利一起应邀到彼得堡去。他到彼得堡后,曾提出一个概城(今属波兰),1982年5月2日卒于美国休斯敦。毕业 率论问题,后来以彼得堡问题著称。可惜次年就死在于柏林大学,1921年获该校博士学位。在慕尼黑大学任 那。 教多年,1933年受聘于美国普林斯顿大学,1938年入美 丹尼尔第一·伯努利( Daniel Bernoulli)1700年籍,1946年任该校教投,1968年在该校退休后又受聘 2月8日生于荷兰格罗根,1782年3月17日卒于巴于休斯敦瑞斯大学任数学系主任。1979年在该校退休 塞尔。丹尼尔25岁就成为彼得他是美国科学院院士,并在1957~1958年担任美国数学 堡科学院数学教投,他最早的会爵主席 他在报达、跟分方程、物里中)分饼x包足大完数时有x 理等方面均有贡献。曾获法国和作为广义函数论先导的广义傅里叶变换。他引进了被 科学院奖佥10次之多。他的广泛运用的博赫纳积分。多元调和分析中的博赫纳球形 《流体动力学》1738年出版,这和成为研究多重傅里叶展开的收敛问题及逼近问题的重 是作为流体动力学基础的“伯要工具。他在微分几何学、多复变函数论、概率论等方面 努利定理”的出处。1733年他都有创建,曾在微分几何学中联系贝蒂数的研究,在1946 同组巴塞尔,教授解剖学、植年普林斯顿大学建校200周年纪念时举行的回际学术会 物学和臼然哲学 (梁宗巨) 议上作了这方面的报告。由于他在数学上的重要贡献, 曾多次获奖,其中有1979年美国的斯蒂尔奖,该奖授予 Bonulishu 在数学事业上有突出贡献的美国数学家。他还是著名的 伯努利数( Bernoulli numbers)18世纪瑞土数教育家,曾获普林斯顿大学法因数学教授(1959)和瑞 学家约第-伯努利引入的一个数。设伯努利数为B,斯大学洛维特数学教授的称号。著有《多复变函数论》 其定义: t,这里[<2x由计算知:Ba=1, (1948)、《傅里叶变换》(1949)、《调和分析与概率论》 (1955)等 程民) 2,B-,B=0,-3,B-、9汐博伊西斯,AM,S:( Anicius Manlius Severi Boy× B=0,B=-30,B0,B。=6”B1:=0,B nus Boethius :5 475/480-524/525) 古罗马 B1=0,B1;=6·B1=0,B1s 一股地,哲学家、数学家。约公元475年(另一说480年)生于罗 x≥1时,有Bm-0,n>2时,有公式()B,可马3,524年(另元说525年)卒于意大利帕维亚。曾用拉 用来逐一计算伯努利数。伯努利数在数论中很有用。例抒德王西奥多里克的重用。后因彼控谋反罪被捕入狱, 如,对于佩尔方程x2-my2=-4(p=1(od4)是素数),在狱中写就名著《哲学的安慰》(523~524)他还編有《算 N.C.安克尼和E.阿廷曾猜想它的最小解x+3~P术入门》和《几何学》等著作,主要取材于尼科功雀斯(约 足p十,1960年,LJ莫德尔证明了在p=5(mod8)100年)和欧几里得等人的同类籍,内容上缺乏创新, 时,S,乔拉证明了在p=1(mod8)时,上述猜想等价于伯还略去一些原书证明的精华,但因其通俗易而广泛流 努利数m的分子不被P整除伯努利数还可用亍费传,长期被用作经典教本,影响颇大。他将枓学分为四 大定理的论证中。设P>3,如果伯努利数B,B, J:算术、音乐、几何、天文、称之为“四道”( quadrivium B,-的每一个的分孑不被P整除,这样的素数p叫正规四条道路)希腊文化通过罗巧人传到中世纪的很少,其 素数,否则就叫非正规素数。徳国数学家E.E.