(2n)(2n-1)…(n1) (2n) 2"n! 2"(n!) 显然最高项系数为1的勒让德多 项式为 P,(x) (2m)ahx?(x2-1)y} 勒让德( Legendre)多项式具体表 达式为 B(x)=1 P(x=x P2(x)=(3x2-1) P3(x)=(5x-3x) P(x)=(35x4-30x2+3) 8
2 1 (2 )! (2 )(2 1) ( 1) . 2 ! 2 ( !) n n n n a n n n n n = − + = 显然最高项系数为 1 的勒让德多 项式为 2 ! ( ) {( 1) } (2 )! n n n n n d P x x n dx = − 勒让德(Legendre)多项式具体表 达式为 0 1 2 2 3 3 4 2 4 ( ) 1 ( ) 1 ( ) (3 1) 2 1 ( ) (5 3 ) 2 1 ( ) (35 30 3) 8 P x P x x P x x P x x x P x x x = = = − = − = − +
x)=∑ (-1)(2n-2k) n-2k X k=62k(n-k)(n-2k)! (n=0,1,2,…) 性质1正交性 ≠H ∫P(x)(x={2 nm=n 2n+1 证明:反复用分部积分公式,略。 性质2奇偶性 P(-x)=(-1)"Pn(x) n为偶数时P(x)为偶函数,n为奇 数时(x)为奇函数。 性质3递推关系
[ ] 2 2 0 ( 1) (2 2 )! ( ) 2 !( )!( 2 )! n k n k n n k n k P x x k n k n k − = − − = − − ( 0,1, 2, ), n = 性质 1 正交性 1 1 0, ; ( ) ( ) 2 , . 2 1 n m m n P x P x dx m n n − = = + 证明:反复用分部积分公式,略。 性质 2 奇偶性 ( ) ( 1) ( ) n P x P x n n − = − n 为偶数时 ( ) P x n 为偶函数,n 为奇 数时 ( ) P x n 为奇函数。 性质 3 递推关系
(n+1)P+1(x)=(2n+1)xP2(x)-nBn=1(x) (n=1,2,3,…) 证明略。 性质4在所有最高项系数为 1的n次多项式中,勒让德多项式 P(x)在[-1,1]上与零的平方误 差最小。 证:设Q(x)是任意一个最高项系 数为1的多项式,可表示为 Q,(x)=P(x)+∑akP(x)=x+bnx”1…bx+ 于是 (Q,Q)=(2(x)-0)ak=(x)
1 1 ( 1) ( ) (2 1) ( ) ( ) n n n n P x n xP x nP x + = + − + − ( 1, 2,3, ), n = 证明略。 性质 4 在所有最高项系数为 1 的 n 次多项式中,勒让德多项式 ( ) P x n 在[-1,1]上与零的平方误 差最小。 证:设 ( ) Q x n 是任意一个最高项系 数为 1 的多项式,可表示为 1 1 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) , n n n n n k k n k Q x P x a P x x b x b x b − − − = = + = + + 于是 1 1 2 2 1 1 ( , ) ( ( ) 0) ( ) Q Q Q x dx Q x dx n n n n − − = − =