义的由8到S/B上的映射:Ma(x)[xx,xs,[]n∈1(B1-B2十C,而C=(B1-B)且C≥0,可以证明 个同态映射 S对于R 商半群 A是阿量格。 近年来,半群的理论在计算机科学中得到了应用,弓 向量格的性质在向量格定义x=xV0,x= 起人们的重视,并成为数学家和计箅机科学家深入研究 (-x)Vo,|xl=xV(…x)依次称为x的正部分、负部 的对象,有了迅速的发展。 分、绝对值。在向量格中,每个元x都有若尔当分解x= 参考书目 x-x。这是有界变差函数以及抽象测度论中的结果的 E. Hille, Functional Analy 对向量格E中的一族元素{xa}a∈A,若有x∈E,使得 A.H. Clifford and G.B. Preston, The Igebraic Theory 3≥xa对一切∈A成立,又钰何y≥a对一切a∈Ay≥ x,则称x为{xa}∈x之上确界,记作Vx同样,可定义 ce. Rhode Island. 1967. M.A. arbib. Theories of Abstract Automata. Prentic下确界△xa在一般的向量格中,上方有界的点列未必有 Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1969. 上确界。如果对X之任何上方有界点列{xn},,必有上 (管纪文·姜云飞) 确舁,圳称X为…完备的。前述之向量格V与RA都是 banu× anxing kongJi q-完备的 半序线性空间( semiordering linear space) 对E中的点列{xn}1,若有单调递减的点列tn使 类赋有序关系的线性空间,称为有序线性空间 得∧=0,而|x-xl≤则称xa序收敛于xo,记作 如果只考察实值函数,则爾要的空间如C(),L()0-1imxn=x 〔1≤p<∞),除了有线性结构、拓扑结构以外,还有个按 照自然的序: 设ⅹ为实的巴拿赫空间。如果X还是一个向量格 ∫≥0,若∫(t≥0对一切(几乎所有)∈Ω都成立, 而且 ixi≤j引l→x‖≤l, 构成的序结枃。某些空阔中的这种序或“正性”,在理论则称X为巴拿赫格。这是线性关系,格序关系以及范数 和应用上都是很重的。 的结合 干序空间与向量格如果实线性空间E的某些元素 偶(x,3)之间有关系x≥孙,并存在①序关系:x≥x,又定义绝对选续元素与奇异元素,从而将拉东尼科迪姆定 x≥y且y分x→x=g,x≥且》xx②x一>理推广成:X的每个元都可唯一地表示成绝对连续元与 z≥y+2,x,A≥0x≥;则称E为半序线性空奇异元的和。又对某些σ-完备向量格中之元a,可唯一 间。若进而还有格关系:对x∈E恒有z∈E,使x≤地确定一个单位分解(eA,-∞<A<o),使a=」。xdx 且≤z,又x≤,≤缮→z。就称E为向量格或里斯空 间,且记③中之z为x/3 从而将自伴算子谱分解定理推广到适当的-完备向量 般对具有性质①的集合,称为按关系≥是半序的 格上。设x为巴拿赫格,如果还有x≥0,3≥0→x+骐 而上述性质②则意在线性结构与序结构的协调。 雷x}+3‖,则称X为抽象L4空间。可以诳明有测度空间 向量格实剑①设CAO)是紧豪斯多夫空间使得这种X线性的,保范序同构于L(a),同样也可用 上全体实值连续函数,其上的加法与数乘如通常定义 格序关系与范数刻画LP()与C(K),这里K是紧空间 对x、∈C()定义xx()≥3(t,当t∈口。这时 争者书目 xg(t)=max{x(t),g()},易见Cx(D是向量格。② 关肇直编:《泛函分析讲义,高等教育出版社,北京,1968。 