(6641 大约在公元前1800~前1600年间巴比伦人已使用互递关系,但执着于几何思强碍啦。少面近微积分 较系统的以60为基数的数系(包括60进制小数)。对小于 的瑟本定理,微积分的最终制 60的整数,使用1()和10(4)两种记号表示,如25 定后来由其学生I.牛顿完成 2(10)+5-《,对大于60的数,用位置制记数法,如 巴罗最先发现了牛顿的天才, 524551=2(601)+25(602)+42(60)+31 并于1669年自动辞去卢卡斯 Tr《WYY 教授之职,举荐牛顿继 巴罗精通希腊文和阿拉伯 由于没有表示零的记号,这种记数法是不完善的。 文,曾编译过欧几里得、阿基 巴比伦人的代数知识相当丰富,主要用文字表达,偶 米億、阿波罗尼奥斯等希腊数 尔使用记号表示未知量。有一道最古老的问题是:已知正 学家的著作,其中欧几里得的 方形面积与边长的差为143060进位制数,即14(60) 《几何原本》作为英国标准几 30=870),求正方形边长。这相当于求解方程x2-px=q何教本达半个世纪之久。 (亭文林) (此时p=1,q=870)。巴比伦人的解法是依次计算2, h (号)·(2)+9√(2)+,√(号)+q+号得到解 巴章赫,S.( Stefan Banach1892~1945) 波兰数学家。1892年3月30日生于克拉料夫,1945年8 为30这与现代用公式解这类方程的过程一致(但他们尚月31日卒于利沃夫。曾在克拉科夫的贾吉洛尼亚大学和 无负数概念,解方程只求正根)。在公元前1600年前的利沃夫工业大学短期学习,但 一块泥板上,记录了许多组毕达哥拉斯二元数组(即勾股他主要靠自学。1916年结识H 数组,参见彩图插页第6页)据考证,其求法与希腊人丢斯坦豪斯后,开始科学研究, 毒图的方法相同即取定两正整数、U,令a=“2-2,b 1920年获博士学位,1922年任 2u,C=2+υ2,则必有a2+妒=c2、巴比伦人还讨论了某利沃夫大学讲师,1927年为教 些三次方程和可化为二次方程的四次方程 投。成为泛函分析的开创者之 巴比伦的几何属于实用性质的几何,多采用代数方 不久在他和斯坦豪斯周围 法求解他们有三角形相似及对应边成比例的知识用集中了一批年轻学者,发展成 公式8-12(c为圆的周长)求圆面积,相当于取x=3在为利沃夫学派,并在1929年创 办了第一个泛函分析杂志《数 一块约公元前1600年的泥板上,记有八2的近似值(参学研究》。1932年出版了他的名著《线性算子理论》他在 见彩图插页第6页)z 1936年的国际数学家大会上做了全会报告,这表明数学 1+24/60+51/602+10/603=1.4142155。 界重视波兰学者对泛函分析的研究。1939年被选为波兰 巴比伧人已掌握计算简单平面图形面积和简单立体体积数学会主席。第二次世界大战中波兰被德国占领,他 的方法,如用公式v=4(2)+32”)求高为大后,他数望,的这件:改联军以克利 的平截头方锥(下底面积a2,上底面积b)的体积。 巴拿赫的主要工作是引进线性赋范空间 巴比伦人在公元前3世纪已较频繁地用数学方法记其上的线性算子理论,他证明的三个基本定理(哈恩巴 载和研究天文现象,如记录和推箅月球与行星的运动,他拿赫线性泛函延拓定理,巴阜赫-斯坦豪斯定理即共鸣 们将圆周分为360度的做法一直沿用至今。 定理,闭图像定理)概括了许多经典的分析结果,在理论 (严敦杰)上和应用上都有重要的价值。人们把完备的线性赋范空 间称为巴拿赫空间。此外,在实变函数论方面,他在1929 巴罗,L,( Isaac Barrow1630~1677)荚国数年同K.库拉托夫斯基合作解决了一般测度问题。在集合 学家。1630年10月生于伦敦,1677年5月4日卒于伦论方面,他于1924年同A.塔尔斯基合作提出巴拿赫-塔 敦。