页)因此交又帽就 最短?设滑落曲线方程为g=9(x),由能量守恒定律和弧 是麦比乌斯带。它 长公式可知所需时间为 除了只有一个边缘 (平环的外圆周)这 T=TLu]=C(1+(y)>/2gy]/dx, (1) 特点外,还有 g的变化范围Y可取为 另一个特点—单 在区间[0,a]上有一阶 侧,即不能用两种 迕续导数的函数y的全 不同的颜色来涂满 体。这一问题第二年就 =、2s(x 两个侧面。因此带D= 由I牛顿 s=、T+r(x)d 交叉帽的球而也是 尼茨、G 单侧的。 G 必达、约翰第一伯努利 带一个交叉粗 和雅各布第一·伯努利 的球面,就是投影 解决了 图1最逮降曲线问题 平面(投影平面就 泛函极值的必要条件和函数极值类似,变分法的 是将单位圆的对径 点粘合而得,见图 图4麦比乌斯带 第一个基本问题是确定极值的必要条件,这些条件完全 以函数的相应必要条件为基础 5由于对径点粘合故阴影部分同胚于有一个洞的球面, 定瑞点阿避圾常见最简单的泛函由积分 而余下鄙分为麦比乌斯带〕;带两个交叉帽的球面,通常 JCv]=IF(x,y(a),y(x))dr 2) 给出,式中F=F(x,P)是一个足够光滑的函数,的变 化范出是区间[,1J上所有有一阶连续导数且在两端点 分别取定值的函数的集合。设驴在3取极小值,任取 一个在a和a取零值的函数q=η(x),老虑在函数y= ya+上J取的值 f(t)=J[yo+tn]=F(x, ya+ty, yo+tn')dx, (3) 图5投彩平面 图G克莱因羝 得到一个一元函数,它在t→0取极小值,于是由费马引 叫做单侧双环面或克莱因瓶(参见图6及彩图播页第34理得 单侧曲面画出来都是要自己和自已相交的 ∫(0)=(F+F,n)dx=0, 沈信) bianfenfa 式中F一ag(x,n,3)等等。(4)式对任意如上的η均 变分法( calculus of variations 研究泛函成立,令 的极值的方法。泛函就是函数的函数,给定一个函数集 合Y,岩对￥中的每一函数按某一确定的规则J有 Fr,n')dr, 确定的实数兀g与之对应,就说在集合Y上给定了一个称它为泛函I引在孙的一阶变分。(4)式无非是说在极 泛函J若泛函J在Y中的孙处取的值J是J在Y中小函数孙处应有 所有的处所取值J驴中的最大(小)的一个,则说Jy ALyo]-(FUn+Fg o')dx=o 是最大〔小)值,称为最大(小)值函数。设Y是Y中在 v附近的函数组成的子集,若Jg是J在Y′上取的 进行分部积分,得 大(小)值,则称J駟是极大(小)值,而称为极大(小) F0 d ∫"(Fg-:e) 值函数。极大〔小)值统称极值,极大值函数和极小值函 变分法基本引理若一个连续函数与足够多的光滑 数统称极值函数。变分法的核心问题就是求泛函的极值函数的乘积的积分得零,则此连续函数必恒等于零。由 函数和相应的极值。 变分法的第一个著名例子是最速降曲线问题,它是 此可得极值函数应满足方程 由约翰第一·伯努利在1696年以挑战的口吻向当时的数 正Fn-Fx(x,g(x),y(x) 学家提出的。设O和P是铅直平面xO内高度不同的两 点,一质点在重力作用下从O点沿一曲线滑落到P点,假 aP(x,(x),(x)=0(8 定无摩擦和其他阻力,问出线呈何形状时其滑落的时间 这一方程称为吹拉方程,是L欧拉在1736年用折