设(x,3)是可测空间。设V是全体在(x,)上有限 north- Holland, Amsterdam,19 samburg, Riesz space, A C. Zaanen and W A.IL 的,完仝可加的集合函数。对,2∈V及实数a定义 〔江泽坚 十阻)(E)-:(E)十(E,E∈⑧;(1)(E)H1(E), Tanabe E∈,a是实的;1≥以2H1(E)≥叫(E),E∈。这时,邦贝利,R.( Rafael Bombelli1526~1572) (耳:八2)(E 意大利工程师、代数学家。1526年1月生于波伦亚。他大 sup(u(E)+A2(E,!EUE=E,ErnE,=0 部分时间从事开发意大利中部瓦尔迪·基亚纳河谷的沼 泽地带。在工程间歇时期,潜心研究数学。16世纪的意大 当E∈。可以证明,V是向量格。⑥对希尔伯特空间利兴起探讨方程解法的热潮继L.帕乔和(1494)之后 H上有界线性算子A与B,如果对任何有界的T使AT有S.del費罗(1510)、N.塔尔塔科垩、G.卡尔达诺、工.货 TA皆有B=TB,则称B∽∽A。设A是H上给定的有拉里等人。邦贝利认为工作还可以进一步深入。他在罗 界自伴算予,令RA={H上有界自伴算子B,B∽∽A},马访问期间,读到丢番圜《算术》的手抄本,受到很大启 定义B≥0台(B,x>0,当x∈H,则对B、B2∈R发。他的主要著作《代数学》写于1557~1560年间,大部 有B1V政=(B一B)+B。这里(B-B) 分于1572年在波伦亚出版,可惜不久即去世,其余部分
被捆置起来。直到300多年以后,重新找到他的手稿基数)与[0,1的势相等。但[0,1上所有实函数的势大 (1923),才于1929年出版。《代数学》计划写五章:第一.于[0,的势。因此定义在[0,1上的函数中有很多不是 章介绍代数的基本概念和运算方法;第二章在引入各种贝尔函数。贝尔函数类的另一等价的定义是:包含连续 待号之后开始讲一到四次方程的解法;第三章给出大量函数全体且对点点收敛的极限运算封闭的最小函数类 练习题和应用题,第四章是几何方法在代数上的应用;第 类似地,在n维空间与一般的拓扑空间也可引入贝 五章是用代数方法解几何问题。最后两章没有完成。邦尔函数类。 贝利的前辈已给出三次方程的一般解法,但不可约情况 波菜尔集深入讨论函数的连续性、可微性可积性 (判别式为负,遇到虚数开根的同题)使当时的代数学家时必不可少的重要集类。设G、F分别表示n维欧几里 束手无策。邦贝利最大的贡献是熟练地运用虚数,证明得空间中开集、闭集全体。凡是能装示成G(或F)中 这种情况必有三个实根,对四次方程也有很大推进:他一列集)的交门A(成和A的集的全体记为G 发展起着承先启后的作用。 (梁宗巨) F以)。凡能表示成G(或F)中一列集{An)的和Aa(或 交∩A,)的集的全体记为Gs(戚Fs),如此又继续可以 Beida 定义出新的集类Gass、F。s,…。同贝尔函数类一样,对 贝蒂,E.( Enrico Betti1823~1892)意大利切序数可用超限归纳法来依次定义新的集类。同样可 数学家。1823年10月21日生于皮斯托亚,1892年8月以证明:当序数a<a1时,上述定义能产生新类型的集,而 11日卒于比萨。在比萨大学学习数学,曾参加意大利独从a1开始就不再产生新类型集了。由上述方式得到的每 立战争,后在皮斯托亚中学教数学。1865年获比萨大学 集称为B"上的波菜尔集。波莱尔集全体称为即上波 教授职位,一直到去世1862年任国会议员,1884年任参菜尔集类(也称波莱尔域),记为(即)波莱尔集类还有 议员,1874年任短期教育部硎部长。 