库默尔大部分体现在傅伊西斯的著述之中 (王青建) 证明了:当P为正熀素数时,费马大定理成立。不难计算 当3<P<100时除开p=37,59,67以外,其余的素数都 bubionzi kong iian wentE 是正规素数。因此在费马大定理的研究中,库默尔的结不变子空间问题(inv& riant subspace prob- 果是一项突破性的工作(见不定方程)。尽管有许多判别lem)线性算子理论中的一个著名问题。40多年 正规素数的法则,但是,是否有无穷多个正规素数,尚未来,人们一直在努力追求其答案,做了大量工作,取得不 解决。而非正规素数有无穷多个,早在1915年就被人们少成果,但离问题的解决,现在看来还相当远。 所诳明 (孙琦 设T是复巴拿赫空间X上有界线性算子,M是X的 闭线性子空间(见巴拿赫空问),如果TMcM,称M是T Boheno 的不变(闭线性)子空间。当M仅含元素{0}或者是全 博赫纳,S.( Salomon Bochner1899 1982)空间x时,M不仅是X的用线性子空间,而且是一切有界 著名数学家。1899年8月20日生于奥匈帝国克拉科夫线性算子里的不变子空闻。称{0}和X是平凡不变子空
间。所谓不变子空间问题是:对任何维数不小于2的复巴 Verlag, Berlin, 1.973 拿赫空间上的有界线性算子,是否必存在非平凡的不变 等编著:《实变函数与泛晒分析下册,人民教育出版 子空间。 W.S. Brown, Integrai Equtions and Operator Tlieory, 当X是有限维空间时,任何线性算子T都有一个若 尔当标准型,它不仅表明T有非平凡的不变子空间,而且 马吉溥 还完全刻画了算子的内部结构。当X是不可分空间时, buding fangcheng 易知任何有界线性算子必有非平凡不变子空间。因此,不定方程( indeterminate equation)数 不变子空间问题实质上只限于可分的无限维空闻上。 的一个分支,它有悠久的历史与丰富的内容。所谓不定 如果不变子空间问题的回答是肯定的,则由佐恩引方程是指解的范围为整数、正整数、有理效或代数整数等 理易知,对任意有界线性算子,存在-个极大的不变子空的程或方程组,一般来说,其未知数的个数多于方程的 问链。这将把有限维空间上的线性算子的若尔当标准型个数。古希腊数学家丢香图于3世纪初就研究过若干这 推广到巴拿赫空间上去的工作推进了一步。因此,不变类方程所以不定方程又称丢番图方程。1969年,LJ 子空间问题是在算子理论中占有重要地位的一个基本问莫德尔的专著《丢番图方程》,较系统地总结了这方面的 题。下面是有关不变子空间问题的主要结果。 研究成果。近十多年来,这个领域更有重要进展。虽然 与紧性相联系的算子与有限维空间上算子相接近如此,从整个地说,对于高于二次的多元不定方程,人们 的一类算子是紧算子。J冯·诺伊受在1930年证明:对知道得不多。另一方面,不定方程与数学的其他分支如 于希尔伯特空间上任意有界紧算子,存在非平凡不变予代数教论、代数几何、红合数学等有着緊密的联系,在有 空间。这工作当时没有发表。1954年,N阿龙扎杨和限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题,这就 K.T.史密斯用有限秩算子逼近的方法证明了;对于巴拿使得不定方程这一古老的分支仍然并将继续吸引着许多 赫空间上任何有界紧箅子,存在非平凡不变子空间。1973数学家的注惫,成为数论中重要的研究课题之一。 年,B.H.