线逼近曲线得到的。在1744年的一本书中,他用这一方 q(x、,z)0, 程解决了大量的泛函的极值问题。这本书标志着变分法而求泛函 作为一个数学分支的诞生。不过这里采用的是J-.拉 格朗日于1755年给出的至今仍然普遍采用的变分方法, F(3,y,2,y,z)de 15) 其基本点是给极值函数以变分泛函孔B相应的变的极值,这时存在函数λ(n)使在极值曲线上和函数 分]η应为零。 (x,z,y,x一F千λ I6) 自由端点问题把相应最速降线问题泛函(1)的欧相应的关于y和z的欧拉方程(8)成立。 拉方程的解用常微分方程的方法解出来得到旋轮线。若 这类条件极值的典型问题是测地线问题。在曲面 参与比较的曲线的端点在直线xma和x口a上,但纵φ(x,,z)=0上求连结两点A(x,,x)和Bx,,z1) 坐标未知,在对变分(5)分部积分时将会有附加项的最短弧r:3=(x),z=x(x),弧长 LF,]絀=0,η在端点aa和a1的值任意,由此知道 Fy(a,(c),y(a)=0 N1+y2+zde, F(a1,3(a1),y'(a)=0 由上述结果可断言测地线上每一点的主法线与曲面的法 3自然仍满足欧拉方程。若曲线的右端点在曲线∫(x,线重合。測地线冋题由约翰第-伯努利在1728年向欢 y)=0上滑动,则在吗1应满足横截条件 拉提出。欧拉当年给出了曲面上测地线微分方程 (F-Fry'): Fx,=f:fy 10) 泛函极值的充分条件使泛函的一阶变分为等的函 这类条件是首先由拉格朗日在1760~1761年的一篇文数或等价地相应欧拉方程(和适当边界条件)的解称为泛 管中得到的。 函的稳定点。泛函的极值点必是稳定点,但反之未必成 条件极值问题若在使与(I)类似的泛函取给定值立,对数值变量的函数就已如此。变分法的第二个基本 KEy]=G(a, y,y)dx=I 冋题是寻找应该加在稳定点上的条件以保託它是极 点,此即极值点的充分条件。在稳定点这一条件之外再 的y中求泛函(1)的极值函数和极值,这就是泛函的条件继续寻求一定个数的必要条件,然后再检验这些必要条 极值问题类似于多元函数的拉格朗日莱数法,引入泛函件是否保证稳定点就是极值点。在函数极值问题中,在 J3]+AK[3-」(K(x,3,3)+G(x,,)axO处取极小值必须O是稳定点,即f(O)=0,并且二阶 H(x,,3)dr, 导数f"(O)≥0,但显然∫"(O)=0不能保证O点是f的 极小值点,而严格不等式f”(O)>0尼以保证O是f的极 存在常数入使极值曲线满足相应于H的欧拉方程,小值点,这正好与泛函极值相对应。 这一方程和条件(11)一般就能确定 勒让德条件仍以固定端点的泛函(1)的极小问题 最引人注目的条件极值问题是等周问题,即在给定为例,限制在允许函数的一维空间+tn(t为实数)上考 用长I的平面封闭曲线中选取围出最大面积的曲线。对虑泛函J,B是极小值点,η是任一端点为零的光滑函 封闭曲线釆用参数方程 数,已知y满足bJ3]=0,且使二阶变分 x=x(t),y=y(1(0≤t≤1), 8JB]= F(x, y,+tn, ya+tn)ds 相应周长 (+驴2)1/础, (F2+2F+Fy2)dx≥0(17) 相应面积 这里二阶变分的意义是当η和q的绝对值都很小时,泛 x一就)dt 函兀在稳定点的增量J+η-兀y的二次主部 (x,3,λ)=2(x-)十入(和+92) 要使(17)成立,一个必要条件是 对两个函数x和y和(8相应的欧拉方程为 这里Fpy是把稳定点代入F y2)所得的函数 条件(18)称为勒让德条件由A.M.勒让德在1786年 出(-2 √/x2+y2 得到,翌年他领悟到这也只不过是个必要条件建立充分 (13)条件的工作,50余年后由C.G.小雅可比实现。雅可 ( 比条件设强化的勒让德条件F>0成立,对二次变分 17)进行分部积分 解之可得曲线形状为圆周。这一答案是由雅各布第一伯 努利于101年符到的,在条件(1)之下求泛的极值的1-」"[(-妞r+F-出)d 问题常冠以等鬧问题的名字 另一类条件极值问题中函数yz服从一个约束 (Aq)ηdx 19)