1643年入剑桥大学三一学院,1648年获学士学位,尔斯基论 胡作玄) 1649年当选为三一学院院委,1662年仼伦敦格雷沙姆几 何教授,1664年任剑桥首届卢卡斯教授,1672年任三 Bonae kong Jan 学院院长。 巴拿赫空间( Banach space) 种赋有“长 巴罗最重要的科学著作是《光学讲义》(1669)和《几度”的线性空闻,泛函分析研究的基本对象之一。数学分 何学讲义》1670),后者包含了他对无穷小分析的卓越贡析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多 献,特别是其中“通过计算求切线的方法”,同现在的求导丰富而生动的素材。从K,外尔斯特拉斯以来,人们久已 数过程已十分相近。他已察觉到切线问题与求积问题的十分关心闭区间[a,b上的连续函数以及它们的一致收
皱性。甚至在I9世纪末,G.阿斯科利就得到[ab]上 空闻,人们具体地构造出它们的基。但是,是否每个可分 族连续函数之列紧性的判断准则,后来十分成功地用于的巴拿赫空间都有基的问题,直到1973年才由P恩夫洛 常微分方程和复变函数论中,1909年F里斯给出CE0,1]举出反例确有可分雨没有基的巴拿赫空间 上续线性泛函的表达式,这是分析学历史上的重大事 对偶空间设∫(x是从实(或复)域F上赋范线性 件。还有亠个极重要的空间,那就是由所有在[0,1上p空间x到F上的线性函数。若f(x)还是连续的,则 次可軸贝格求和的函数构成的L空间(1<p<∞)。在称∫(x)为连续线性泛函。一切如此的∫(x)按范数f 1910~1917年,人们研究它的种种初等性质;其上连续sup!∫(x)l构成的巴拿赫空间,便称为x的对偶空间 ˉ线性泛函的表示,則照亮了通往对偶理论的道路。人们(或共轭空间)并记作X“(或x”) 还把弗雷德霍姆积分方程理论推广到这种空间,并且引 许多数学分支中都会遇到对偶空间,例如矩量 进全连续算子的概念。当然还该想到希尔伯特空间正是题、偏微分方程理论等。些物理系统的状态也常与适当 基于这些具体的、生动的素材,S.巴拿赫与N.维蚋相空间上的线性泛函联系在一起。至于泛函分析本身,对 且在不到10年的时间内便发展成一部木身相当完美而偶空同也是极为重要的概念通过x“,能更奸地理解X 又有着多方面应用的理论 定义对于实(或复)效域K上的线性空间X,若有 (9)上的连续线性泛函∫(x),便恰有上的一个复正则 X到R的函数山使得:O!x≥0,‖x‖=0必须且 波莱尔测度使 只须x=0,②对a∈K,有al-1al,⑥‖x+纠≤ (x)=x(t)da(x∈C(a), 思x+}张!,则称X为线性赋范空间,而称‖x‖为范数 并且‖∫=在Ω上的全变差{|。许多人把这结果称作 显然,范数这概念是邳中间量长度概念的推广。如同里斯表现定理。它是发屦近代箅子谱论的重要工具, 有理数系可完备化为实数系,任何线性赋范空间也可按有着其他多方面的应用。这定理也可推广至局部紧斯 照距离d(x,3)=‖x-驯作为度量空间而完备化 多夫空间许多测度来源于此定理 完备的娬范线性空间称为巴拿赫空间。例如,设Ω 设9上所有复的正则波莱尔测度为m(),对每个 为紧豪斯多夫空间,令C()表示9上一切实(或复)值Ⅱ∈m(),由(1)式定义的∫(x)是C(a)上的连续线性泛 连续函数的全体,则C()关于范数x= suply(t)|成为函,定义!=全变差|叫,则C(a)保范同构于m()。 一个巴章赫空间。再如,设(H)是正测度空何,令LP(口, 例如,于正测度n,有L(Q,叫(1<P<∞)上每个连 n表示口上一切p(p>1次可求和函数的全体,则LP(a,绩线性泛函f(x)皆可表为 )关于范数x‖ ix(t)jμd))成为一个巴拿赫 f(x)=x)z(t)a(d).(当x∈L"D,)),(2) 空间特别取口=1,2,),(m)-1(当m1、23…)式中x()∈LQ,n),mb+-1,并且1-m。