成两部分,的微分D在其中一部分上的作用是压编而这一理论推导出的结果与实验事实吻合。1963年,冠r 在另一部分上的作用是扩张。继正B.阿诺索夫1963年西奈依从数学理论上也证明了统计力学中重要的刚球气 的开创性 后,数学家们证明了:在整个流形上有体模型确实具有遍历性,而辛钦早年的一项研究也指出: 双曲结构的系统(阿诺素夫系统)是遍历的,随后,S.斯当系统的自由度无限增大时,遍历的可舵性也就越来越 梅尔、R.鲍恩和D吕埃尔将这方面的研究推广到更为 增 严绍宗张筑生胡虎翼) 般的公理A系统(周期点在非游荡集中稠密并且非游荡 集具有双曲结构的系统)。他们证明了:公理A系统的非 blngxing suona 游荡集O可以分解成有限多块Q1,D2,…,D系统限制并行算法( parallel algorith)造用于并行 在每一块上都县有遍历性。在这样的分解中必定存在某计算机的数值算法。计算机传统结构的显著恃征是单指 岦块Ω使得邻近的轨道都趋于该块。这样的块称为吸令流单数据流,即每“-时刻按一条指令处理一个数据。通 引子。公理Δ系统是一种耗散系统·吸引子上的适当的常的数值算法适十此类计算机,可称串行算法。20世纪 不变测度表示这一系统的平衡态 60年代开始发展含大量处理机的并行计算机,它分单指 微分动力系统中相当多的运动趋于吸引子。除去不令流多数据流与多指令流多数据流两类,每一时刻分别 动点、周期轨道、不变环面这些平凡的吸引子外,还有所按一条或多条指令处理多个数据。并行计算机的出现促 奇异吸引子。这种吸引子一方面吸引外部的点向它靠使了适应其并行这个特点的并行算法的发展。 扰,马一方面其内部的点又互相排压、互相离开。由于运 并行算法依赖-个简单事实:独立的计算可同时执 动的区域有限,在奇异吸引子的范围之内势必产生许多行所谓独立计算是指其每个结果元只出现一次的计算。 折疊、孔洞,使运动呈现复岽、纷繁、混乱的图景。这种运例如Aa=1a2…a中7个乘法不能同时执行,但可分 动对初始条件非常敏感,最初的微小差异可导致后来轨成三个独立计算组 道的巨大区别,因而运动表现出某种随机性。这种运动 第一组 的另一特点是自楣似性,即运动的某些局部会具体而微 第二组(1吗)·(a),(a)(aa) 地不断呈现缩小了的整个运动的图景。这一类运动被称 第三组[(a1a2)(四)]·[(43)四·a)]=A 为混沌,是近年来引起广泛兴趣的研究课题 如每组的运算并行执行,讨算A3,只须三步(乘法),其步 关于微分动力系统的遍历性质的某些进-步的研骤可用图中的双权计算树表示。推广此例,得到由满足 究,涉及双曲性概念的某种推广。廖山涛于1963年和B.结合律的任一运算“·形成的表达式An=41°a…an的 ∏·奧谢例杰茨于1965年的工作在微分动力系统的研最优并行算法,称为结合扇入箅法。此箅法提供了建立 究中引入丁李亚苦诺夫指数的概念。利用这一概念可以并行算法的一种普遍原则:反复将每一计算分裂成具有 定义非一致双曲性,即在平均意义下的双曲性。奥塞列同等复杂性的两个独立部份,称为递推倍增法 杰获证明了与这一概念相关联的葉法遍历定理。70年代、漂刚时 中期,E.佩辛对非一致双曲槃的遍历性进行了入的研 究,得到了与公理A系统的有关研究相类似的结果。此 外,为丁深入了解运动的复杂性,人们还探索熵、李亚音 诺夫指数、豪斯多夫维数等量的相互关系,探索在怎样的 条件下会出现符号动力系统,在这方面也取得了值得重 视的结果 在遍历理论的数学研究不断深入的过程中,这一理 论的最初目标(证明各种县体的哈密顿力学系统的遍厉 性)始终仍然是人有最重视的问题之一。