由常徵分方程的特征值理论可知要(19)式对任意不恒等函数 于零的函数n取正值的充分必要条件是二阶微分算子A 强极值的充分条件若有一围绕稳定曲线B 的最小特征值为正数,或方程 y(x)的稳定曲线场,且x,,z独立变化时 AaF)+(r-品2)7 F(x,3,x)>0 (23) 必为极小函数。务必注意(23)和勒让徳条件 的巨大区别 的解在(a内没有零点,除非η=0。这一条件即所谓 由于欧拉方程中最高阶导数项的系数是F为使 雅可比条件 方程有二次连续 可微的解就需要F y与骀差的绝对值的最大值叫做y和4的零阶距永不为零,于是它不改变正负号,从而(23)本质上并非 离,y和3的零阶距离及y和B的零阶距离之和叫做新的额外条件。满足Fy恒不为零这一条件的问题称 y和驲的-阶距离。若对跟的一阶距离小于某正数为正町问题。正则问题的稳定曲线总给出极小值或极大 的一切函数都有3不大于J,则说J在取努值,视Fu,的符号为正或负而定,恰如在一元函数的情 极小勒让德条件Fy>0和雅可比条件一起组成孙是形在稳定点的二阶导数不为零和在多元函数的情形在稳 Jy的弱极小的充分条件 定点的二阶微分为正定或负定二次型一样。条件(23)是 K外尔斯特拄斯于1879年获得的,在1900年D.希尔伯 特利用他的不变积分理论给这一充分条件以大大简化的 证明。 数学物理与变分法物理学中泛函极值问题的提出 促进了变分学的建立和发展,而变分学的理论成果则不 断渗透到物理学中 图2一阶距离比较 图3零阶距离比较 物理苧中的交分原理P.de賣马从驮几里得确立 小的情况 小的愴况 的光的反射定律出发提出了光的最小时间原理:光线永 远沿用时最短的路径传播。他原先怀疑光的折射定律, 若对与的零阶距离小于某个正数的一切函数y但在1661年费马发现从他的光的最小时间原理能够推 有兀驰]不太于y,则说取强极小。 导出折射定律,不仅消除了早先的怀疑,而且更加坚信他 希尔伯特不变积分由于与强极小点比较的函数为的頊理。拉格朗日把变分法用到动力学上。他引进广 多故应加更强的兖分条件。仍以固定端点泛函(2)的极坐标q,q,…,,假定动能T是q-(q,%,…,%)和么 值间题为例,设平面上一区域D的每一点x)有 且仅有一条稳定曲线通过,且过点(x,3)的稳定曲线的斜(,…,qn)的函数,q表示d。他又假定力有位势v 率记作(x,3),称以(x,3)为稳定曲线场的斜率函数对v是q的函数,又假定T+v是常量,即能量守恒定律成 立,令LT-Vrd称为作用量,拉格朗日的最小 (F(x,3,z)+(y’一z)F(x,豇z)dx,(21)作用原理是说真实的运动使作用量取极小值。通过欧拉 拉格朗日建立他的运动方程,据此推出了力学的主 这个积分称为希尔伯特不变积分。由稳定曲线满足的欧要定律,并解决了一些新的问题。这些工作都记载在他 拉方程和路径无关条件可以验证积分(21)不依赖于曲线在1788年出版的《分析力学》一书中。 y=rx).(21)中的z=2x,3(x))。 N.R.哈密顿把P-L·M.de莫佩蒂、欧拉、拉格 外尔斯特拉斯西数(21)中的-(x)为连结点。朗日等人的最小作用原理推进到一个崭新的阶段,提出 和P1的稳定曲线时2=2(x3(x))=(x),故 稳定作用原理。他在1834~1835年的两篇论文里,新 JEya]=(F(x, y, 2)+(y-z)Fy(x,y, z))da, 考虑5.-D.泊松引进的以拉格朗日命名的函数L~T v,这里动能和势能皆可为时t广义坐标q和广义速 于是对任一连结P和Pk的曲线有 度q的函数,不必假定能量守恒定律,定义作用量 JCy1-J[y]=(F(x,y,y)F(x,y,z) Ld一L(t,q,q)dt, (y'-z)F.a,y, z))de 式中q在起始和终止时刻t和时分别取定值P。和 ECr, 1:, y')de, (22)P哈顿稳定作用原理断宮,真实运动是使作用稳定的 运动。泛函(24)的稳定函数所满足的欧拉方位便是哈密 式中E(x,;2驴)=F(x,3,y)-F(x,y,z)-顿方程,后来雅可比引进适当的变量替换而得到哈密顿 3”-z)F“(xz)由泰勒公式易得,叫做外尔斯特拉斯雅可比方程。由哈密顿的稳定作用原理可以推演出各种