另 则相应的I"(,以)成为满足条件器|xl<∞的数列方面,由(2)式右端定义的泛函在[LP(D,)]中,总之 xn)2,的全体,而相应的范数为-(21x 《Ω,肚)]保范同构于L"(, 再如,于有限的正测度#有L(9,)上的连续线 一般记这个恃殊的L(#为。还如,设(O,,n是正性泛函∫(x)可表为 测度空间,对Ω上可测的函数f(t),如果有正数a,使于 9几乎处处有!∫(r 则称f(t为本性有界的函数, z(t)x(t)a(dt)(当x∈L1(Ω,4)),(3) 而记上述诸a之下确界为 ess sup!()1。令L(表示式中x()∈L(,),并且旧=z。另一方面,由(3) 口上之本性有界函数的全体,则L°(9)关于范数‖f 定义的泛函在[L(9)]中。总之,[L(9,)]保范同构于 L"(Ω,#)。 ess supi∫(t!成为一个巴拿赫空间。特别对={1,2 由于古典分析发展的要求,也因为巴拿赫空间理论 3,…}而n(n)=1(n=1,2,3,)则相应的L(Ω)即有界本身的需要于是人们研究x与X之间的关系这便是对 数列(xn}的全体,而相应的范数为x- sup x,。 偶理论。这理论的主要工县是哈恩-巴拿赫扩张定理:设 般记这个特殊的L()为m。 M是线性赋范空间ⅹ的闭线性子空间,则①对M上的连 若1imnx-x=0,则称{xn}强收敛于x,简写作续线性泛函g(x),恒有fx)∈x“使f(x)-頭x),当x∈M, 又旧=lgl‖(lgx= sup ig(x)1);②对X中任给的 基作为完全就范直交函数系的推广,设{en}1是,x0≠0,恒有∫(x)∈X使f(x)=x‖,"f‖=1;③对任意 巴拿赫空间x中的序列如果对每个x∈x都恰有一数列x0gM,恒有∫(x)∈x当x∈M使得f(x)=0,∫(x)=1 {;}2-x使“→x,则称en}m为x的基,而称x为并且肌一】,这里d=infx-m>0。 有基的空间。凡有基的空间一定是可分的,对于许多可分 设∫x∈x,一般称点集H={x∈Xf(x=常数C
为x中的团超平面;设M是x的子空间,后X则称点集续必须且只须T是有界的,即P,T叫<这时还称 下的几何解释,若X中的线性簇m与非空的开凸集K不,T划为T的范数,记作里 相交,则有闭超平面H使Hm而H∩K=必, 设x与Y都是数域E上的线性空间,A与B都是从 白反空间对巴拿赫空间X有对偶空间x“,而x*X到Y的线性算子,对A与B可定义如下的运算:(A+ 的对偶空间则记作x,任给x。∈X,通过x”*(x B)x=Ax+Bx,(aA)x=a(Ax),当x∈X,a∈F;又定义 x(x)(当x∈X“)便确定一个x∈X种,并且‖x AB)x=A(Bx),x∈X,当A与B都是从X到X的线性 lx。l这表明存在映射x把x保范地嵌入到x中。一般算子时。若线性算子T是单射的,则将它的逆映射记作 r(X)x*如果r(X)=X解,则称X为自反空间。典型2,而I=x则称为单位算子或恒等算子。 的自反空间是L0,1](1<p<∞),但L0,1与C0,1 设化为度量空间,ECX,对x∈E若有小球{xrd(x 都不自反。 x)<6}CE,则称x在E的内部。若点集S的闭包3之内 弱收敛无穷维巴拿赫空间的单位球是不可能按范部是空的,则称S在中无处稠密。若度量空间建中的点 数拓扑为紧的,因此许多有限维空间的命题都不能推集E=US,而每个S。皆在中无处稠密,则称E为建 广到一般巴拿赫空间。针对这一点,人们引进弱收 中第一纲的点集。印非第一纲的点集叫做第二纲的。显 的概念。对X中{x}n:与x,若于任何x∈X*都有然全体有理数在实轴上便是第一纲的。可以这样想:第 limx“(xn)x“(x),则称{xn}-1弱收敛于x,记作一纲的点集是比较稀疏的。 w-lim x. xn 贝尔纲定理完备的度量空间必定是第二纲的。这 是区间套定理的发展和提高,在证明许多存在定理时是 埃馅莱因-什穆利扬定理巴拿赫空问Ⅹ是自反的;很有用处的。