86.6子空间的交与和第六章线性空间关于两个子空间的交与和的维数，有以下定理定理7（维数公式）若W，W是数域F上向量空间V的两个有限维子空间，则winW,与Wi+wW,也都是有限维的，并且dim W + dim W2 = dim(Wi + W2) + dim(Wi n W2)证因为W是有限维的，而WinW2是Wi的子空间，所以WinWz也是有限维的设Wi,Wz的维数分别是n，nz，WinWz的维数是m。取WinW2的一个基α1,αm，并将它分别扩充成W的一个基α1,…,αm，β,…，βn1-m，扩充成Wz的一个基a1,,amY1,，Yn2-m.我们有
第六章 线性空间 §6.6 子空间的交与和 关于两个子空间的交与和的维数，有以下定理. 定理7（维数公式）若𝑊1 ， 𝑊2是数域F上向量空间V的两个 有限维子空间，则𝑊1 ∩ 𝑊2与𝑊1 + 𝑊2也都是有限维的，并且 𝑑𝑖𝑚 𝑊1 + 𝑑𝑖𝑚 𝑊2 = 𝑑𝑖𝑚 𝑊1 + 𝑊2 + 𝑑𝑖𝑚 𝑊1 ∩ 𝑊2 证 因为𝑊1是有限维的，而𝑊1 ∩ 𝑊2是𝑊1的子空间，所以 𝑊1 ∩ 𝑊2也是有限维的． 设𝑊1, 𝑊2的维数分别是n1，n2， 𝑊1 ∩ 𝑊2的维数是m． 取𝑊1 ∩ 𝑊2的一个基𝛼1, ⋯ , 𝛼𝑚，并将它分别扩充成𝑊1的一个基 𝛼1, ⋯ , 𝛼𝑚，𝛽1, ⋯，𝛽𝑛1−𝑚，扩充成𝑊2的一个基𝛼1, ⋯ , 𝛼𝑚， 𝛾1, ⋯，𝛾𝑛2−𝑚．我们有
86.6子空间的交与和第六章线性空间Wi+W2=L(α1,...,αm' β1,..., βn1-m)+L(α1,.,am' Y1,...Yn2-m)=L(α1,"",αm' β1,"", βn1-m, 1,", Yn2-m)(2)于是W,+W,是有限维的.若能证明α1,…,αm，β1,…，βn1-m，Y1,…,Ynz-m线性无关，则它就是W,+W,的一个基，从而有dim(W,+W2) =m+(n 一 m)+(n2 一m)= n;+ n2 一m=dimW,+dimW,一dim(W,nW2)，即维数公式成立.kiα1 +.. + kmαm +P1β1 + ...+Pn1-mβn1-m + q1Y1 +... + qn2-mn2-m = O
第六章 线性空间 §6.6 子空间的交与和 W1+W2=L(𝜶𝟏, ⋯ , 𝜶𝒎，𝜷𝟏, ⋯ ，𝜷𝒏𝟏−𝒎)+L(𝜶𝟏, ⋯ ,𝜶𝒎，𝜸𝟏, ⋯ ， 𝜸𝒏𝟐−𝒎) =L(𝜶𝟏, ⋯ , 𝜶𝒎，𝜷𝟏, ⋯ ，𝜷𝒏𝟏−𝒎，𝜸𝟏, ⋯ ，𝜸𝒏𝟐−𝒎) (2) 于是W1+W2是有限维的． 若能证明𝛼1, ⋯ , 𝛼𝑚，𝛽1, ⋯，𝛽𝑛1−𝑚，𝛾1, ⋯ , 𝛾𝑛2−𝑚线性无关，则它 就是W1+W2的一个基， 从而有dim(W1+W2 ) =m+(n1－ m)+(n2－ m)= n1+ n2 －m=dim W1+dimW2－dim(W1∩W2 )，即维数公式成立． 𝒌𝟏𝜶𝟏 + ⋯ + 𝒌𝒎𝜶𝒎 + 𝒑𝟏𝜷𝟏 + ⋯ + 𝒑𝒏𝟏−𝒎𝜷𝒏𝟏−𝒎 + 𝒒𝟏𝜸𝟏 + ⋯ + 𝒒𝒏𝟐−𝒎𝜸𝒏𝟐−𝒎 = 𝜽
$6.6子空间的交与和第六章线性空间则a =kia1+..+kmam+piβi +...+Pn1-mBn1-m(3)= 一q1Y1-...- qn2-mYn2-m由(3)的第一个等式知道αEWi，由第二个等式知道αEW于是αEW,nW2．因此α可由α1,,αm线性表出，令(4)α = liα1 +... +lmam由（3）的第二式以及（4）式得lia1 + ... + lmam + q1/1 + ... + qn2-mYn2-m = 0.因为α1,…,αm，Y1,…Ynz-m线性无关，所以l1 = .. = lm = q1 = .. = qn2-m = 0
第六章 线性空间 §6.6 子空间的交与和 则𝛼 = 𝑘1𝛼1 + ⋯ + 𝑘𝑚𝛼𝑚 + 𝑝1𝛽1 + ⋯ + 𝑝𝑛1−𝑚𝛽𝑛1−𝑚 = −𝑞1𝛾1 − ⋯ − 𝑞𝑛2−𝑚𝛾𝑛2−𝑚． (3) 由(3)的第一个等式知道α∈W1，由第二个等式知道α∈W2．于 是α∈W1∩W2．因此α可由𝜶𝟏, ⋯ ,𝜶𝒎线性表出，令 𝜶 = 𝒍𝟏𝜶𝟏 + ⋯ + 𝒍𝒎𝜶𝒎． (4) 由(3)的第二式以及(4)式得 𝑙1𝛼1 + ⋯ + 𝑙𝑚𝛼𝑚 + 𝑞1𝛾1 + ⋯ + 𝑞𝑛2−𝑚𝛾𝑛2−𝑚 = 𝜃． 因为𝛼1, ⋯ , 𝛼𝑚，𝛾1, ⋯ 𝛾𝑛2−𝑚线性无关，所以 𝑙1 = ⋯ = 𝑙𝑚 = 𝑞1 = ⋯ = 𝑞𝑛2−𝑚 = 0．
$6.6子空间的交与和第六章线性空间从而α=e.再由(3)的第一式便得到kia1 +... + kmam + piβ1 + ... + pn1-mβn1-m = 3.因为α1,…,αm，β,…，βn1-m线性无关，所以k1 =... = km = P1 = ... = pn1-m = 0,这证明了α1,…,αm，β1,…， βn1-mY1,…,Yn2-m线性无关
第六章 线性空间 §6.6 子空间的交与和 从而α=θ．再由(3)的第一式便得到 𝑘1𝛼1 + ⋯ + 𝑘𝑚𝛼𝑚 + 𝑝1𝛽1 + ⋯ + 𝑝𝑛1−𝑚𝛽𝑛1−𝑚 = 𝜃． 因为𝛼1, ⋯ , 𝛼𝑚，𝛽1, ⋯，𝛽𝑛1−𝑚线性无关，所以 𝑘1 = ⋯ = 𝑘𝑚 = 𝑝1 = ⋯ = 𝑝𝑛1−𝑚 = 0， 这证明了𝛼1, ⋯ , 𝛼𝑚，𝛽1, ⋯，𝛽𝑛1−𝑚，𝛾1, ⋯ , 𝛾𝑛2−𝑚线性无关．