x dx A l x dx A l x dx = = = = = = = = = = 可求得 1 ( ) [7 ( ) 32 ( ) 12 ( 2 ) 90 32 ( 3 ) 7 ( )] b a Q f C f a f a h f a h f a h f b − = = + + + + + + + 求积公式为 称为Cotes求积公式
第4章数值微积分 内插求积 Newton-Cotes公式 1.1 Newton- Cotes公式 定理4.3设(x)在ab上连续,则 Cotes求积公式的误差是 8(b-a fb(n) a<n<b 9454 (b-a)r6 a<n<b 1935360
第4章 数值微积分 4.1 内插求积 Newton-Cotes公式 4.1.1 Newton-Cotes公式 定理4.3 (6) 设f x a b ( ) [ , ] 在 上连续 ,则Cotes求积公式的误差是 7 (6) 4 8 - - ( ) 945 4 b a E f a b = ( ) 7 (6) - - ( ) 1935360 b a = f a b
第4章数值微积分 内插求积 Newton-Cotes公式 1.1 Newton- Cotes公式 例4.1求以下数值积分公式中的求积系数A,B,C,D,使公式 具有尽可能高的代数精度,并求其误差 ∫(x)x≈4(1)+Bf(0)+C(+D厂(O) 解:在x=-1,0,1点处构造差商表,建立Herm型的插值多项式 0f(0)f(0)-f(-1) f(0)f(0)f(0)-f(0)+f(-1) f()f()-f(0)f()-(0)-f(0)5()-2(0)-f1)
第4章 数值微积分 4.1 内插求积 Newton-Cotes公式 1 1 , , , , , ( ) ( 1) (0) (1) (0) A B C D f x dx Af Bf Cf Df − − + + + 例4.1 求以下数值积分公式中的求积系数 使公式 具有尽可能高的代数精度 并求其误差 解:在x Hermit = -1,0,1点处构造差商表,建立 型的插值多项式 1 ( 1) 0 (0) 0 (0) 1 (1) f f f f − − ( (0) ( 1) (1) (0) 0) f f f f f − − − (0) (0) ( 1) (1) (0) (0) f f f f f f − + − − − 1 (1) 2 (0) ( 1) 2 f f f − − − 4.1.1 Newton-Cotes公式