有一类哈密顿 研究表明,大量数值问题可获得有效的并行算法 系统称为可积系统,这种系统的能量面分解成一些不变个算法是否有效主要看加速 环面,每一轨道在所属的环面上运动。这样的系统不能 在整个能量而上具有遍历性。原来人们以为这种情形或 已知有霪x楼数路黎票x 许是少数例外,或许经过小扰动之后就会消失。从50年代及所需的处理机个数P的大小。并行算法的复杂性正是 到60年代,柯尔莫哥洛夫,BH阿诺尔德和JK.莫泽对通过参数T、S和P来描述的。向量运算具有内在并行 这一惰形进行了深入的研究。他们得到的KAM定理(见性(包含大量独立计算),因而首先是在数值线代数方面 哈害顿系统)指出:上述状况经过小扰动并不会消失,大并行算法特别富有成果 部分不变环面仍然存在…只是形状稍有改变这一意义重 串行算法与并行算法存在固有差别。有效串行算法 大的定理表明,遍历的力学系统并不象人们原来想象的一般不能直接变换为并行算法,而且两者在数值性态方 那么多。虽然如此,人们并不因此对遍历性的统计物理面《例如数值稳定性及迭代算法的收皱速度)可以彼此大 应用持怀疑态度,因为至少对于一些重要的情形来说从不相同
blngtot Juzhen Bo’ erchanuo 病态矩阵(l1- conditioned matrix)求解波尔查诺,B.( Bernard Bolzano1781~1848) 方程组时对数据的小扰动很敏感的矩阵。解线性方程组捷克数学家、哲学家。17810月5日生于布拉格,1848 Ax=b时,若对于系数矩阵A及右端项b的小扰动A、 年12月18日卒于布拉格。1796 bb,方程组(4+8A)元=b+b的解x与原方程组Ax=b 年入布拉格大学哲学院攻读哲 的解差别很大,则称矩阵A为病态矩阵。方程组的近似解 物理学和数学,1800年又 一般都不可能恰好使剩余-A为零,这时买亦 神学院,1805年任该校宗教 可看作小扰动问题A元=b一r即bA=0,b=-r)的解 哲学教投。1815年成为被希米 所以当A为病态时,即使剩余很小,仍可能得到一个与真 亚皇家学会的会员,1818年任 解相差很大的近似解。例如,取 该枝哲学院院长。1819年因为 (0.21。.141) 宗教斗争失去教授及院长职 0.1440 位,并且受到政治监督,直到 当以一(0.9911,-04870)作为近似解时,剩余r +10-,-10-")已很小,但妥与真解x(2,-2)仍 波尔查诺的主要数学成就涉及分析学的基础河题。 相差很远 他在《纯粹分析的证明》1817)中对函数性质进行了仔细 判定矩阵是否病态以及衡量矩阵的病态程度通常是分析,在A.柯西之前首次给出了连续性和导数的恰 看数值K(A)=A-l‖A的大小,其中A-为矩阵A当的定义;对序列和级数的收做性提出了正确的概念;首 的逆,i‖表示对矩阵取某一种范数。K(A)称为A的条件次运用与实数理论有关的原理,如果性质M不是对变量 数,它很大时,称A为病态,否则称良态;K(A)愈大,A的c所有的值成立,而对小于某个t的所有x的值成立,则 病态程度就愈严重。 必存在一个量U,它是使M不成立的所有(非空)x集的 对小扰动问题(A+bA)一b+b与原问题Ax=b的最大下界。在1834年撰写但未完成的著作《函数论》中, 解有估计式 他正确地理解了连续性和可微性之间的区别,在数学史 KCA) b目 上首次给出了在任何点都没有有限导数的连续函数的例 1-K(A) A『+b 子(用曲线表示的函数,没有解析表达式)。 波尔查诺对建立无穷集合理论也有重要见解,在《无 对矩阵求逆亦有估计式 穷的悖论》(1851)中,他坚持了实无穷集合的存在性,强 A+bA)-1一A-1 K(A) 调了两个集合的等价概念(即两集合元素间存在一一对 1一K(A)Al 应)注意到无穷集合的真子集可以冏整个集合等价。 