方程(22)的无穷多组非平凡解,从而否定了这一猜想。腰了关于向量场奇点指数和等于流形的欧拉数的庞加 参考书目 莱-霍普夫定理,把它进一步推广到泛函空间而得的勒 L.J. Mordell. Dio phantine Equations,, Acadernic Press,雷-绍德尔参数延拓原理,早已成为偏微分方程理论的标 New York, 1969 柯召、孙琦;谈谈不定方程,上海教育出版社,上海,1980。 准的工具。 L.E. Dickson, History of the Theory of Number, Vo1.2 J.尼尔斯1927年发现,一个映射∫的全体不动点可 以自然地分成若干个不动点类,每类中诸不动点的指 P. Ribenboim,13 Lectures on Ferma' s Last Theoren,和都是同伦不变量。指数和不为0的不动点类的个数 Springer-Verlag, New York, 1980 竹召孙琦) 称为这映射的尼尔斯数N(f)。只要X是维数大于2的流 恰是与∫同伦的映射的最少不动点数。这就提 budongo n Eun 不动点理论( ixed point theory)关于方程种方法。 供了研究方程的解的实际个数(而不只是代数个数)的 的一神一般理论。数学里到处要解方程,诸如代数方程、 莱夫谢茨定理的一个重要发展是关于微分流形上椭 函数方程、微分方程等等,种类繁多,形式各异。但是它圆型算子与椭圆型复形的阿蒂亚-辛格指标定理与阿蓓 们常能改写成fx)=x的形状,这里x是某个适当的空亚-博特不动点定理。 间x中的点,∫是从X到X的一个映射或运动,把每一点 不动点的计算上述各种不动点定理,除压缩映射 x移到点f(x)。方程f(x)一x的解恰好就是在∫这个运原理外,都未给出不动点的其体求法。由于应用上的需 动之下被留在原地不动的点,故称不动点。于是,解方程要,不动点算法的研究正在蓬勃发展,以求把拓扑的思路 的冋题就化成了找不动点这个几何问题。不动点理论研落实为快速、实用的计算方法 究不动点的有无、个数、性质与求法。研究方法主要是拓 参考书目 扑的和泛函分析的(见非线性算子)。 江泽涵著:《不动点类理论*科学出版社,北京,1979 常见的不动点定理压缩映射原理C.E皮卡 V.I. Istratescu, Fixed Point Theory, un Introduction 1890)S.巴拿赫(1922):设X是一个完备的度量空间, D. Reidel Pub. Co., Dordrecht. 1987 射∫:X→>x把每两点的距窝至少压缩λ倍,即d(∫(x) B. Jiang, Lectures 'on Nielsen Fixed Point Theory, Amer. Math. Soc., Providence, 1983 ∫B)≤xd(x,3),这里λ是一个小于1的常数,那么f必 M.J. Todd, The Com Putation of Fixed Points and 有而且只有一个不动点而且从x的任何点x出发作出4 ppficafions,, Springer- verlag. New York,1976 序列x=fx)x2-jx),…,x∫(x,),…,这序列一 (姜伯) 定收敛到那个不动点。这条定理是许多种方程的解的存 budongdian suona 受,这定理已被推广到非扩展映射概率度量空间映射固定点算法。所谓不动点,是指将一个给定的区城A,经 集值映射等许多方面。 某种变换∫x),映射到A时,使得x=f(x)成立的那种 布劳威尔不动点定理(1910);设X是吹氏空间中的点。