山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 2.两个基本结论 引理1 实二次型 f(x1,x2,.,xn)=d1x+d2x+.+dnx2 正定的充分必要条件是d:>0,i=1,2,.,n
2. 两个基本结论 引理1 实二次型 正定的充分必要条件是 𝑑𝑖 > 0 , 𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑛 . 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 = 𝑑1𝑥1 2 + 𝑑2𝑥2 2 + ⋯ + 𝑑𝑛𝑥𝑛 2
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 引理2非退化实线性替换保持二次型正定性不变」 即设f(x1,x2,.,x)经过非退化线性替换X=CY化为 gy1y2,.,yn),则f(x1,x2.,xn)正定的充分必要条件 是g0y1y2,.,yn)正定
引理2 非退化实线性替换保持二次型正定性不变. 即 设 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 经 过 非 退 化 线 性 替 换 𝑋 = 𝐶𝑌 化 为 𝑔 𝑦1 , 𝑦2 , ⋯ , 𝑦𝑛 , 则 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 正定 的 充分 必 要 条件 是𝑔 𝑦1 , 𝑦2 , ⋯ , 𝑦𝑛 正定
山东理2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、实二次型正定性的判别方法 定理1n元实二次型f(x1,x2,.,Xn)是正定的充分必要条 件是它的正惯性指数等于肌. 证明设二次型f(x1x2,.,Xn)的标准形为 d1x子+d2x2+.+dnx晚 由引理1知，该标准形是正定的当且仅当d:>0,i=1,2,n 即正惯性指数为n,再由引理2即得
二、实二次型正定性的判别方法 定理 1 𝑛 元实二次型 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 是正定的充分必要条 件是它的正惯性指数等于 𝑛 . 证明 设二次型𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 的标准形为 𝑑1𝑥1 2 + 𝑑2𝑥2 2 + ⋯ + 𝑑𝑛𝑥𝑛 2 由引理1 知，该标准形是正定的当且仅当𝑑𝑖 > 0 ,𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑛 即正惯性指数为 𝑛 . 再由引理2 即得
加求翟王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ·定理1说明，正定二次型f(x1,X2,.,X)的规范形为 y好+y吃+.+y%. 定义2 实对称矩阵A称为正定的，如果二次型XAX正定】 推论1 一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同 推论2 实对称矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵C, 使得A=CTC. 推论3正定矩阵的行列式大于零
• 定理 1 说明，正定二次型 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 的规范形为 𝑦1 2 + 𝑦2 2 + ⋯ + 𝑦𝑛 2 . 定义 2 实对称矩阵 𝐴 称为正定的，如果二次型𝑋𝑇𝐴𝑋正定. 推论1 一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同 推论2 实对称矩阵 𝐴 正定的充分必要条件是存在可逆矩阵 𝐶， 使得 𝐴 = 𝐶 𝑇𝐶. 推论3 正定矩阵的行列式大于零