由于被尔查诺的著作在很长的时间内没有引起人们 从上估计式可以看出条件数对解方程组及矩阵求逆的的注意,因此对当时数学的发展影响甚微。 影响 欧阳絆) 希尔伯特矩阵是一类著名的病态矩阵,其定义为Bo’ eryue H=(av) 波尔約,八( Janos bolyai1802~1860)匈 式中 牙利数学家,非欧几里锊几何学的创始人之一。1802年 ,j=1,2,…,n) 12月15日生于科洛斯堡(现罗 马尼亚克卢日)。1860年I月 由于H对称正定,当取叫为欧氏范数时,K(H)即为27日病逝于毛罗什瓦萨尔海伊 H的最大与最小特征值之比。对n=7,8910有 (现为罗马尼亚的特尔古穆列 K(H1)=4.75×10°, 什)。他的父亲、数学家F波 K(H)=1.53×10 尔约是℃.F高斯的好友。在 父亲的指导下,他少年时就学 习了微积分和分析力学等高深 当n较大时,有近似表达式K(H)~e在一合相当于课程,喜好数学和音乐。1818 10位十进制字长的计算机上对希尔伯特矩阵求逆或解年入维也纳息家工程学院接受 方程组时,如n≥8,则所得解答连一位准确数字都没有。军事教育,1822年毕业后在军队服役10年,其间坚持 《何旭初 数学研究,创立了非欧几里得几何。1833年匮病退役 bodong fangcheng 1837年和父亲一起参加题为“虚量的严格几何表示”的数 渡动方程( wave equation)见向型微分学竞妾因方法繁琐而落选。之后除继续探素非欧几何中 的具体问题外,还从事涉及社会改革的写作和音乐创作
波尔约受父亲的影响,曾试图用欧几里得的《几何原大数律的一个特殊情形 本》中的其他公理证明平行公理。1820年左右转而潜心 波菜尔主编了一套晒数论丛书(1898~1952),对函 研究新几何学的构造。1823年在给父亲的信中称:他不数论的苦及有很大影响。他于1921~1927年的一系列 用平行公理而构造了一种几何,“从无到有,我创造出另论文,成为对策论的先驱工作,其中证明了极小极大定理 个全新的世界"。1825年,他给父亲看了他关于绝对的特殊情形。 空间理论的手稿,其中定义的绝对空间具有如下结构:在 (胡作玄 空间的平面,过直线外一点有一束直线不与原直线相 Boerziman fangcheng shuzhi jiefa 交。当这東直线减少为一条时,该空间就是欧几里得空玻耳兹曼方程数值解法( numerical method 间。1831年,F.波尔约将手稿寄给高斯,高斯称道 j. for Boltzmann equations) 玻耳兹曼方程是原 波尔约的工作,但表示不能公开费扬,因为他自己早已子物理、天体物理等领域中的描写粒子(中子、质子、光 得到相同的结果(未发表)波尔约深憾朱去了优先权 子等)运动的基本微分-积分方程。假定粒子在两次碰 1832年,他的论文作为他父亲的一本讨论数学基础的初辙之间作等速直线运动,而在穿过介质的过程中按照一 等著作的附录发表,题为《解释绝对真实的空间科学的附定的概率与其他粒子相碰撤,从而发生偏斜、慢化、被吸 录》。这是他生前唯一发表的著作,但未引起其他数学家收或增殖等现象。由于粒子是大量的,因此可以忽略统 的关注。之后,他继续硏究绝对空间中的三角形和球面计起伏,把它们看成是连续体。求解玻耳兹曼方程,就是 三角形的关系、绝对空间中四面体的体积等问题。被尔要求出在任一时刻,具有不同速度的粒子在空间的分布 约的工作后经E.贝尔特拉米(1868)和F·克蒹因(1871)玻耳茲曼方程数值解法很多,其中以解描述中子输运问 的工作才得到数学界的普遍承认,从而载入史册。 