力学问题的运动规律。这一巨大成功鼓舞人们充相在其 系統的一个状态在相空间中有一个代表点P=(Pq, 他数学物理分支,如弹性力学、电磁理论、和对论、量子理系统的运动就对应于点P在相间中的运动。如果系统 中求得类似的变分原理。 是保守的,其总能量E便是常数,点P的运动就被限制在 數学物理问題的变分解法数学物理中大量存在着相空间中的等能面〔称为能量面)H=E之上 变分原理从一个侧面反映了客观世界的统;性,也体 假如系统的臼山度n非常大,例如在一定容器中气 见人们建立统一的物理规律的渴望。一般说来变分原体分子的运动(宏观上微小的休积中仍含有大量的分 理对口有的理论是锦上添花。另一方而变分法对解许多子),如果与外昇没有能量交换,就是一个保守的力学系 实际物理问題也提供了切实叮行的方法,例如可用变分统。这时n=3N,N是分子的数日。因为人们无法去解如 法解振动系统的本征频率问題、散射冋题等。基于变分此巨大数目的哈密顿方程组,也无法实际地测得解方程 原理还建立了偏微分方程的弱解的L理论及相应的有限时所必需的初始资料,所以不可能再用纯经典力学的方 法来研究这样的系统。其实,系统中大量分子运动的综 大范園变分法18世纪是变分法的草创时期,建立合作用才决定出系统的宏观性质。例如,气体的单个分 了极值应满足的欧拉方程并据此解决了大量具体问题 子只是断续地冲撞容器壁,而大量分子冲撞的综合平均 19世纪人们把变分法广泛应用到數学物理中去,建立了作用才形成了气体对器壁的稳定的压强。为了研究这类 板值函数的充分条件。20世纪伊始,希尔伯特在巴黎国本质上是统计性质的运动规律,人们设想同时考虑都是 际教学家大会讲演中提到的23个著名数学问题中就有含有N个粒子,处于同一外部条件之中并且具有同-一哈 三个与变分法有关,变分法的思想黄穿了R.库朗和希尔密顿量,但微观状态不一样的一切可能的系统。这些系统 伯特所著的《数学物理方法》一书。而HM.奖尔斯的大在相空间中的代表点就不一样。这些宏观条件--样的 范田变分法则是20世纪变分法发展的标志(见尔斯切可能的微观系统的全体称为系综 ensemble)。L.E.玻 理论) 参考书目 耳兹曼,特别是JW.吉布斯建立了完整的统计系综方 R·库朗、D.希尔伯特蓍,钱敏、郭敦仁译:数学物理方法 法,类比于汯体力学中的刘维尔定理,证明了系综的概率 ⅴωl-1~2,科学出版社,北京,1968,1977。(R. Courant and 分布守恒定理。如果用叫(P)表示相点P经过时间r之 D. Hilbert. Methods of Mathernatical Physics. Interscience 后在相空间中达到的点,那么甲便是相空间的一个变 New York.1953,1962.) 换。所谓概率守恒,就是说能使一定的概牢测度保持 MA,拉弗林契叶夫,∏A留斯铁尔尼克著,曾鼎蹂等译:变不变。如果某系综相应的概率分布不显含时间,就称做 分学教程,高等敦育出版社,北京,1955。(M.A. JlanpeHTber稳定系综。统计力学基木假设之一是认为真实的平衡物 K JI. A. JincrepBWK. Kype aa puauNoNnoo ucyucheHu.Fo TexH3RaT, MockBa., 1950. 