罗蒙诺索夫利用绍德尔不动点愿理证明了,如 次不定方栏最简单的一次不定方程是二元一次 果A是巴拿赫空间上与某非零緊算子可交换的算子,则不定方程 存在A的非平凡的不变子空间。有趣的是,与紧性相联 (1) 系的这些结果,证明都不很难。1977年,有人不用绍德式中a1,a2,n是给定的整数,a1a2≠0 尔不动点原理,以很简单的、初等的方法,再次证明了上 在17世纪,已经知道方程(1)有整数解的充分必要 述结论。后来,人们乂进一步证明了,如果B是巴拿赫空条件是(a1*ax)能整除”,并当(1)有解时,可用辍转相除 间上的非零紧算子,则一切使AB-BA为一秩算子的算法来求(1)的一组解 子A,有非平凡的不变子空间;从而推广了罗蒙诺索夫的 设(a1,a2)=I,则(1)的全部整数解可表为 结果。 (2 与正常算子和联的算子基于对正常算子的了式中xa,3为(1)的一组解,t为任意整数。称(2)为方程 解,人们考察了与正常算子相远的算子的不变子空间问(1)的通解 题。30多年来,这方面的研究取得了重大进展,其中的方 一般地,s(8≥2)元一次不定方程是指 法,对研究希尔伯特空间上有界线性算子有很重要的意 义。1949年,A.博灵深人地研究了单位圆罵上的哈代空式中α(-1,,s),π都是给定的整数,1g2…≠0。 间H见HP空间)上的乘法算子U+:Uf(z)=zf(z)。关 与二元的情形类似,方程(3)有整数解的充分必要条 于U,的不变子空间问题,有称为博灵定理的如下结果:件是(a1;a2,…,能整除r 算子U,没有非平凡的约化子空间,M是U,的不变子空 方程(2)的通解含一个参数,方程(3)的通解含s-1 间的究要条件是M一φH,这里φ是H中几乎处处等于个参数。例如,在s=3时,设(a,bc)-1,(a,b)≈d, 1的函数 a=da‘,b=Φ’,不定方程 1978年W.S.布朗借助于函数演算的方法证明:次 ax+by+czn 正常算子〔即正常算子在不变子空间上的限制)皆有非平的通解可表为 凡的不变子空间。他的证明方法很快被人们用来证明各 种类型的不变子空间存在定理。上面的结果可以推厂到 y==yo-a't,-u2cta, 希尔伯待空间上有界线性算子A。如果对一切极点 z-2,+dt, 在算子A的谱σ〔A)外的有理函数∫,成立盱(A川≤式中x孙,z是(4)的一组解,1、n满足a1+bt2-1, nax(l∫(z)|z∈o(A),那末A有非平凡的不变子空间。tt为任意整数。 近年来有人较大地简化了布朗结果的证明 设a1>0,a1>0,(a1,a2)=1,考虑方程(1)的非负整 参考书目 数解。19世纪,J西尔维斯特曾经证明了:在 H. Radjavi and P. Rosenthal. variant Subs paces,a-a时,(1)有非负整数解,但在n=a1q2-a-a时
1)没有非负整数解 在17世纪,上述结果曾给P.de费马很大影响,导 设a4>0(i1,2,…,s)(a1,a2,…)=1,考虑式(3)致他提出了在数论发展史上非常重要的三个定理 非负整数解x≥0《12,…s)。容易证明,存在仅与 ①每一个形如4k+1的素数P可唯一地表成两个 a,ax……,a有关的数F,-吗当r>Fa1,m,时,(3)有非正整数的平方和,即p=x2+扩2,0<x≤y 负整数解。求出F,-的最佳值gax,-就是著名的弗 ②每一个正整数能够表成四个整数的平方和。 罗贝尼乌斯冋题。当s∞2时,已知ga3,a2=a1a2-a1-吗 不定方程 对于s≥3时,近几十年来,国内外均有不少工作,特别 x4+y22,(x,3)=1 (7) 对-3的情形已找到多种计算ga1,a2,a的方法 没有x≠0的整数解。 