第二章、解线性方程组的迭代法 直接法:经过有限次运算后可求得方程组精确解的方 法(不计舍入误差!) 迭代法:从解的某个近似值出发,通过构造一个无穷序 列去逼近精确解的方法。(一般有限步内得不到精确解) 直接法比较适用于中小型方程组。对高阶方程组, 既使系数矩阵是稀疏的,但在运算中很难保持稀疏性, 因而有存储量大,程序复杂等不足 迭代法则能保持矩阵的稀疏性,具有计算简单,编 制程序容易的优点,并在许多情况下收敛较快。故能有 效地解一些高阶方程组
第二章、解线性方程组的迭代法 直接法: 经过有限次运算后可求得方程组精确解的方 法(不计舍入误差!) 迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序 列去逼近精确解的方法。（一般有限步内得不到精确解） 直接法比较适用于中小型方程组。对高阶方程组， 既使系数矩阵是稀疏的，但在运算中很难保持稀疏性， 因而有存储量大，程序复杂等不足。 迭代法则能保持矩阵的稀疏性，具有计算简单，编 制程序容易的优点，并在许多情况下收敛较快。故能有 效地解一些高阶方程组
§1.迭代法概述 迭代法的基本思想是构造一串收敛到解的序列,即建立一种 从已有近似解计算新的近似解的规则。由不同的计算规则得到不 同的迭代法,本章介绍单步定常线性迭代法 对线性方程组Ax=b 其中A=(an)n非奇异矩阵,b=(b1,…,bn) 构造其形如x=Mx+g 的同解方程组,其中M为n阶方阵,g∈R"。 任取初始向量x∈R",代入迭代公式 (k+1) Mx()+g(k=0,1,2 产生向量序列{x(k)},当k充分大时,以x()作为 方程组Ax=b的近似解,这就是求解线性方程组 的单步定常线性迭代法。M称为迭代矩阵
§1.迭代法概述 迭代法的基本思想是构造一串收敛到解的序列，即建立一种 从已有近似解计算新的近似解的规则。由不同的计算规则得到不 同的迭代法，本章介绍单步定常线性迭代法。 1 ( 0 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , ) , (k = 0 ,1 ,2 , ) { } T ij n n n n n k k k k A x b A a b b b x M x g M n g R x R x M x g x k x A x b 对 线 性 方 程 组 其 中 非 奇 异 矩 阵 ， 构 造 其 形 如 的 同 解 方 程 组 ， 其 中 为 阶 方 阵 ， 。 任 取 初 始 向 量 代 入 迭 代 公 式 产 生 向 量 序 列 ， 当 充 分 大 时 ， 以 作 为 方 程 组 的 近 似 解 ， 这 就 是 求 解 线 M 性 方 程 组 的 单 步 定 常 线 性 迭 代 法 。 称 为 迭 代 矩 阵
定义:设{x()}为R中的向量序列,x∈R",如果 lim x 其中|为向量范数,则称序列{x)y收敛于x,记为 lim x 定理:R中的向量序列{x6)}收敛于R中的向量x当且仅当 其中x(6)=(x,x2),…,x),x=(x1,x2,…,xn)。 证:由定义x收敛于1m|x)-x=0 而对任意1≤≤m,有05(x“)-xma×x-x=1“- 由极限存在准则得1imx 1,2,…,n) 即 lim x( k)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( { } lim 0 { } lim { } lim k n n k k k k k n k n i k x R x R x x x x x x R x R x x 定义：设 为 中的向量序列， ，如果 其中 为向量范数，则称序列 收敛于 ，记为 定理： 中的向量序列 收敛于 中的向量 当且仅当 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( 1, 2, , ) ( , , , ) , ( , , , ) { } lim 0 1 0 max lim =0 ( 1, 2, , ) k i k k k k T T n n k k k k k k i i j j j n k i i k x i n x x x x x x x x x x x x i n x x x x x x x x i n 其中 。 证：由定义， 收敛于 即 而对任意 ，有 由极限存在准则得 即 ( ) lim ( 1, 2, , ) k i i k x x i n
定义:设{A(}为n阶方阵序列,A为n阶方阵,如果 Im A=0 其中·矩阵范数,则称序列{A“)收敛于矩阵A,记为 lim a(k)=a k→)∞ 定理:设{A6)}=(a0)(k=1,2,…,A=(an)均为m阶方阵, 则矩阵序列{A(6)}收敛于矩阵A的充要条件为 lim a (i,j=1, k→>∞ 证明略。 定理表明,向量序列和矩阵序列的收敛可以归结为对应 分量或对应元素序列的收敛。 若按x+=Mx)+g产生的向量序列{x)}收敛于向量x, 则有x=limx(k+1)=lim[Mx()+g]=Mx+g 即x是方程组Ax=b的解
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } lim 0 { } lim { } ( ) ( 1, 2, ), ( { } k k k k k k k k ij ij k A n A n A A A A A A A a k A a n A A 定 义 ： 设 为 阶 方 阵 序 列 ， 为 阶 方 阵 ， 如 果 其 中 为 矩 阵 范 数 ， 则 称 序 列 收 敛 于 矩 阵 ， 记 为 定 理 ： 设 )均 为 阶 方 阵 ， 则 矩 阵 序 列 收 敛 于 矩 阵 的 充 ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) lim ( , 1, 2, , ) { } , lim lim[ ] k ij ij k k k k k k k k a a i j n x M x g x x x x M x g M x g x A 要 条 件 为 证 明 略 。 定 理 表 明 ， 向 量 序 列 和 矩 阵 序 列 的 收 敛 可 以 归 结 为 对 应 分 量 或 对 应 元 素 序 列 的 收 敛 。 若 按 产 生 的 向 量 序 列 收 敛 于 向 量 则 有 即 是 方 程 组 x b的 解
§2.雅可比( Jacobi)迭代法 aux tan2x aIn b a2x+a2x2+.+axm=b2 an1x1+aax2+…+amCn=b 若系数矩阵非奇异即an≠0(i=1,2,…,m)则有 b12x2+b13x x,=b,x ba3x bb bx,+bx,+ bmax ∴ 其中b b (≠j,,j=1,2,…,n),8; (i=1
§2.雅可比(Jacobi)迭代法 11 1 12 2 1n 1 21 1 22 2 2n 2 n1 1 n1 2 nn 0 ( 1, 2, , ), n n n n ii i n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b a 若 系 数 矩 阵 非 奇 异 即 则 有 1 12 2 13 3 1 1 2 21 1 23 3 2 2 n 1 1 2 2 3 3 n n n n n n n n x b x b x b x g x b x b x b x g x b x b x b x ,( , , 1, 2, , ), ( 1, 2, , ). ij i ij i ii ii a b b i j i j n g i n a a g 其中