贝蒂早期工作涉及刚发表不久的伽罗瓦理论,他绘几种等价的定义:(B)是包含R中一切有限“立方体 当时还不太为人所知的代数方程的很式解的条件以明确的最小环;(R")是包含”中一切开集的最小σ环 的表述和证明。19世纪60年代,他研究椭园函数论以 廓(恥)是包含B中一切闭集的最小σ环。(见测度论 数学物理问题。他的东要工作是在拓扑学方面。1871年 在一般拓扑空间中可类似地引入波莱尔集类 贝尔函教与波苿尔可测西数设∫是拓扑空间X上 引进的“贝蒂数",是重要的拓扑不变量。在B.黎受影的实函数如果对任何实数c集{x(x)<以是波莱尔集, 响下,研究数学物理,证明贝蒂定理(弹性论互逆定理),则称∫是X上的波莱尔可测函数。X上的贝尔函数都是 并应用格林方法于弹性理论和热学。他是对意大利统一x上的波莱尔可测函数。同样,设E是X的子集,如果E 后数学的复兴起重大作用的人之一他的论文收集在《数的特征函数I2(即在E上值为1,E的余集上值为的函 学著作集》(2卷,1908~1915)中。 朝作玄)数)是x上的贝尔函数则称E是贝尔集。贝尔集都是波 莱尔集。当X=B时,波莱尔可测函数(波莱尔可测集 贝尔函数( Baire function)在研究函数的连都是贝尔函数(贝尔集) 续性基础上产生的一类重要的函数。R.L.贝尔于1899 解析集深入研究直线上波莱尔集与勒贝格可测集 年提出如下的函数分类方法:以区间[0,1上的函数 的关系时发现的重要集类,它们在近代随机过程中有广 为例,E0,1上的连续函数称为0类函数。0类函数序泛的应用。设(,是可测空间,E为紧的度量空间,记 列点点收敛的极限函数,当它不是0类函数时,就称为1K(E)×={A×FA是E中的紧集,F∈},(K(E) 类函数。1类函数序列点点收敛的极限函数,如果不是09)a是K(E)×中的集作可列和后再进行可列交的运 类或1类的函数时,便称为2类函数依次对每一个自然算而得到的集类。设B∈(K(E)X9)0s,称B在Q上的投 数n,可以引入n类函数的概念。如果(f},=1,2,…,影(B)为9中的牙解析集。它们的全体记为(卿)若 是m类函数,{m)是自然数列的子序列,{f点点收做用罗表示(,)上的概率测度全体,(P∈男表示用 于∫(x),当∫(x)不是任何n类函数(n是自然数),称f(x)p作完全化扩张而得到的代数,则利用乔格的容度理 是类函数。如此再继续定义m+1,+2,…类函数。用论可证明(9)c, 超限归纳法对一切序数可,都可以定义n类函数。所有这 特别,当E=R,n=1,2…,=[0,1],-妣[0,1] 些类的函数统称为贝尔函数,而贝尔函数的全体称为贝 EX[0,1上的波莱尔集在[0,1]上的投 解析集, 尔数类。[O,1上的秋利克雷函数D(x)(它在有理点并且(9)是[0,1上勒贝格可测集类的其子集 上取值为1,无聖点上取值为零)不是1类函数,但 张荫南) D(x)=limn1m((1x)2,所以D(x)是2类函数可 Bei'ertelam 以证明,当序数媛<吗(a1是第一个不可列的序数)时,a贝尔特拉米,E( Eugenio Beltrami1835 类是不空的,但吗类是空集。另外,贝尔函数类的势(或1899)意大利数学家。1835年11月16日生于克雷
