§4高斯消去法的变形 平方根法 工程实际计算中,线性方程组的系数矩阵常常具有对 称正定性,即其各阶顺序主子式及全部特征值均大于零 矩阵的这一特性使它的三角分解也有更简单的形式,从而 导出一些特殊的解法,如平方根法与改进的平方根法。 定理:设A是对称正定矩阵,则存在唯一的非 奇异下三角阵L,使得 A=LL 且L的对角元素皆为正 (证明略)
§4.高斯消去法的变形 二、平方根法 工程实际计算中，线性方程组的系数矩阵常常具有对 称正定性，即其各阶顺序主子式及全部特征值均大于零。 矩阵的这一特性使它的三角分解也有更简单的形式，从而 导出一些特殊的解法，如平方根法与改进的平方根法。 , ( ) T A L A LL L = 定理：设 是对称正定矩阵，则存在唯一的非 奇异下三角阵 使得 且 的对角元素皆为正。 证明略
平方根( Cholesky分解法)法 0 01「l 由A=LC2、22 0 72 0 nn 其中l>0(i=1,2,…,m)由矩阵乘法及lk=0(当<k时 得 k=1 ∑lk)/l(=j+1, 这里规定∑=0。计算顺序是按列进行,即 k=1 ln(=2,3,…,n)→>l2→>l2(=3,…,n)→
平方根(Cholesky分解法）法 11 11 12 1 21 22 22 2 1 2 1 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 ( 1,2, , ). 0 ( ), ( ) ( 1,2, , ), ( ) / ( 1, n T n n n nn nn ii jk j jj jj jk k ij ij ik jk jj l l l l l l l l A LL l l l l l i n l j k l a l j n l a l l l i j − = = = = = = − = = − = + 由 其中 由矩阵乘法及 当 时 得 1 1 0 1 11 1 22 2 , ); 0 ( 2,3, , ) ( 3, , ) j k k i i n l l i n l l i n − = = = → = → → = → 这里规定 。计算顺序是按列进行，即
当矩阵A完成平方根分解后,求解Ax=b,即求解两个 三角形方程组 (1)Ly=b,求1 2)x=y,求x yi=(6 ∑hy)/(=1,2,…,n) x=(y-∑lx)/l(=n,n-1…1) 由于A的对称性,平方根法的乘除运算量为n3/6数量 级,约是Gass消去法的一半。上机计算时,所需存储单 元也少,只要存储A下三角部分和右端项b,计算中L存 放在A的存储单元,υ,x存储在的的存储单元。 但这种方法在求时需作n次开方运算,这样又增加了 计算量。为了避免开方,可使用改进的平方根方法
1 1 1 , ; 2 . ( ) / ( 1,2, , ). ( ) / ( , 1, ,1). T i i i ik k ii k n i i ki k ii k i A Ax b Ly b y L x y x y b l y l i n x y l x l i n n − = = + = = = = − = = − = − 当矩阵 完成平方根分解后，求解 ，即求解两个 三角形方程组 (1) 求 （ ） ，求 3 / 6 , A n Gauss A b L A y x b L n 由于 的对称性，平方根法的乘除运算量为 数量 级，约是 消去法的一半。上机计算时，所需存储单 元也少，只要存储 的下三角部分和右端项 ，计算中 存 放在 的存储单元， 存储在 的存储单元。 但这种方法在求 时需作 次开方运算，这样又增加了 计算量。 为了避免开方，可使用改进的平方根方法
追赶法 在数值计算中,如三次样条插值或用差分方法解常微分方 程边值问题,常常会遇到求解以下形式的方程组 6. c x|=d简记Ax=d b 此系数矩阵的非零元素集中分布在主对角线及其相邻两次对角线 上,称为三对角矩阵。方程组称为三对角方程组
三、追赶法 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 . i i i i i n n n n n n n n n b c x d a b c x d a b c x d Ax d a b c x d a b x d − − − − − = = 在数值计算中，如三次样条插值或用差分方法解常微分方 程边值问题，常常会遇到求解以下形式的方程组 简记 此系数矩阵的非零元素集中分布在主对角线及其相邻两次对角线 上，称为三对角矩阵。方程组称为三对角方程组
定理:设三对角方程组系数矩阵满足下列条件: 0 b|≥a|+l|ac1≠0(=2,3…,n-1) b>a.>0 则它可分解为 A=lU Cn-I 其中c(=1,2,…,n-1)为已给出的,且分解是唯一的 (证明略)
1 1 1 1 2 2 2 3 1 0 0( 2,3, , 1) 0 1 1 1 1 ( 1,2, , 1) . ( ) i i i i i n n n n n i b c b a c a c i n b a u c l u c A LU l c l u c i n − + = − = = = − 定理：设三对角方程组系数矩阵满足下列条件： 则它可分解为 其中 为已给出的，且分解是唯一的 证明略