5世纪末,中国数学家张丘建在他编写的《张丘建算 对于第一个定理,費马说他能够用无限递降法证明, 经》里提出的“百鸡问题”,就是求方程组 但未发表。第一个完全的证明是L欧拉在1749年给出 5x+3y+3=100,x+v+z=100 3,他在1773年和1783年又给出了更好的证明。特别 的正整数解问题,它是一个一次不定方程组。一次不定是近代,有人把xy只体表示了出来;-(2xr)+ 方程组可用消元法化为一次不定方径求解,一般的系(2x),其中r,满足勒让德符号(F)-1、(#)- x(x2}配 a1C1十a1xx十…十a1x=n1 1,并且sk)= c21x1+2x2+…+2x=n2y 5) 关于第二个定理,費马的证明仍未被发现。1772年 J.L·拉格朗日给出了第一个证明,一年后,欧拉给了 州xa=nm 个更简单的证明。由于形如8k+7的数不能表成三个整 式中m≤s,设(5)的系数矩阵及其增广矩阵分别为A和数的平方和,因此,这是一个很完美的定理。而且,这个 定理也是非常有用的,例如在组合数学里的阿达马矩阵 Firl 的构造中就要用到。 azz 费马给出了第二个定理的证明。他证明这个定理所 创造的无穷递降法至今还很有用。如果(7)有一组整数 Urn 解x,3x勋≠0,可设z>0,利用方程(6)的整数解 (5)有整数解x(j-,2,…,8)的充分必要条件是D 公式,可以得出(7)的一组新解x1,11满足x1阴≠0, i=1,2,…,m),其中D4,D分别表矩阵A和B中诸 z>z1>1,这个方法可以继续下去,从而得到一个无穷 行i列子式的最大公因数。当s=m,A1>0时,(5)有的严格递降的正檠数序列z>z1>z>…,因为z是 整数解的充分必要条件是,对于|A的饪一个因数M,同个确定的正整数,这当然是不可能的 余式组 有一个关于商高数的猜想:设a、Uc是商高数,xy a4xn(mod)(1,2,……,) z是证整数,且满足a“+b=c,那么x=y=z=2对这个 有解对于m-0i=1,2,…,m),即齐次的情形当1≤m猜想,有过许多工作,但仍未彻底解决 佩尔方程二次不定方程中,最简单的也是最重要 时,用抽是原理可证,此时(5)有不全为零的整数解x的方程是佩尔方程。佩尔方程是指不定方程 =1,2,…s),且满足!x≤(A3…A,a)“(j-1,2, x2-Dy2=N,N=士1,士4 s),这里A=la1+|吗z!+…|1(j1,2,,m) 式中整数D>0不是平方数 商高數满足不定方程 人们最先考虑的是N=1的情形,即不定方程 x2+y2=22 9) 的正整数,叫做商高数〔勾股数)也叫毕达哥拉斯数。 J佩尔是17世纪的英国人,对方程(9他并没有做什么 中国古代数学书《周髀算经》中曾经提到“勾广三、股工作,由于L欧拉弄错了才冠以他的名字。1766年前 修四、径隅五”这个三边都是正整数的直角三角形,因此,后,J-拉格朗日首先证明(9)有y≠们的整数解。 已经知道方程(6)的一组正整数解x=3,3=4,z=5。古 设x>0,孙>0是方程(9)的所有x>0,>0的解 希腊数学家毕达哥拄斯也给出了方程(6)的一些正整数中使x十D最小的那组解,称石为(9)的最小解 解。至少在16世纪以前,已经给出了方程(6)的全部正则(9的全部整数解x由x+~D=±(x+/D)” 整数解。若(x,3)=d,由(6)有dz故可设(x,)=1,此表出,其中n是任意整数。 外,显然x和g一奇一偶。可证不定方程(6)满足(x 只需要求(9)的最小解,它的全体解x也就表示出 y)=1,21x的全部正整数解可表为x=2,y=a2-铲,来了。最小解也 义为方程(9)的整数解x>0,3>0 α2÷妒,式中丛、b为任意整数满足a>b>0,(ab)=1,中使x最小或使驴最小的解。因此,寻找(8)的最小解可 2ta+b 以用验算的方法,令g-1,234…直到I+D是