最早出现的不动点定理是布劳臧尔定理(1912)设 紧凸集,那么ⅹ到自身的每个连续映射都至少有一个不A为E中的一紧致凸集,∫为将A映射到A的一连续函 动点。用这定理可以证明代数基本定理:复系数的代数数,则在A中至少存在一点x使得xfx)。其后,角 方程一定有复数解。把布劳威尔定理中的欧氏空间换成谷静夫于1941年将此定理推广到点到集映射上去。设 巴拿赫空间,就是绍德尔不动点定理(1930),常用于偏微对每一x∈A,fx)为A的一子集。若f(x)具有性质:对 分方程理论这些定理可以从单值映射推广到集值映射 A上的任一收敛序列x→x若∈fx且>,则有 除礅分方程理论外还常用于对策论和数理经济 y∈f(xu),如此的∫x)称为在A上半连续。角谷静夫定 不动点指数不动点的个数有两种数法。代数上通理,设A为中的一紧致凸集,对于任何x∈A.若∫(x) 常说幄次复多项式有η个复根,是把一个k重根算作k为A的一非空凸集,且∫x)在A上为上半连续,则必存在 个根的;如果不把重数统计在内,根的个数就可以小于"。x"∈A,使x“∈f(x)。JP.绍德尔和J勒雷又将布劳 推广根的重数概念,可以定义不动点的指数,它是一个整威尔定理推广到巴拿赫空间 数,可正可负可零,取决于映射在不动点附近的局部几何 不动点定理在代数方程、微分方程、积分方程、数理 性质。一个映射的所有不动点的指数的总和称为这映射经济学等学科中皆有广泛的应用。例如,关于代数方程 的不动点代数个数,以别于不动点的实跡个数。莱夫谢的基本定理,要证明fx)=0必有一根,只须证明在适当 茨不动点定理,设x是紧多面体,∫:X→X是映射,那大的圆|x≤配内函数∫x)+x有一不动点即可在运筹 么∫的不动点代数个数等于」的菜夫谢茨数Lf),它是学中不动点定理的用迹至少有二x一为对策论中用来证 一个容易计算的同伦不变量,可以利用同调群以简单的明非合作对策的平衡点的存在和求出平衡点,一为数学 公式写出。当玩∫≠0时,与∫同伦的每个映射都至少规划中用来寻求数学规划的最优解。对于一个给定的凸 有一个不动点。这个定理既发展了布劳威尔定理,也发规划问题:min(x)lgx)≤0,1,2,…卅,在
此,和9;…皆为B中的凸函数。通过适当定支。在某种标准下计算难度相同的集合形成这种标准下 义一个函数甲,可以证明:若上述问题的可行区域非空,的一个度。递归论中研究得比较多的两种度是m度与图 则中的不动点即为该问题的解。 灵度。 在1964年以前,所有不动点定理的证明都是存在性 设A与B是两个非负整数的子集,假若存在递归函 的证明,即只证明有此种点存在。1964年,C.E.莱姆基数∫使得 和JJ豪森对双矩阵对策的平衡点提出了一个构 x):x∈A+f(x)∈B 造性证明。1967年,H斯卡大将此证法应用到数学规则称A可m归约于B并记为 划中去。其后,不动点定理的构造性证明有了大的发展 A≤B。 和改进 如果A可m归约于B,就把判定x是否属于A的问题化 H斯卡夫的证明是基于一种所谓本原集,后来的各归为判定∫(x)是否属于B的问题,因为∫是可计算函 种发展皆基于某种意义下的三角剖分。现以n维单纯形数,所以关于A的判定 S为例来说明这一概念,在此,S-{∈容 计算问题不难于B,而 且若B是可计算的则A x>0,-1,2…n+1}。对每一,将区间0≤x≤1依也是可计算的。如 ..i 次分为m1,m2,…等分,m<m<…,m→∞是给A≤nB且B≤mA,则称 定的一列正整数。对于固定的,过分点 A与B是m等价的并记 为A≡mB,类fB:B= A}被称为A的m度。假 图1辦归约 飞m依次作平行于x一0的平面。