独立地得到非欧几何的还有高斯和H.Ⅵ.罗巴切夫 题的玻耳兹曼方程的数值方法较为典型。 描述非定常中子输运过程的玻耳兹曼方程为 Bolai'er 式中为时间;r、分别为中子的位置和速度向最, 波莱尔,(F.-.-1.-)E,(Felx- douard- vf,为中子速度方向的单位向量;q(r,,t)为中子角通 Justin- Emile borel1871~1956).法国数学家。量分布;a(,r)表示在点处速度为v的中子的宏观总 1871年1月7日生于阿韦龙省圣阿弗里克,1956年2月截面,=(',)fυ→r)d是在r处中子速度由u 3日卒于巴黎。1889年考入巴 黎高等师范学校,1893年毕业:3 转移到初与υd之间的总概率;s是独立中子源。对 后在里尔大学任教。1894年获 于单速各向同性散射一维球对称问题,非定常中子输运 方程为 博土学位。1896年回巴黎高等 师范学校任教。1909年任巴黎 r-On+o(r)p(r,u,t) 大学理学院函数论教授。第一 B() 次世界大战期间,配合他的老 q(r,μ',t)dn+9 朋友、数学家和政治家P,班勒 卫组织为战事服务的科学研 (t>0,0<r<R,-1≤H≤1), 究。战后改仼概率及数学物理 式r为径向坐标;=cos,为向径和速度向量间的夹 角;(r)为总截面;(r)=0(r)c"),cr)为在r处每次碰 学教授。1920年随班勒卫来中国进行学术交流。1921年撞所产生的平均次级中子数。方程(2)的定解条件为 当选为法国科学院院士,此后他积极从事政治、社会活 动,当过市长、地方议员、海军部长,还参加筹建国家科 φ(T,n,0)q"(r,H),φ(E,#,t)=0(≤0), 学研究中心,1928年协助建立庞加莱研究所,并任所长 =0(r=0) 直至去世。 波莱尔把G.康托尔的点集论同目己经严格的古典解 20世纪40年代发展了用于解定常问题的两类主要 分析及几何的训练而形成的知识相结合,建立起一套自 ①球函数法它把中和夕按勒让德多项式P 已的实变函数论最著名的工作是提出有限覆盖定理(即(球谐函数)展开,例如,令 海涅-波菜尔定理)以及把测度从有限区间推广到更大 类点集(即波莱尔可测集)上,建立起测度论基础。同时 品 φm(r,t)Pm(μ) 他还研究整函数以及发散级数。其中《发散级数论》利用勒让德多项式的性质,把方程简化,再取展式的前 1899)获得法国科学院大奖。20世纪初,他把概率论同N+1项,得qo,甲1 q的N+个方程的联立方程 浏度论结合起来,1909年引进可数事件集的概率填补组,然后用差分法求数值解。该法又称为P近似法。 了古典有限概率和几何概率之间的空白。同时证明了强 ②威克昌德拉塞卡离散纵标法筒称WC法。它
(主要针对平板几何问题)是取a的一组固定值P …,ax,对φ(P,1(1,2,…,N)写出方程组。右 积分用數值积分逼近,例如取为勒让德多项式零点的 高斯求积公式,然后用差分法求解。对于各向同性散射 的平板问题,WC法和球谐函数法是等价的 sa方法,该法取-1-m<叫1<…<=1(其中均定解条件离散化为叫-甲(,0 1953年B.G.卡尔森提出了解中子输运方程(2)的 i=1,2,…,1), x-),把[一1,1分成N个区间,在每个区间E,吗 :=,x-+1(j 上假定驴是的线性函数,样取0=r<r<…<r R,假定在每个区间[1,幻上驴也是r的线性函数。将 q”为迭代初值,把S中的φ用前次迭代值代入,则利用 (2)在区域{,-1≤≤T:,#≤具≤上对r和积分, 边界条作,(4)、(5)可显式递推求解,计算步骤按μ从小 然后对时间作隐式向后差分得到差分格式,并适当选取到大的聊序进行。