《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第十二章 多元函数的微分学（12.4）隐函数

在具体计算中,方程F(x,x2…,xn,y)=0所确定的隐函数 导,利用复+,)的偏导数通常可如下直接计算:在方程两边对x求偏 y=f(x1,x2,… 函数求导的链式规则即得 OFoF Oy 0 于是 OF ax 1,2 OF F

在具体计算中，方程 F(x1 , x2 ,  , xn , y) = 0 所确定的隐函数 ( , , , ) 1 2 n y = f x x  x 的偏导数通常可如下直接计算：在方程两边对 i x 求偏 导，利用复合函数求导的链式规则即得 = 0     +   i i x y y F x F ， 于是 y x i i F F y F x F x y i = −     = −   ， i = 1,2,  , n

例124.1在上半椭球面x+y+2=1(c>0)上,求和。 解记 F(x,y,2) 1=0, 则F=2>0保证了隐函数z=f(xy)的存在性。 在方程两边分别对x和y求偏导,得到 2x 22 az 2z az 0 从而有 az az

例 12.4.1 在上半椭球面 1 ( 0) 2 2 2 2 2 2 + + = z  c z b y a x 上，求 x z   和 y z   。 解 记 ( , , ) 1 0 2 2 2 2 2 2 = + + − = c z b y a x F x y z ， 则 0 2 2 =  c z Fz 保证了隐函数z = f (x, y) 的存在性。 在方程两边分别对x和 y 求偏导，得到 0 2 2 2 2 =   + x z c z a x ， 0 2 2 2 2 =   + y z c z b y ， 从而有 z x a c x z 2 2 = −   ， z y b c y z 2 2 = −  

例1242设方程x2+y2+=2=4-确定z为x,y的函数,求和 解在方程x2+y2+x2=4两边对x求偏导, az az 2x+2z 于是 再在前一等式两边对x求偏导, 02z02z 2+2 +2 ax ax 得到 az (2-z)2+ ax 2-z 2

例 12.4.2 设方程 x y z 4z 2 2 2 + + = 确 定 z 为 x, y 的函数，求 2 2 x z   和 x y z    2 。 解 在方程x y z 4z 2 2 2 + + = 两边对x求偏导， x z x z x z   =   2 + 2 4 ， 于是 z x x z − =   2 。 再在前一等式两边对x求偏导， 2 2 2 2 2 2 2 2 4 x z x z z x z   =    +        + ， 得到 3 2 2 2 2 2 (2 ) (2 ) 2 1 z z x z x z x z − − + = −         + =  

在方程x2+y2+x2=4两边对y求偏导, az az 2y+2z 于是 ay 2 再在前一等式两边对x求偏导, az az +2C 得到 az az ∠ X]

在方程x y z 4z 2 2 2 + + = 两边对 y 求偏导， y z y z y z   =   2 + 2 4 ， 于是 z y y z − =   2 。 再在前一等式两边对x求偏导， x y z x y z z y z x z    =    +     2 2 2 2 4 ， 得到 3 2 2 (2 z) x y z y z x z x y z − = −     =   

例12.4.3设方程F(x,yz)=0确定z为x,y的函数,其中F具有二 阶连续偏导数,求9 解当=xF1+yF2≠0,可以应用隐函数存在定理,在方程 F(x,yz)=0两边对x求偏导, z+xF+y F2= 于是 az xF+ yF2 再在前一等式两边对x求偏导,得到 2+x5F+|.a az Fu+2 2+xy-F F2 F2=0

例 12.4.3 设方程F(xz, yz) = 0确定 z 为x, y的函数，其中F 具有二 阶连续偏导数，求 2 2 x z   。 解 当 = 1 + 2  0   xF yF z F ，可以应用隐函数存在定理，在方程 F(xz, yz) = 0两边对x求偏导， 1 2 = 0    +        + F x z F y x z z x ， 于是 1 2 1 xF yF zF x z + = −   。 再在前一等式两边对 x求偏导，得到 2 2 2 2 2 2 1 11 12 2 22 2 2 0 z z z z z z z x F z x F z x y F y F y F x x x x x x x                  + + + + + + + =                     