个完全平方时即可求出。然而,这种方法有时计算十分±(+U八D)·(x+3oD)”,”是任意整数。 冗长。例如,x2-94y2=1的最小解是x-243295,yo 20也可把√D展成连分数,那么D的渐近分数男了,若不定方程 不定方程ax2+y2-cz21785年,A.-M.勒让德证 p/qn中,一定有k使x-p,=qh。如果都是正 ax2 +by=Cz2 的系数满足a>0,b>0, 整数,满足(9),且有老>2n2-1,则n是(9)的最小子,则(12)一组不全为零且(x,,x)-1的解xyz的 0,且两两互素,都无平方因 充分必要条件是b,a,-分别是a,b,c的二次剩余。 有 对于不定方程(8),很明显,在N—-1时,如果D含1950年,L霍尔择运用代数数论证明了(12)的推零解满 4k+3形状的素因数,就无整数解。但是如果它有一足x|<~,!<√c,l2<~o。1969年,莫德尔给 组整数解就有无穷多组解。可类似(9)那样定义它的最出了尔策结果的一个简单的初等证明。不定方程(12 小解。如果它有最小解x=4,到=b,那么它的全部解由在组合数学的差集理论中有用 n是任意整数 且x十孙√D=(4+b八D)2,x、为(9)的最小解。 莫德尔方程设k为整数,不定方程 (8)在N=±4时,有类似的结果 y=r+k 13) 求出佩尔方程最小解的上界,是一个重要问题。设叫做莫德尔方程。 个世纪以来,对不定方程(13)的研究从未停止过, c-“+2(D-,D=0成1m0)是(8)在N-4时的最众多的数学家运用各种方法研究方程(13)的整数解或有 小解,1918年,F舒尔证明了1<ADgD。1942理数解。这些工作丰宫和发展了数论的内容。17世纪, P费马宣布他发现一个美妙而精巧的方法,证明了方 年,华罗庚证明了g<~D(2logD+).1904年,王程妒=x一2仅有整数解x-3。和他的许多定理一样, 元证明了对任意6>0,皆有常数C=C(a),当D>C(时他的证明始终没有被发现。直到1875年,,佩平给出了 奇个完全的证明:因为x70(m12)和Q(y=2)中代 整数的唯一分解定理成立,故y+=2=(a+ 佩尔方程有许多应用。一般的二元二次方程如果有b八-2)3,x=a2+262,这里a、b是整数,因此b(3a2-2b2) 解,都可归结为佩尔方程的求解问题,甚至某些二元三次 1推出b-1,a=±1,x=3,用同样的力法可证 或四次的不定方程也用到它。佩尔方程一个直接的应用方程32=x2-1仅有整数解x=1。1912年,莫德尔由于 是可以证明:在实二次域Q(八D)中有一个单位数n存给出方程 系列新结果,而获得英国剑桥天学颁 在,使得Q(八D)中的任一单位数皆可表为士η”,n为整发的史密斯奖。1918年,他还证明了方程(13)仅有有限 数,η叫φ~D)的基本单位数。 组整数解。由于对方程(I3)有理数解的研究,引导莫德 二元二次不定方栏一般的二元二次不定方程可写尔对更·般的曲线上的有理点的研究。1922年,莫德尔 ax+bxy+cy*+dx+ey+f-o 10)猜想:在亏格大于1的代数曲线上仅有有限个有理点。 式中 a,b.C,d,e,都是整数 1983年,德国数学家G.