第三章.矩阵特征值和特征向量计算 工程实践中有多种振动问题,如桥梁或建筑物的振 动,机械机件、飞机机翼的振动,及一些稳定性分析和 相关分析可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题 1已知A=(an)mn,求代数方程q(1)=det(I-A)=0 的根。q()称为的特征多项式,一般有n个零点,称 为的特征值 2设λ为啪的特征值,求相应的齐次方程(Ⅰ-A)x=0 的非零解(即求Ax=λx的非零解),x称为矩阵A对应 于的特征向量 但高次多项式求根精度低,一般不作为求解方法 目前的方法是针对矩阵不同的特点给出不同的有效方法
第三章. 矩阵特征值和特征向量计算 但高次多项式求根精度低 , 一般不作为求解方法. 目前的方法是针对矩阵不同的特点给出不同的有效方法. 工程实践中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振 动，机械机件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和 相关分析可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。 1. ( ) , ( ) det( ) 0 ( ) 2. ( ) 0 A a I A ij n n A n A A I A x Ax x x A = = − = − = = 已知 求代数方程 的根。 称为 的特征多项式，一般有 个零点，称 为 的特征值。 设 为 的特征值，求相应的齐次方程 的非零解（即求 的非零解）， 称为矩阵 对应 于 的特征向量
§1.幂法和反幂法 幂法 求矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量。它 是通过迭代产生向量序列,由此计算特征值和特征向量。 设nxm阶价实矩阵的特征值(=1,2…,m)满足>12|≥ ≥12且与4(=1,2…,m)相应的特征向量n,2…,n线性无关。 给定初始向量x0≠0,由迭代公式x6=Ax(k=1,2,…)产 生向量序列x)可以证明,当充分大时,有≈x1x 相应的特征向量为xk+") 为简便,不妨设‖=1=1,2,…,m)因为线性无关,故 必存在n个不全为零的数a(=12…n使得x=∑a1
§1. 幂法和反幂法. 一、幂法 求矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量。它 是通过迭代产生向量序列，由此计算特征值和特征向量。 1 2 1 2 (0) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) 1 ( 1) ( 1,2, , ) ( 1,2, , ) , , , , ( 1,2, ) , / , 1( 1,2 i n i n k k k k k i i k i n n A i n i n u u u x x Ax k x k x x x u i + + = = = = = = ＋ 设 阶实矩阵 的特征值 满足 且与 相应的特征向量 线性无关。 给定初始向量 由迭代公式 产 生向量序列 可以证明，当 充分大时，有 相应的特征向量为 。 为简便，不妨设 (0) 1 , , ) ( 1,2, , ), i n i i i i n u n i n x u = = = 。因为 线性无关，故 必存在 个不全为零的数 使得
由 (k+1)=A k k+1、(0) ∑4"(a)=∑an (Au=Al,A4u=AA…A=1A…Au=…=1l) (k+1) x“[ax+(2ya12+…+(yan 设a1≠0由4>4(i=23…,m)得im(")am=0 Im (ya=0 k →0 故只要充分大,就有x1=“1n+(4)a1=4“an 因此,可把x(作为与λ相应的特征向量的近似。 (k+1) 由xk+1)≈n x6)≈2au41→ (i=1,2,…n) x)为x()的第个分量
( 1) ( ) 1 (0) 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ) , ) [ ( ) ( ) ] 0, ( 2,3, , ) lim( ) lim n n k k k k k i i i i i i i k k k k k k n n n i k i i i k k x Ax A x A u u Au u A u AA Au A Au u x u u u i n u + + + + = = + + + + + → = = = = = = = = = = + + + = = 由 （ 设 由 得 1 2 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] , ( 1,2, ) n i k i i i n k k k k i i i i k k k k k k i k i k k i u k x u u u x x x u x u i n x x x i + → = + + + + = + + + + = = + = 故只要 充分大，就有 因此，可把 作为与 相应的特征向量的近似。 由 为 的第 个分量
按上面式子计算矩阵A按模最大的特征值与相应的 特征向量的方法称为幂法。幂法的收敛速度依赖于比值 ,比值越小,收敛越快。 两点说明 1)如果x的选取恰恰使得α1=0,幂法计算仍能进行。 因为计算过程中舍入误差的影响,迭代若干次后,必然 会产生一个向量x,它在u方向上的分量不为零,这样 以后的计算就满足所设条件。 2)因x=2《1,计算过程中可能会出现溢出(41|>1) 或成为0(41-1)的情形。解决方法:每次迭代所求的向量 都要归一化。因此,幂法实际使用的计算公式是
2 1 (0) 1 ( ) 1 ( ) 1 1 1 0, , 2 k k k A x x u x = = 按上面式子计算矩阵 按模最大的特征值与相应的 特征向量的方法称为幂法。幂法的收敛速度依赖于比值 ，比值越小，收敛越快。 两点说明： ）如果 的选取恰恰使得 幂法计算仍能进行。 因为计算过程中舍入误差的影响，迭代若干次后，必然 会产生一个向量 它在 方向上的分量不为零，这样， 以后的计算就满足所设条件。 ）因 1 1 1 , ( 1) 0( 1) u 计算过程中可能会出现溢出 或成为 的情形。解决方法：每次迭代所求的向量 都要归一化。因此，幂法实际使用的计算公式是
(k)_3(k)/(k) (k) (k) maX (k=0,1,2,… (k+1) A (k (k+1) 算法: 输入A=(an),初始向量x=(x1…x)误差限,最大迭代次数N 2置k=1,4=0 3求整数,使x|=maxx,x,→a 计算y x Ay置x,→4 C 5若1-川<E输出x停机:否则,转6 6若k<N,置k+1→k,λ→μ转3;否则,输出失败信息,停机
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) ( ) ( 1) 1 max ( 0,1,2, ) k k k k k r r i i n k k k r y x x x x k x Ay x + + = = = = ／ 1 1 1. ( ), ( , , ), 2 . 1, 0 3. max 4. 5. , , , 6 6. , 1 , , 3 ij n r i r i n r A a x x x N k r x x x x y x Ay x x k N k k = = = = = = = − + 算法： 输入 初始向量 误差限 ，最大迭代次数 。 置 求整数 ，使 ， 计算 置 若 输出 停机；否则，转 若 置 转 ；否则，输出失败信息，停机