莫纳,1899年6月4日(另一说为1900年2月18日)卒于 种归纳推理的理论,以后被一些统计学者发展为一种 罗马。1853~1856年在帕维亚系统的蜣计推断方法,称为贝叶斯方法。果用这种方法作 大学学数学,后曾任铁路工程统计推断所得的全部结果,构成贝叶斯统计的内容 师的秘哲,在米兰时曾继续学为贝旰斯方法是唯一合理的统计推嘶方法的统计学者 习数学,1862年发表第一篇数成数理统计学中的贝叶斯学派,其形成可追溯到20世 学论文,讨论曲线的微分几何纪30年代。到50~60年代,已发展为-个有影响的学 学。1867年在波伦亚大学任教,派。时至今日,其影响日益扩大。 1864年任比萨大学测地学敦 光验分布它是总体分布参数θ的一个概率分布 授。1866年回到波伦亚任理论贝叶斯学派的根本观点,是认为在关于0的任何统计推 力学教授。1873~1876年在罗断问题中,除了使用样本X所提供的信息外,还必须对 马大学任教授,其后回帕维亚规定一个先验分布,它是在进行推断时不可或缺的一个 任数学物理学教授。1891年又返回罗马大学直至去世。要素。贝叶斯学派把先验分布解释为在抽样前就有的关 i898年他被选为山猫科学院院长 于θ的先验信息的概率表述,先验分布不必有客观的依 贝尔特拉米的数学研究大体分为两部分:1872年前据,它可以部分地或完全地基于主观信念。例如,某甲怀 研究曲线和曲面的微分几何学,特别著名的是1868年发疑自已患有一种疾病A,在就诊时医生对他澜了诸如体 表旳《论非欧几何学的解释》,其中给出第一个罗巴切夫温、血压等指标,其结果构成样本x。引进参数θ:有病 斯基几何学的模型—伪球面模型〔参见彩图插页笫33时,θ=1;无病时,θ=0。X的分布取决于日是0还是1, 页)。其后又推广常曲率曲面到高维空间,并得出高维的因而知道了X有助于推断0是否为1。按传统(频率)学 非欧几里得几何学。他第一次在徹分几何学中引进微分派的观点,医生诊断时,只使用X提供的信息;而按叶 不变式理论。这极大推动非欧几何学和微分几何学的发斯学派观点,则认为只有在规定了一个介于0与1之间 展。1872年后,他转向应用数学的研究,诸如流体动力的数P作为件{=1}的先验概率时,才能对甲是否有 学、位势理论、波动理论、热力学、光学、弹性理论及电动病(即日是否为1)进行推断。p这个数刻画了本问题的 力学。其中突出的是池在分析问题中引进几何方法,对先验分布,且可解释为疾病A的发病率先验分布的规定 后来的数学物理学有一定影响。他的著作收集于《数学对推断结果有影响,如在此例中,若疾病A的发病率很 文集》(4卷,1902~1920)中 胡作玄) 小,医生将倾向于只有在样本X显示出很强的证据时,才 诊断甲有病。在这里先验分布的使用看来是合理的,但 Belsar'er 贝叶斯学派并不是基于“P是发病率”这样一个解释而使 贝塞尔,F,W.( Friedrich Wilhelm Bessel用它的,事实上即使对本病的发病率毫无所知,也必须规 1784~1846) 国天文学家、数学家。1784年7定这样一个p,否则问题就无法求解。 月22日生于明登,1846年3 后验分布根据样本x的分布P及θ的先验分布 月17日卒于柯尼斯堡。I5岁 x(0),用概孝论中求条件概率分布的方法,可算出在已知 辍学到不来梅-家商行学徒, x=x的条件下0的条件分布xlx)。因为这个分布是 业余学习天文、地理和数学。20 在抽样以后才得到的,故称为后验分布。贝叶斯学派认 岁时发表了有关彗星轨道测 勺这个分布综合了样本X及先验分布x(0所提供的有 量的论文。1810年任新建的柯 关的信息。抽样的全部目的,就在于完成由先验分布到 尼斯堡天文台台长。1812年当 后验分布的转换。如上例,设p=P(0=1)=0.001,而 选为柏林科学院院土 x(=1lx)=086,则贝叶斯学派解释为:在某甲的指标 贝塞尔的主要贡献在天文 量出之前,他患病的可能性定为0.001,而在得到X后, 学,以出版《天文学基础》 人识发生了变化:其患病的可能性提高为0.86,这一点 (1818)为标志发展了实验天文学,还编制基本星表,测定的实现既与X有关,也离不开先验分布。 