理系统在某时刻的状态与其相应的稳定系综在相空间中 C.T. MMxJmB, Bo puauuonnwe kemodw g Mamemamugecxon 的点有相同的概率。对于保守系统,可以证明这概率测 Nsuauxe, ToctexH3naT. MocKBa. 1957 度就是 4. M. Terbpakk M C. B, dDoxHH. Bo puaynonnoe ue. u3xaTrH3 MocKBa 7961 王耀东) blanhuangun 式中d是等能面H=E的面积元。系统的物理最应是相 变换群( transfor mation group)见埃尔朗空间中坐标的函数A=A(p,q)。但实验中的量测总要经 根纲领 历一段时间。即使宏观上很短的时间,从微观的角度来 考察也是相当长的,例如,在0℃和1大气压下,I立方 bian!i lilun 厘米体积中的气体分子每秒钟大约碰撞109次,即使在 10-秒这样宏观很短射时间里,碰撞也达103次。所 遍历理论( ergodic theory)又称各态历经以,宏观量测的物理量,都是一个微观相当长时间的平均 理论,研究!测变换的渐近性态的数学分支。它起源于 对为统计力学提供基础的“历假设的研究,并与动力佐于(m(B)出,可以认为就是m”A(), 系统理论、概挈论、信息论泛函分析、数论等数学分支有 省密切的联系 q(t)dta但这一(极限)平均值无法从微观的力学分析 印推算出来,因为无法确定相轨道的初始数据。为了用 按经典力学,一个力学系统可以用广义坐标q(φ·微观的力学分析解釋宏观的物理现象,统计力学中提出 ,qn)和共轭动最p=(p2;P2……,P)来描述。用H 了以下基本原理(或基本假设:对于平衡物理系统,物理 表示该系统的哈密顿函数,那么这系统遵循哈密顿正则量在相空间中按概率测度的平均应等于这物理量沿一轨 方程 道的时间平均,即 a(=1,2 称(P,q)所在的2n维空间为相空间。 ∫,A(P,)-lm第J1(pn,g)
这里x是相它间中可能达到的总区域(对于保守系统它之后,能量面一个区域中的状态变到另一个区域中去的 是能量面H=E为了文持这一基本原理的引入,玻耳茲可能性接近于这两区域慨率测度的乘积。换句话说,从 曼提出所谓遍历假设,认为一条相轨线可以跑遍(或者说每一区域出发的轨道,最终相当均匀地散布于能量面的 充满)整个能量面。以后又有人提出准遍历假设,认为各区城之中,从各区域出发的轨道最终在能量面上相当 条相轨线可以任意接近能量面上的任何一点。然而数均勻地混合起来。保测变换的各种回归性质也是与历 学的硏究指出,上述遍历假设不可能戍立,而准遍历假设性有关的重要研究课题。早在1912年H.庞加茉就已证 又不足以保证“相平均=时间平均”。因此,以后关于统计明了以下简单而普遍的回归定理:对于概率空间的保测 力学数学基础的研究,集中注意力于“相平均=时间平变换甲,从一个正测度集合中出发的几乎所有轨道都要 均”这一条件本身,把满足这一条件的系统称为是遍历无穷多次地返回这一集合。近年来关于回归性质的研究 的,或者称为是具有遍历性的。自20世纪30年代开始,以成果有多重回归定理等 G.D.伯克霍夫、J冯·诺伊受、A..辛和其他许多数 继伯克霍夫和冯-诺伊曼的开创性工作之后,许多数 学家的工作为标志,关于遍历性的研究形成了一个重要学家对个体及平均遍历定理作了种种推广。它包括:把 的数学分支。 平均遍历定理推广到更一般的巴拿赫空间和更一般的变 保测变与遍历定理上述问题在数学上的抽象化换;把关于点变换的平均遍历定理推广到关于马尔可夫 的提法如下:设(X,绅,μ)是一个測度空间,通常假定过程的平均遍历定理;把关于离散半群的个体及平均 r(x)=1,即“为概率测度,φ是X的一个变换。