这些平面将S分若B是递归可妆举集且任何递归可枚举集A都可m归 成若干同样大小的n维三角形。它们的全体作成的集约于B,则称B是m完备的。关于图灵机停机问题的集 G4称为S的一三角剖分。设fx为例→S的一连续合K={x:g(x)↓}就是一个m完备檠。 函数,x=(x,x,…,x+1),fx)=〔∫(x),』(x),… 设B的补集为B,要判定元素x在不在B中,只要判 j(x))。定义C-{x∈ SIfa)≤x}。由f(x)和x定x在不在B山就可以了,因此直观上B应该可归约于 皆在8上,若有x"∈7c,则显然有∫(x)x,即xB但是上面给出的m归约办不到这一点例如,K不可 为∫x)的一不动点。 m归约于K。因此需要有新的更一般的归约标准,图灵 对每一点∈S赋与标号I(g)=kmin{y∈C 归约是其中最重要的一个。 且3>0}。由著名的施佩纳引理,在G4中必存在一三角 称“A图灵归约于B”(或“A递归于B,或“A相对于 形4它的n+1个顶点到k》的标号分别为k(k=1 B可计算”)是指:有 2,…,n+1)于是可得一列正数∞),使得线k) 出个算法T,当输入非负 →梦k=1,2,…n+1。根据σ的作法当∞时,一 整数x时,依据该算法 进行的计算过程中,可 收敛成一个点x。故=x,k=1,2,…,n+1。因 以随时向外息源询 y(k)的标号为k故∈Ck因而x∈∩C即x为所 是否属于B”这样的问 图2团灵归约 求的不动点。因此,求∫x):》→S的不动点问题就化 题,并根据外息源的回 为求i=1,2,…)的问题。为了计算上的效果除了上答来决定下一步计算怎样进行,直到给出x是否属于 述的标号法之外,还有标准整数标号法、向量标号法等 4时为止。 等。关于如何求有变维算 明治法、同伦算法、 用“A≤B”表示“A图灵归约于B",用“A=rB”表 变维重始法等等,通过适当定义,可将上之S改为R或示“A≤B且B≤A”记dgA)=B:Br4}并称其 R中之一凸集。求一凸函数在一凸集上的极值问题也可.为A的图灵度。若A≤rB则记作deg(A)≤egB。若 化为求不动点问题。一般说来,这条途径适用于维数不deg(4)≤degB)但B≠rA则记作egA)<deg)。若 高但问题中出现的函数较为复杂的情况。 ArB且B丰A则称degA)与deg(B)为不可比度。若 参者书目 B是递归可枚举集且对任何递归可枚举集A都有A≤B A.J. Talman, Variable Dimmension Fixed Point相lg.则称B是(图灵)完备集。K与K是完备集。 thms and Triangulations, Mathematisch Centrum, Amster. 切递归集形成一个度,用0表示递归集的度。因 dam.1980 为任何集B与递归集A有关系A≤B,所以对任何度 (越民又义) 都有自≤《,即0是最小的度。用0表示完备集K的度 bukejledu 显然任何完备集都在度0中。因为K不是递归集,故有 不可解度( degrees of unsolvability)从比0<0。用[0,0·表示度类{:0≤≤°} 较计算难易程度出发来研究自然数子集分类的递归论分 一个度中若有一个递归可枚举集,则称这个度为递