法尔廷斯证明了奠德尔猜想,这 设D=b2-4a>0,D不是一个平方数,=4a无疑是20世纪数论中最杰出的工作之一,荣获1986年 +bde=ae2-cu2-fb2≠0,CF.高斯用佩尔方程证明了国际数学家大会的贵尔戴奖对于有的k值,方程(13)有 在上述条件下,若(10)有一组整数解,则有无穷多组整时很难解。1930年,T.内格尔证明了方程(13)在k-17 数解。不定方程(10)可用变换的方法归结为不定方程 时,有8组解:(x=(-2,3),(-1,4),(25)(4,9) 2-Dy2=:N (&,23),(43 不妨设其中整数D>0不是平方数,N是一个正整数 年,W.永格伦完全解决了k=-7,k=-15两种情形。 194年,T.内格尔用初等方法,完全决定了方程(11 ) 1968年,A.贝克证明了方程(13)的整数解满足 的解。设(,U)和(1,是方程(11)的两组解,若max(|x!,y)<exp(10101k11) H+vDw《+1~D)(s+tD,这里s、t是方程 图埃定理1909年,A.图埃证明了一个重要结果 (9)的一组解,则称c,D)和(,)属于同一结合类。设设n≥3,∫(2)=an+an-,=1+…+a+a是有理数域 x、3是与(1)具有相同D的(9的最小解,则不定方程上一个不可约的整系数多项式,则不定方程 x2-Dy2=N的解的每一个结合类中,有一个解(以,D)满 H(x,B)=an℃+a-x+…+a1x-1ay=C x十 不定方仅有有限多组整数解x式中c是给定的非零整数。 程x2-D=-N的解的每一个结合类中,有一个解 这个定理的证明依赖于下列的结 果:设θ是一个次 满足0< √N 3的整系数不可约多项式的根,则只有有限组整数 Ca -l)N 就证明了类数有限,且每一类中的全部解均可表为 y>0适合 这个不等式,C.L,西樁
尔在1921年作了改进。1958年,KF·罗特给出丁最住叫做正规素数。库默尔证明了当P是正规素数时,费马 结果。如何定出方程(14)解的个数,特别是如何有效地大定理成立。通过计算,对于小于100的奇素数中,除 把解计算出来,一直是数学家们研究的主要问题。1921开p37,59,67以外,都是正规荼数。在1847年以 年,DH德洛涅证明了不定方程 后,库默尔继续对分圆域进行深入的研究,从而证明了 (15)p=37,59,67时,费马大定理成立。库默尔为丁补救一般 最多只有一组x≠03≠0的整数解。如杲x、y是一组分圆域中整数环的唯一分解定理不成立而创造的理想数 解,那么x+孙d是三次域Qd)的基本单位数或论,丰富和发展了代数数论。在近代数学家中,H.范迪 是基本单位数的平方。1938年,永格伦证明了如果某些维尔继续库默尔的工作,20世纪初到50年代,对费马大 二次城戚四次域的基本单位数能够决定,那么,不定方程定理进行了大量的工作,进一步得到了一些使费马大定 Ax-By'=C的全部整数解也能定出,这里A、B是正整理成立的充分条件。还有一些工作是利用大型电子计算 数,C=1,2,4,8或16 机加上精巧的方法来探索费马大定理。例如1976年, 运用天番图迺近论的方法,1968年,A·贝克给出了5.S·瓦格斯塔夫证明了p<10时,费马大定理成立 方程(14)解的一个可计算的上界。他还定出了另外许多1977年,G.泰雅尼昂用柯召解决不定方程x2-1=y的 类不定方程解的上界。贝克的出色工作,曾得到1970年想法,证明了n=2p时,若費马大定理成立,则2px或 的费尔兹奖 2p】3。1983年,G·法尔廷斯证明了樊德尔猜想,从而推 四次方程2=b+c对于不定方程 出方程x+yx,对于给定的n(m>3),仅有有限组非 x2--2y4=-1, (16)平凡解。 