当“<时,利用外边界条件对r从大 插值公式;使差分方程的解满足粒子数守恒的性质。 到小进行计算,当μ>0时,则利用中心对称条件,对T从 卡尔森等人在50年代末进一步提出离散S法,又小到大进行计算 称离散纵标法〔简记DsN法)。这种方法可以比较容易 sx方法和DSN方法是求解玻耳兹曼方程的有效的 地推广到多维情况。它是从守恒方程 数值方法,其主要缺点是计算中可能出现负通量,为了避 免出现负通量有各种修正格式。 Cru中]十 (1 对于定常的玻耳茲曼方程,70年代出现了多种有限 -2∫ 元算法。有通过引进角通量偶次分量,把方程化为自伴形 pp(r, a',t)du+5 (3)式,再构造泛函求极小的有限元算法;也有直接用加廖 出发的,离散分点取为0~a<r<…<r=R 金法〔包括连续的和不连续的方法)和配置法等的有限元 H<…<<1,其中以…以取为勒让德多项式零 算法。 此外,还有许多其他的数值方法,例如村征线法、分 点,取N为偶数,右端积分用高斯积分公式近似。在点裂法和几种方法相结合的混合解法,以及求解积分型输 r,m,却)上建立差分,为此在高斯积分系数叫对应运方程的各种数值方法。而基于概率理论的蒙持卡罗 的子区间上对“近似积分,在(r+1,1)上对r作体积分,在输运计算中也占有重要的地位 对t用中心差分,则得 参着书目 R. D. Richtmyer and K. w. Morton. Difference Method 1 (4"}-4-::) for Initialvalue Problems, 2nd ed. Interscience, New York 1967 (枉明笙) 244-,, Bo’ ension 伯恩斯坦,C.H.( CepreA HataHoBuq BepH .,]+,-p TeiH1880~1968)苏联教学家。1880年3月 6日生于敖德萨,1968年10月26日卒于莫斯科。1899 i=1,2,…,l;j=I,2,…,N), 年毕业于法国巴黎大学,1901年又毕业于巴黎综合工科 式中v4-是以r和为内外半径的球壳的体积,A,学校。1904.1914年先后在巴黎和哈尔科夫两次获得博 是半径为r的球面面积。 士学位。曾在哈尔科夫、列宁格勒和莫斯科等地工作。 1907年成为敦攪。1929年当选为苏联科学院院士。曾 获得许多国家的奖劬和荣誉称号。 在偏微分方程方面,伯恩斯坦以解决希尔伯特第 1-n2)+按递推公式 问题(1904)及试解第20问題(1908)而著称于世,他的 〔1-μ3)+}一(-)-量一2叫(1,2,…N)工作推动了偏微分方程理论的发展。他1912年发表的 《论连续函数借助于具有跖定次数的多项式的最佳逼近》 求出。此外,还要补充关系 的论文,奠定了函数构造论的基础。他还引进了伯恐斯 :-2(叽.,十.)-2(∷ 坦多项式,在多项式遥近理论中其有重要意义。在概率 论方面他最早(1917)提出并发展了概率论的公理化结 构,建立了关于独立随机变量之和的中心极限定理,研究 了非均勻马尔可夫链。 和边界(A=-1)方程 1952~1964年出版了伯恩斯坦文集1~4卷,包括