归可枚举度。因为自是完备集的度,所以对任何递归可但只是近似地适合定解条件的所谓近似解,或近似地满 枚举度都有0≤a≤0是否有递归可枚举度a使0<“足方程的近似解。当然,这些近似解一般是没有唯一性 0′呢?这个问题是递归论屮有名的波斯特问题。1956 的,但是若对近似解所在的函数类加以适当的限制,例如 1957年,A.八.穆切尼克与R.M.弗里德贝格创造了有紧性的限制,便可以保证近似解对数据的连续依賴性 穷损害方法证明了在[0,0]中有两个互不可比的递归可 在求问題数值解时,须明确在什么度量下对近似解 枚举度,从而肯定地解决了波斯特问题 加以紧性限制,使问题变为适定,且切合实际的需要 称集合{x:(x)↓为集合A的跃变,把A的跃变记 来文责 为A度一(A)的跃变度记为m'=deg(A')。度 bushiding wenti shuzh! jiefa 的跃变度是0。对于任何递归可枚举度a,它的跃变度不适定问题数值解法( numerical met hod for a'满足’≤a≤0",若有0=a则称递归可枚举度a为 improperly posed problems)如果某个数学间 低度,若有0”~a则称a为高度 題的解对定解数据的扰动极敏感,即不是连续地依賴于 存托度a使個<α<0且对任何度b若b≠0则b≮定解数据,则称该问题是不适定的。 a,这样的度a叫极小度。不存在非的递归可枚举度是 在较长一段时间内,不适定问题被认为没有物理背 极小度。[0,0的基数与实数区间[0,11的基数相同,景,因而没有引起足够的重视。最近几十年来,提出了不 [0,0’也存在类似的欄密性质。[0,·是上半格但不是少具有实际意义的不适定问题,其数学理论和近似数值 格,每一个可数分配格都可嵌入[0,0]中。存在一对非解法的研究也得到莲勃的发展 0的递归可枚举度,它们的最大下界是0;不存在一对非 典型的不适定问题有;第一类算子(积分)方程、拉 0的递归可枚举度,它们的最大下界是0而最小上界则普拉斯方程的初值问颋、热传导方程逆时向的初值问题 是自 波动方程的狄利克雷问题、求解微分方程系数的反问题 硏究在L00]上的偏序性质特別是代数结构性质是等等。 不可解度理论的重要内容, (李祥) 不适定问题可以看为极度病态的问题。在η维欧氏 空间中考察线性方程A=f,其中A是线性算子。设AA bushIng wentI 的特征值为1=X≥A2≥…≥入≥0。若A非奇异,则 不适定问题(il- posed problem)在经典的>0,方程有唯一解。但若λn很小,则此方程的条件数 数学物理中,人们只研究适定问题。适定冋题是指满足(1/n)2很大,方程是病态的。现在在可分的希氏空间 下列三个要求的问题:①解是存在的②解是唯一的,H中讨论这个方程。若λ>0,且当n→∞时,2n0,则 ⑧解连续依赖于定解条件。这三个要求中,只要有一个上述方程就是第一类算子方程 不满足,则称之为不适定问题。特别,如果条件③不满 设{为AA的特征元素组成的完备基,则成立 足,那么就称为阿达马意义下的不适定问題。一般地说不展开式A咐Σ,,其中以(A弩,,)。此时方程 适定问题,常常是指阿达马意义下的不适定问题 A“Aa=A"f的形式解为: 不适定问题的最典型的例子是拉普拉斯方程的柯西 A-=空(a,/A)eΣ(A”,e2)/]e 问趣: 设F=2(A,)2<叫,可知A-·仅定义在F 上·亦即仅当∫∈F时,方程才存在解u=A- 如果已知定解数据∫的近似值为f,则可能feF, 此时A无意义,即方程无解。即使f∈F,此时虽礻 其数据ax)和〔x)作微小的变动,往往使解产生很在s=A'fa但由于A-1无界,l-=A-"「-f) 大的变化。其他的一些不造定问题有:第一种弗雷德霍也不能通过b-一∫。‖加以佔计。所以,直接求解 姆积分方程,反向热导方程的边值问题波动方程的狄利Ax-f不能得到有任何确保楷度的近似解。这就是求 克雷问题和不少微分方程的反问题,等等。 解不适定问题的困难所在。 在一段时间里,人们认为不适定问题不反映任何物 为了求得兵有一定精度的近似解,E经提出丁许多 理现象,而无研究价值。随着生产和科学技术的发展,各有效的解法。