恒星视差,预言伴星的存在,并导出用于天文计算的贝塞 计算后验分布的公式本质上就是概率论中著名的贝 尔公式。他在数学研究中提出了贝塞尔函数,讨论了该叶斯公式(见概率),这公式正是上面提到的叶斯1763 数的一系列性质及共求值方法,为解决物理学和天文年的文章的一个重要内容 的有关问题提供了重要工具。此外,他在大地测量学 推断方法贝叶斯推断方法的关键在于所作出的任 方面也做出一定贡献,提出贝塞尔地球椭球体等观点。何推断都必须也只须根据后验分布x(x),而不能再涉 (王青建)及x的样本分布P例如,在奈曼-皮尔逊理论(见假设 Belyesl tongji 检验)中,为了确定水平坏的检验的临界值C,必须考虑 贝叶斯统计( Bayes statistics)英国学者Tx的分布P,这在贝叶斯推断中是不允许的。 贝叶斯1763年在《论有关机遇问题的求解》中,提出了 但贝叶斯推断在如何使用x(8X)上,有一定的灵活
性,例如为作θ的点估计,可用后验分布密度he|x)关日卒于枫丹白露附近的巴塞-洛格。曾在海军学校和皇 于θ的最大值点,也可以用x(|X)的均值或中位数(见家炮兵学校任教。他的主要贡献在代数学方面。他用行列 艇牟分布)等。为作θ的区间估计,可以取区间[A〔x),式建立了线性方程组的一般理论,提出了解高次方程组 B(X)],使x(A(X)≤θ≤Bx)x)等于事先指定的数 的消元法。1764年,他染取从一个辅助的线性方程组中进 1-a(0<a<1),并在这个条件下使区间长度B(x) 行消元的方法,证明了一个m阶曲线和一个n阶曲线相 A(x)最小。若要捡验关于θ的假设HB∈叫,则可以算出交至多有mn个交点(重数计算在内)的定理。L欧拉也 的后验椭率(ωX),然后在x(!X)<1/2时拒绝H。提出并独立地证明了这一结果。贝祖在1779年的论文 如果是统计决策性质〔见蜣计决鬟理论)问題,劐有一定《代数方程的一般理论》中公布了这个定理的证明。他还 的损失函数L(日,a),知道了x(θx),可算出各行动a的建立了行列式理论中的某些结果。 杜瑞芝) 后验风险,即L(θ,a)在后验分布κ(圳X)下的数学期望 值,然后挑选行动a使这期望值达到最小,这在贝叶斯统 beilun 中称为“后验风险最小"的原则,是贝叶斯决策理论中悼论( paradox)自相矛盾的命题,即如果承认 的根本原则和方法 这个命题,就可推出它的否定,反之,如果承认这个命题 关于贝叶斯方法的争论贝叶斯学派与频率学派争的否定,又可推出这个命题。1900年前居在集合论中出 的焦点在于先验分布的问题。所谓频率学派是指坚持现了3个著名悖论。 概率的频率解释的统计学家形成的学派。贝叶斯学派认 罗素悖谂(1903)设E为一切不属于自身的集合 为先验分布可以是主观的,它没有也不需媐有频率解释。(即不含目身作为元素)所组成的集合。在朴素集合论中 而频率派则认为,只有在先验分布有一种不依赖主观这样的B是合法的。B是否属于R若R属于,则R是 的意义,且能根据适当的理论或以往的经验决定时,才允R的元素,于足B不属于自身,即R不属于B;反之,若 在统计推断中使用先验分布,否则就会丧失客观性。另不属于B,则B不是R的元素,于是R属于自身,即R 个批评是:贝叶斯方法对任何统计向题都给以一种程属于E无论如何,都是矛盾的 式化的解法,这导致人们对问题不去作深入分析,而只是 康托尔悖论〔1899)设S为一切集合所纽成之集 机械地套用公式6贝叶斯学派则认为:从理论上说,可以合。