192年水格伦证明了,方程(16)仅有正整数解(x,)= 卡坦朔猜怒称为正整数的乘幂,其中a是正整 (1,1)成(239,13),但证明很繁,同年他还分别证明了数,m是大于1的整数。E.卡坦朗在1842年猜想,除 定方程 8-239=32外,没有两个连续数都是正整数的乘幂。用 x4-D2=1(D>0且不是平方数),(17)不定方程的形式,可写猜想为:不定方程 最多有两组正整数解。以及不定方程 xP一3=1(p,q是素数) x2-Dy=1(D>0且不是平方数),(18)除开P=2,x=3,q=3,y2外,没有其他的正整数解。 最多有两组正整数解,且当解存在时,可有效算出。 实际上,可以进一步假定方程(20)中p≠q。q=2的 对于方程(17)、(8)和方程x+b-Dy2(b=±1,情形,在19世纪早已证明比较困难的是p=2的情形,直 士2),永格伦HE.科恩、柯召和孙琦等,还曾用初等的到1962年,柯召给出了一个初等而简练的证明,其证明 方法解决了其中某些情形。 方法也是富有启发性的。即他证明了不定方程x2-1 費马大定理用不定方程来表示的费马大定理是:y(p>3是一个奇素数)无正整数解。1961年前后,柯 设n>2,不定方程 召和W..卡斯尔斯分别独立地证明了没有三个连续 19)数都是正整数乘幂这一著名的弱型卡坦朗猜想。R特艾 没有xz≠0的整数解。 德曼证明了:存在可计算的绝对常数c,方程xm=y+1 1637年,费马声称他已经证明了上述定理,然而他(x,3,m,n皆≥2)的整数解适合于xm<c。近来,还可以 的证明始终未被发现。300多年过去了,这个定理至今未算出 loglog log c<100 能证明,也无法否定。于是后人有把它称为费马最后定 当前,不定方程中比较成熟的方法是处理二个变元 理、费马猜想或费马大问题等。一般傾间性的看法是,的不定方程。三个变元以上的高次不定方程,常常是很 費马那个未曾写出来的证明是错的。历史上,曾有许多困难的。1960年,柯召和卡斯尔斯分别独立地证明了不 优秀的數学家为了证明这个定理,付出了巨大的精力为定方程x3+y+x=xyz无xz≠0的整数解,从而证明 了证明费马大定理,只需证明方程x+驴灬z',(x,)=1了W.谢尔平斯基认为是很难的一个猜想:不存在三个有 和方程x甲十一2(x3)=(x,z)一(,z)m1(P是一个理数,它们的和与积都等于1。有的省来很简单的不定 奇素数)均无xz≠0的整数解。費马本人证明了p=3方程,如x+y2+x=3,x+3-z2--1等,实际上都不 的情形,但是,这个证明不完全。1823年,A.-M勒让德易解决。 证明了p=5肭情形,1839年,G.拉梅证明了p~7的情 又如下列这个没有加减号的不定方程 形,可见进展相当緩慢。以后,数学家们把费马大定理中 xp如z(x>1,>1,z>1), (21) P亻x}z叫做费马大定理第一情形,把pz叫做费马大P.爱尔特希曾猜想它无整数解。1940年柯召证明了在 定理第一情形。用初等方法可以证明当2p+1,4p+1,(x,3)-1时,这一猜想是成立的。同时给出在(x,y)>1 8p+1,10p+1,14p+1,16p+1之一为素数时,費马大定时含有一个参数的偶数解。是否存在一组奇数解?迄今 理第一情形成立,由此可推出P<100时,第一情形成立。尚未解决。另外,C.安德森猜想不定方程 1847年,EE.庠默尔对于費马大定理作出了突破性的工 (22) 。设n=e2P,h是分圆城Q(n)的类数,当ph时,p没有x>1,>1,z>1的解。1964年柯召和孙琦给出了