20世纪60年代,苏联数学家A.H吉洪诺 续介质力学、自动控制、大气物理、全息照相、天体力学、的对称算子,D〔R)在H中处处稠密,且存在常数c>0,对 热力学、电磁学热扩散理论、电子聚焦问题等。上述的任意的v∈D(R),成立配,)≥e(U,m)>0(在一般情 拉普拉斯方程的柯西问题、波动方程对非空向(non 况下,要求R非负,且除了H的一个有限维子空间外土 space-like)初始流形的初值问题,在地球物運勘探的资式成立郾可)。将满足 料解释和数据处理中,皆共有重要的应用 H于这些问题的数据常常是通过测量给出的近似 (Rus. 1) min (Ro,v) 值,问题通常没有精确解。因此’人们就去寻找满足方程的极值点點作为对应于近似数据fs的近似解。上述条
件极值点龆也是下列无约束极值问题 应用。而几十年后,从20世纪30年代开始,逐步开拓了 m32,A-f2+a(R,)} 它的应用,在理论和实践中都发挥了很大的作用, 张锦文 的解,其中a(8)是拉格朗日乘子。由变分原理即得 Bu’ er doishu (A*A+aR)ua "A*fa 布尔代数( Boolean algebra)首先是G本尔 由于A*A+cR是对称正定算子,((A“A+a),)为了硏究思维规律(逻辑学、数理逻辑)于1847年和1854 →ac(U,),所以其逆存在,=(A*A+R)·Afa。可以年提出的。它作为一种特殊的格则是R.戴枯金之后的 事情。所谓一个布尔代数,是指一个有序的四元组 正则法的实质在于,对原不适定间题中的算子附邡B,V,∧,*》,其中B是一个非空的集合,V与∧是定 一个适当的小扰动项aE,使之正则化(稳定化),即带有义在B上的两个二元运算,是定义在B土的一个一元 扰动项的问颗是适定的。在不适定问题的许多有效解法运算,并且它们满足以下条件:A1.aVb=bVa,a∧b 中,都以某种方式体现了这种正则化思想 b∧a;A2.(aVb)Vc=aV(bVc),(a∧b)∧c=a∧(b∧ 参考书目 c);A3.(a∧bVb=b,(aVb)∧b=b;A4.a∧(bV A.H.Txxo旧mB.且. Apers里, Memodw pee舞unc)=(a∧b)V<a∧c,ay(b∧c)=(aVb)A(avc);A5 NeKoppexmNN jadav,"HayEa", MocKBB, 1979. R. Lattes and J.-L- Lions. M thode de Quasi-reversib (a∧a#)Vb=b,〔a√a”)∧b=b,对于任意的a、b、c∈B Lite, ef Applications, Dunod, Paris, 1967. 均成立。或者,布尔代数定义为具有最大元和最小元的 〈张关泉) 有余(有补)的分配格 设B2={0,卦是由两个元素0与I所组成的集 布尔,G.〔 George Boole1815~1864)英国它的两个二元运算和一个一元运算定义如下:0√0=0, 数理逻辑学家,逻辑代数的创始人。1815年11月2日生0V1=1V0=1V1=1;0∧0=0∧1=1∧0=0,1∧1=1; 于英格兰的林肯,1864年12月8日卒于爱尔兰的科克 可以验证,B是一个布尔代数 出身于手工业者家庭,通过自 设B={1,2,3,5,6,10,15,30}是30的正因子的集 学掌握了数学。他运用代数方 合。規定∨是取它们的最小公倍数,∧是取它们的最大 法硏究逻辑学,1844年发表了 公因数,是:1*-30,2.=15,3=10,5=6,65 著名的论文《关于分析中的一 10*=3,15*∞2,30=1,容易验证B对于所定义的运 个普遍方法》,1849年受聘为爱 算成为一布尔代数。 