考虑S的势3。因为任何集合都是S的子集,故不存 在一定条件下明,任何合理的优良性准则必然是相应在其势大于的集合,但由康托尔定理可知,S的幂集 于一定先验分布的贝叶斯准则,因此每个统计学家自觉P(S)的势p($)大于这就得到矛盾。 或不自觉地都是“贝叶斯主义者”。他们认为,频率学派 布拉利福尔蒂悖论(1897)设W为一切序数所组 表面上不使用先验分布,但所得到的解也还是某种先验成的集合。因为W按自然大小顺序成一良序集,故W有 分布下的贝叶斯解,而这一潜在的先验分布,可能比经 序数Ω。由序数性质,这口必比W中任一序数都大,但 慎重选定的主观先验分布更不合理。其次,贝叶斯学派由定义,Q也出现于W中从而将有>,而这是矛盾的 还认为,贝叶斯方法对统计推断和决策问题给出程式化 这些浡论,特别是罗素悖论,在当时的数学界与逻辑 的解是优点而非缺点因为它免除了寻求抽样分布(见統学界内引起了极大震动(R.戴德金推迟了他的《什么是 计量)这个困难的数学问题。而且这种程式化的解法并数的本质和作用》一文的再版,G·弗雷格甚至宣称他的 不是机械地套公式,它要求人们对先验分布、损失函数等《算术甚本法则》基础之一被动摇了),触发了数学的第 的选择作大量的工作。还有,贝叶斯学派认为,用贝叶斯三次危机。1908年B.A.W.岁素的类型论(见集合论公 方法求出的解不諾要频率解释,因而即使在一次使用下理系统)和E.F·F·氣梅洛的公理集合论就是为了防避 也有意义。反之,根据概率的频率解释而提供的解则只它们而提出的 程其襄 有在大量次数使用之下才有意义,而这常常不符合应用 的实际。这两个学派的争论是战后数理统计学发展中的 Bidagelasi 一个特色。这个争论月前还远没有解决,它对今后数理毕达哥拉斯( Pythagoras约公元前580~约前 统计学的发展还将产生影响 500)古希腊哲学家、数学家、天文学家。生于萨摩 参考书日 斯(今希腊东部小岛),卒于他秫敦(今意大利南部塔兰 D.v. Lindley, Introduction to Probability and statistics托)。早年曾游历娭及、巴比伦(一说到过印度)等地。为 from a Bayesian Viewpoint, Part I: Probability: Part 2 Inference, Cambridge Univ. Press. london. 1965 了摆脱暴政,他移居意大利半岛南部的克罗托内,在那里 B.O. Berger, Statistical Decision Theory: Foundation 组织了一个政治、宗教、数学合一的秘密团体。这个团体 Concepts, and Methods, Springer-Veriag. New York, 1980. 后来在政治斗争中遭到破坏,他逃到塔兰托,后终于被 (陈希孺) 杀害 毕达哥拉斯学派有一种习惯,就是将一切发明都归 贝祖,E.( Etienne bezout1730~1783)法国之于学派的领袖,而且秘而不宣,以致后人不知是何人在 数学家。1730年3月31日生于内穆尔,1783年9月27何时所发明的。他们很重视数学,企图用数来解释一切