如果任遍历定理推广到更一般的单参数半群P甚至多参数的 意可測集B∈团的原像集φ-B仍是可测集(即甲-B∈),情形,等等。由许多数学研究者得到的遍历定理的各种 那么q就称为可测变换。如果可测变换φ使得甲1B)=提法有:极大遍历定理,一致遍历定理,受控遍历定理, μ(B)对任意B∈⑧成立,那么φ就称为保测变换(更详部遍历定理,阿贝尔遍历定理和次可加遍历定理等等保 细一些,φ称为是保持测度x不变的变换,称为关于φ测变换的谱理论研究,则是遍历理论与泛函分析相关联 不变的测度)。保测变换的物理背景,就是统计力学中的的重要课题 慨率守恒运动。长期以来,数学的遍历理论研究的主要 对象是保测变换,其中心问题之一仍然是探讨适当的条 上面提到的遍历理论的研究工作,都假定事先有了 定的测度。在数学研究中还可以提这样一类问题:给 件以保证“时间平均(这里取离散形式)一空间平均”,即定拓扑空间X上的连续变换甲,是否存在X上的概率测 总(p(x)-「,m,这里了是定义于X上的滋当 度n使其成为保测变换?这样的测度是否唯-?这又引 起了关于不变测度的研究。数学上已经证明:对于紧致 函数(其背景即统计力学中的物理量),整数k可视为离的可度量化的空间x的连续变换φ,不变测度必定存在 散化的时间变量,驴表示q的k次相继作用,即(x)-如果这种不变测度以是唯一的,那么中关于该测度就必 x,q(x)=gx),q2(x)以(x),…等等但作为数学的定是遍历的,这时称变换φ具有唯…遍历性 研究,人们必须首先证明作为时间平均的极艰(在某种确 定意义下)的存在性。这方面最早取得的成果,是冯 1958年A,.柯尔獒哥洛夫在保测变换的硏究中 引进了测度熵的概念。测度熵反映了变换素乱的程度, 伊曼的平均遍历定理(1932)和伯克崔夫的个体遍历定其物理背景正是热力学中的熵。测度熵的引进是继伯克 理(1931)。平均遍历定理断定;对于平方可积的函数∫,霍夫和冯·诺伊曼工作之后保测变换研究中的又一重大 时问平均的极限x)-1n1(x)在平均收敛进。测度痛作为不变量为研究保测变换的刷构问题提 的意义下存在,满足f叭x)=f(x)(几乎处处成立)和 供了重要的工具。这一工具最初的效果是辨明了一些过 去长期无法区分的系统的不同构。1970年D.奥恩斯坦 fn-Jf,个体谁历定理断定对于可积函数,极获得了正面肯定同构的重要成果,他证明了具有相同测 限f(x)=1im(吵(x))在几乎处处收敛的意义下存 度熵的伯努利移位是同构的。类比于测度熵,R.L.阿德 拗、A.G.康海姆和M.H.麦克安德鲁等人1965年在动 在,f也是可积函数,它满足fx))=jx)(几乎处处成力系统理论的研究中引入了拓扑熵的概念。 立)和,-JJ,有了伯克霍大个体遍历定理,数 微分动力系统的遍历理论即光滑遍历理论。20世 纪60年代以来,对微分动力系筑的遍历性质的研究受 学上不难证明:遍历性等价于测度不可分性所谓测度不到了普遍的重视。这一方面是因为引入了微分的工具使 可分性是说:如果B∈使得q1B-B,那么或者以B)=0得处理问题简明而又富有几何直观,具有数学理论上的 或者叫(B)=1。由于上述两条件的等价性,许多数学研究价值;另一方面是因为这种系统的物理解释概括了保 者素性就以渊度不可分性来定义遍历变换。数学的研究系统和耗散系统,内容更广泛微分动力系统的研究对象 指出,一个能保证遍历性(即测度不可分性)的更强的条是微分流形M上的微分同胚中或流啊。有关的遍历性研 件是混合性,即对任意可测集A、B有1mn(An甲B)=究往往涉及双曲性条件。所谓微分同胚甲在不变集A上 n(A)μ(B)。混合性的物理含义是:在充分长的时间有双曲结构,是指M的切空间丛在A上可以连续地分解