尔兰科克皇后学院教授,并被 如果一个环R=<配,,“>具有单位元1,并且对任 选为英国皇家学会成员。1847 意的a∈R,有a2-a,那么配称为布尔环。令配是布尔 年出版专著《逻辑的数学分 环,若定义aVb=a+b+ab,a∧ 析》,1854年出版了《思维規律 在所定义的运算下成为一个布尔代数。 的研究》 设配是由所有的实数组成的集合。由单元集和区 布尔用数学方法研究逻辑冋题,成功地建立了第 的有限并所组成的集合B,在集合的并(U)、交(∩) 个逻轩演算。他用等式表示判断,把推理看作等式的变(C)运算之下是一个布尔代数。所谓单元集,是指仅 换。这种变换的有效性不依赖人们对符号的解释,只依赖 个实数所组成的集合。区间可以是有界的或无界的,闭 于符号的组合规律。这一逻辑理论,既叮以进行公式推的或开的或半开(闭)的。 演,又可以对命题取作数值;例如,可以把真命题取作1 令X是一个固定的集合。X的所有子集组成的集合 值,假命题取作0值,由此复杂的命题仅作数值计算就可称为X的幂集,记为Px)={|SsⅪ}。设B是P(x)的 以求得它为真值还是假值了。这样,把已给的公式中出现子集,并且{,}写BPx)。如果B在集合论的并 的符号的逻辑解释放在一边,把它转变为表示数量的符(U)、交(∩)余(C)有限次运算下是封闭的,那么这样 号,但只能取0或1,对它实现求解的一切必狐的步骤;最的B在把有限次并、交、余作为V、∧、,运算时,是一个 后再还给它以逻辑的解释。这一理论在布尔之后虽然也布尔代数。这种布尔代数,常常称为集域〔集场)。特殊 有些改进,但它的基木轮廓是布尔建立起来的,因此,人地,取B=B2={,Ⅺ,B=P(X),B={S∈PX)S为有 们常称它为布尔代数。20世纪30年代,逻辑代数在电路限集或有限集的余集}, 均为集域。当X={a:,况2 系统上获得应用,随后,由于电子技术与计算机的发展,…,an}是有限集时,则P(X)={S|SsX}={41,a42 出现各种复杂的大系统,它旬的变换规律也遵守布尔所 ,a4A}1,i…,是1,2…,n中取k个的组合,0≤ 揭示的规律。因此,布尔代数的应用日益广泛,它的内 k≤n}=2x-27也是一个集域。它是由有限个元素所组 日益普及。 成的布尔代数(有限布尔代数) 在19世纪中叶,布尔研究人类思维活动所揭示的规 令<X,E是一个拓扑空间,τ是X上的一个拓扑 律,当时既无明显的实际背景,也不可能考虑到它的实际B一{SsxS既是开集,同时又是闭集}在集含论的并
交、余运算下B是一个布尔代数,并称之为闭开代数。若 Bulang yundong 取B={≤XS的边界是无处稠密的,则此时B也是一布朗运动( Brownian motion)又称维纳过程 个布尔代数 1827年,英国植物学家R.布朗观察到悬浮在液体中的微 令〈X,矿>是一个拓扑空间,x的子集S是正规的闭粒子作不规则的运动,这种运动的数学抽象,就叫做布 集,当且仅当S的内部的闭包等于S,即S-()若B→朗运动(如图)。1905年,A.爱因斯坦求出了粒子的转移 {S≤XS是正规的闭集},二元运算是指集合的并运密度。1923年,美 算,二元运算∧是指经集合的交运算后再取其内部的闭国数学家N.维 包,即SAT-(Sny),S、T∈B。一元运算“是指经从数学上严格地定 集合的余运算后再取闭包,即S*-(x-5),则B是一个义了一个随机过程 布尔代数,也称为拓扑空间<X,r的正规闭集代数。类来描述布朗运动 似地,当取B{SsX|是正规的开集}。所谓正规的开布朗运动的起因是 集S,是指S=(S)°。