宣称数是宇宙万物的木源,研究数学的目的并不在于实钉”将这些洞补上。当然,为了得到新的闭田面,不能用 用而是为了探索目然的奥秘。毕达哥拉斯本人以发现勾刚剪下来的那种小圆片当“补钉”,而应换用其他类型的 股定理(西方称毕达哥拉斯定出面。显然,如果用平环(如图1所示的阴影部分)作为 理)著称于世。这定理已为“补钉”来补(平环的外圆周和洞的边缘粘合),那么球面 巴比伦人和中国人所知,不过上的涧补好了,而平环本身的洞内圆周)仍空谷。为了补 最早的证明大概可归功十华达这个新出现的洞,显然只要把它和球面上另一个洞的边 哥拉斯学派。这个学派还有 缭粘合即可。这样,用平环(它拓扑等价于圆柱面)这种 个特点,就是将算术和几何紧“补钉”来补洞,一次就可将两个洞补好。也就是说,把圆 密联系赶来,如把算术中的单柱面的上端圆周和球面上的一个洞的边缘(也是一个圆 位看作“没有位置的点”,而把》)粘合,而把下端圆閥和球面上的另一个恫的边緣粘合 几何的点石作“有位置的单图2为用这种办法修补后得到的闭曲面。这种曲面由于 位”。他们发现用三个整数表示象给球面安了个柄,故称它为带有一个柄的球面。显然, 直角角形边长的一种公式:2n+1,2n2+2n分别是我们可以往球面上安任意多个柄,这些具有不同数目的 直角迦,则斜边是zmn2+2n+1。这公式属于算木,又属枘的球面,构成不同胚的闭曲面的“一半”。在介绍另“ 于几何。他们将自然数分为若十类:奇数,偶数,完全数,半”之前,应注意到以上的闭曲面都是双侧的,即其中 亲和数;三角数(1,3,6,10,…),平方数(14916,…),侧可以涂一种颜色,而另一侧则可涂另一种颜色。 五角数(1,5,12,22,…等等(见图);又注意到从1起连 续的奇数和必为平方数。后面这几类数都和几何有关 角数 图1平环 图2带有一个柄的球面 五角数 用平环这种“补钉”修补球面上的洞时,先是将外圆 周和一个洞的边缘粘合,然后再将内圆周和另一个洞的 边缘粘合。这样做的理由是因为最后要得到闭面。为 的过勾股定理,导致不可通约量的发现,是这个学派了得到闭曲面,也可以直接将内圆周上的点,按粘合对径 大贡献。他们还发现五种正多面体。最初用正四面点(同一条直径上的两个端点)的方式把它封闭起来。这 体、正六面体正八面体和正二十面休来表示火、土、气、种先将内圆沿对径点粘好的“补钉”,称为“交叉帽”, 水四大元素,后来又发现正十卜二面体,由于没有相应的第个交叉帽可以补一个洞。带有任意多个交又帽的球面, 孔种元素,于是就用来代表宇宙全休。毕达哥拉斯还是音就构成另半闭曲面。总而言之,任意一个闭曲面,它 乐理论的鼻祖,他阐明了单弦的乐音与弦长的关系在大不是和一个安有若十个柄的球面同胚,就是和一个带有 文方面,首创地圆说,认为日、月、五星都是球体,浮悬在某些个交叉帽的球面同胚 太空中。毕达哥拉斯死后,这个学派还继续存在两个世 交叉帽是将平环的内圆沿对径点粘合。现将平环 纪之久。他的思想和学说,对希腊文化有巨大的影响。 沿AB和DE剪开(图3),得到 ABCDEF和 A'BCD'E'G两 (梁宗巨) (这里A剪开成A和A’,B、D、E同此,但B和D是对径 biqumian de fennel 点应枯合,故B、B,D、D 闭曲面的分类 classification of closed为同一点)。现将这两块沿 s)关于空间的拓扑分类,这是一个既重要又BCD和DCB'粘合。如 有趣,然而也是非常难的问题,至今没有能完全解决。但下页图4所示,在长方形 限闭曲面的情形,结果是非常完满的。它是数学中为 AFEDA'GE'D'A中,两垂 数不多的几个完整的漂亮定理之一。 直边AE′和AE沿标明 在众多的闭曲面中,球面显然是首先会被想到的,实方向粘合。这种将长方形 际上,它可以作为构造其他的团曲而的出发点 的一对边,扭180°再粘合 为了从球面得到其他的曲面,凭在球面上剪去 而得到的曲面叫做麦比马图3粘合内圆的对径点 或者换种说法,就是打些洞,然后再用适当的“补斯带(参见彩图插页第34 所得到的交叉