他在函数构造论、微分方程和概率论等领域的重要著作。最亚要的是雅各布第一伯努利、约翰第一伯努利和丹 孙永生) 尼尔笫一·伯努利。 Bokehuofu 各布第一·伯努利( Jacob Bernoulli)1654年 伯克霍夫,6.D.( George David Birkhoff12月a7日生于瑞士巴塞尔,1705年8月16日卒于同地 1884-~1944)美国数学家。1884年3月21日生于 最初遵从父亲的意见学神学 密执安州上艾瑟。1944年11 当他读了.筍十凡 月12日在马萨诸塞州劍桥去 斯的书后,顿受启发,兴趣转向 世。1905年在哈佛大学毕业, 数学。1676年到荷兰、英国等 后去芝加大学,1907年获博 处,结识当地学者。从1687年 士学位后去威斯康星、普林斯 起直到去世,任巴塞尔大学教 顿的大学任教。1912年去哈佛 搅。他和弟弟约翰第一·伯努利 大学任助理教授,1919年任教 是G.W.莱布尼茨的朋友,他 投,1932年成为珀金斯讲座教 们迅速掌握了莱布尼茨的微积 投。伯克夫作为第二次世界 分并加以发扬光大。雅各布在 大战期间美国数学界公认的领《学艺》上发表一系列的论文,1694年他首次给出直角坐 袖人物,为美国数学的发展作了许多组织工作,在国内外标和极坐标下的曲率半径公式,这也是系统地使用极坐 字有威望。 标的开始。1690年他提出链线问题,后来又改变条件, 伯克雀大轂重要的工作是在动力系统方面。1912年解决了更复杂的悬链问题。1694年的论文讨论∫双汪线 H,庞加莱去世前把限制性三体问题归结为一个几何问的性质,伯努利双纽线因此得名。1695年他提出著名的 题,但除特殊情形外未能证明。伯克霍夫证明了这个庞伯努利方程 加莱最后定理(1913)。他还引进动力系统的运动极小集 d J集等念,证明其存在性,开辟了动力系统硏究的森 P(x)1+Q(e)!r 时代。他的《动力系统》1927)成为这方面的重要著作。雅各布对对数螺线深有研究,他发现对数螺线经过各种 1922年他与O·D.凯洛格合写的《函数空间的不动变换后,结果还是对数螺线。在惊叹这曲线的奇妙之余, 点》-文启发了小P.绍德尔和J.勒雷关于不动点理论遗言要将这曲线刻在墓碑上,并附以颂词:“纵使变化,依 的丁作。1928年又提出的极小极大原理推动了H.M.然故我” 莫尔斯的大范围变分法的产生。1931年他证明了逐点遍 雅各布的巨著《猜度术》1713)的出版,是糾合数学 历性定理,导致遍历理论的产生。他在边值问题、奇异微帆率论史的一件大事,书中给出的伯努利数有很多应 分方程、奇异差分方程等方面有许多工作。他的论文于用。还有伯努利定理,这是大数定律的最早形式。 1950年收案在《G.D.伯克霍夫数学论文集》中 约翰笫一·伯努利《 Johann bernoulli)1667年8 (胡作玄 月6日生于巴塞尔,1748年1月1日卒于同地。最初学 Bonuli jiazu 疾,同莳研习数学,1691年到 伯努利家族( Bernoulli family17~18世纪)巴黎,曾为C.-F.-A.da洛必 又译贝努利家族。17~18世纪瑞士巴塞尔的数学和自然达的私人教师。现今求不定式 科学家的大家族,祖孙三代,出过十多位数学家。原籍比极限的洛必达法则,实出自约 克榻,最后定居在巴塞尔。主要成员的世系如下: 铺线问题1090金3 利时安特卫普,1583年遭受天主教迫害,迁往德国法兰翰。1705年接替其兄雅各布任 尼古拉·伯努利 (t623~1708) 曲线问题ε“一质点受地心引力 雅各布第 努利 的作用,自较高点下滑至较低 (165~1 1667~1 点,不计摩,问沿着什么曲线,时间最短?”问题的难处 尼古拉第-伯努利 在于和普通的极大极小值求法不同,它是要求出一个未 知效(曲线)来满足所给条件。这问题洛必达、莱布尼 获、L.牛顿、雅各布第一·伯努利椰得到了解答。后来引 尼古拉第 翰第二:伯努利起变分法的产生 尾古拉第二·伯努利( Nikolaus Bernoulli)约翰 强1努利雅各和第13努利 第一·伯努利的儿子,13岁入巴塞尔大学,1715取 得法学硕士学位。1725年同其弟弟丹尼尔第一·伯努 30