再定义运算:SVT(SUT)°,由于液体的所有分 s)=x-3,则此时B也是 子都处在运动中, 布尔代数,也称为正规开集代数。 且相互碰撞,从而 在视率论中,设B=(S|S是随机事件},即所有随机粒子周围有大量分 事件的全体。不可能事件及必然事件均视作随机事件 子以微小但起伏不 这样的B在逻联结词"或”(可得兼的“或”、与”、“否定的力共同作用子 定”运算之下是一个布尔代数。 它,使它被迫作不 在数理逻辑中,基于二值逻辑的一个形式理论的所规则运动。若以 有公式,在逻辑联结词“析取”、“合取”、“否定”运算下,是X()表示粒子在时 个布尔代数,也称之为林登鲍姆-塔尔斯基代数 刻t所处位置的 布尔代数到了20世纪30~40年代才又有了新的进个坐标,如果液体 展,大约在1935年,M.H斯通首先指出布尔代数与环是均匀的,自然设 之间有明确的联系,他还得到了现在所谓的斯通表示定 想自时间t到t的位移X(t2)-K(t)是许多几乎独立的 理:任意一个布尔代数一定同构于某个集上的一个集域;小位移之和,因而根据中心极限定理,可以合理地假定 任意一个布尔代数也一定同构于某个拓扑空间的闭开代x(t)-x(t)遵从正态分布,而且对任何°而< 数等,这使布尔代数在理论上有了一定的发展。布尔代<,增量x(t)-X(t)……X(t)-x(t-),可设想为 数在代数学(代数结构)、逻辑演算、集合论、拓扑空相互独立·物理上的这些考虑引导到下面的数学定义。 理论、测度论、概率论、泛函分析等数学分支中均有应用 设X={X(),t∈}为定义在概率空间(9,S,P) 1967年后,在数理逻辑的分支之一的公理化集合论以及(见率)上,取值于d维实空间恐中的随机过程,若满 模型论的理论研究中也起着一定的作用。 足①X(0)-0;@独立增量性:对任意的0≤t<t< 近几十年来,布尔代数在自动化技术、电子计算机的 t。,X(t),X(t1)一X(t)…,K(t)一X(t:)是相互独 逻辑设计等等工程技术领域中有重要的应用 立的随机变量;③对任意s≥0,>0,增量X(s+) 例如,在逻辑设计中,要考虑取值于B中的元素的 X(s)服从密度为p(,x)=(2x)exp 布尔变元x1x2*…,x,以及函数值也在B内的n个 布尔变元的布尔函数fx,x…x)。令x=1一x 正态分布,式中x(x,…,x)∈B,11(总x) x-1,xv扩=max{x,y},x∧g-min{x,y},于是任 一布尔函数可表示成如下的形式:fx,x 表示x到原点的距离④X的一切样本函数连续。这样 Yg*AA…∧动)或A(Vxy…V) 的X称为(数学上的)布朗运动或维纳过程 纳的一个重要结果,是证明了满足①⑩的过程 x=x)。这种形式称为∫的(完全的)析取范式(或完的存在性。这样的过程X是独立增量过程,因而是马尔 全的合取范式)根据设计要求可先列出真值表(f的列表可夫过程,而且还是鞅和正态过程(见隨机过程)。其均 表示)由真值表写出f的析取范式〔或合取范式)。化筒值函数是一个各分量恒等于零的d维向量函数:Ex(t 布尔函数的表达形式在实际应用中是特别重要的,因为0其协方差阵函数(见矩)EX(#X(s)一(∧I,其中 根据最简表达形式进行设计,不仅在功能(实际效果)上a是d阶单位方阵,s八t表示s、t中小的一个,X)’是 是等效的,而且更有意义的是这种设计简单、经济、可靠,随机向量Xx)的转置 因而寿命也长。化简的方法,大体上从20世纪50年代 一维布朗运动的性质中有特色的是其样本函数(见 开始有所谓卡诺图的方法,奎因-麦克鲁斯基方法等等 随机过程)的性状。虽然x的所有样本函数处处连续,但 杨安洌) 几乎所有(即概率为1)的样本函数:①处处不可微分