在勒贝格关于奇异积分与O.特普利茨 必且只须x中任何按范数有界的点列都含有弱收敛关正则求和法以及哈恩关于插值理论等方面的研究之 的子序列 后,巴拿赫与珏·斯坦豪斯在1927年给出共鸭定理。 利用自反空间的这个拓扑性质,便能证明如下的结 果:设(x)是自反空间x之有界凸闭集C上弱下半连续间,Y是线性赋范空间,(》e是一族从x到Y的有 的有界泛函,则J(x)在C上达到最小值。 线性算子。如果s即<∞当x∈X则 suprA<∞ 应该指出,正是为着使得一些重要的命题得以成立 人们才引进种种类型的巴拿赫空,自反空间就是一个这是有着多方面应用的重要定理,是纲定理的直接推论 鲜明的例子再如与上述极值问题的唯一性有关,有所渭和纲推理些切相关,还有极著名的开映射定理。 球状空间;与拉东-尼科迪姆定理相关,则有一致凸空间 开映射定理设X与Y都是巴拿赫窒间,若T是从 等等 X到Y的有界线性算子,且TX=Y,则T变X的开集为 Y屮的开集。这在有限维空间是平凡的,但在无限维空 人们曾经长久地停留在序列弱收敛上。其实即使对间却是极为深刻有力的工具。它有下列重要推论 受首先看到这一点,并且在1930年就使用弱邻域概念 巴拿赫逆算子定理设X与Y都是乜拿赫空间,若 b飞上使得一切x∈X“都连续的最弱的拓扑称为xT是从x到y的有界线性算子,且T是一对一的,又 弱拓扑全体N(x,x,…,x;E)={x1x(x)|< rX=Y,则T‘连续 1=1,2,…,n},其中x∈X,6>0,n=1,2,…构成X在 开映射定理还有一个关于闭算子的重要推论。设 O点的一个弱邻域基。 y=E是线性的,若从 X“上使得一切卯x)=x*(x),x∈X都连续的最弱 lin Tx 的拓扑称为X上的弱“拓扑。全体 N(x1,x2,…,xn;)={x"slx(x)!<E,i1,z,…,n},恒有x∈()且Tx=3,则称T为闭算子闭算子在应 其中x∈X,E>0,n=1,2,…构成X在O点的一个 用上是非常重要的概念。表面上,闭性与连续性很框似, 邻域基。 其实差异不小,因为连续性是从较少的假设xnx到 线性算子设T是从实(或复)域F上的线性空间X更多的结论Tx→且Tx=孙一般称XxY中之 中线性流形到F上的线性空间Y的映射,如果 G(r)={<x,Tx);x∈$(T)}为T的图像。易见T是闭 T(cx+如)=ax+r(x∈而a,b∈F) 算子,则G(T)按范数<x,3>l=+是闭的点集 则称矿是线性算子,为T的定义域,记作$(T)。特别 间图像定理设X与Y郜是巴拿赫空间,若T是从 当=X而Y为数城F时,T便称为X上的线性泛函 X到Y的线性算子,则『是有界的必须且只须G(T)是 设XY都是赋范线性空间,x∈9(),若对叨(T)中闭的 任何收敛于x的序列{x}:都有Tx→Tx则称T在 共轭算子设X与Y都是巴拿赫空间。若线性算子 x处连续。设习()=x,则线性算子T在X上每点都连T的定义域)在X中稠密,而T的值在Y中如果对
y∈Y有x,∈X“使当x∈》()时,Tx)=xx)则 x* bat jishu 由y唯一确定,记作里yx,一般称T′为T的共轭算百鸡术中国古代解一次不定方程的一种方法。南 子或对偶算子。特别当T是从X到Y的有界线性算子时,北朝时的数学著作《张丘建算经》(约成书于5世纪,后收 则T”也是有界的,且『=‖Tl‖。显然,共轭算子是转置人《昇经十书》卷下最末一题为:“今有鸡翁一直钱五,鸡 矩阵的推广,所以它自然地在研究方程Txm时起着重母一直钱三,鸡雏三直钱一。凡百钱买鸡百只。问鸡翁 要的作用。 母雏各几何”。史称“百鸡问题”。设以x表鸡翁数,y表鸡 设A为巴拿赫空间x上的线性算子,称N(A)={x;母数,2表鸡雏数,依题意可得 Ax=0}为A的零空间,E(A)={;=Ax,x∈分(A)》}为 x十+z=王00, A的值域。从线性方程组的解,已经看到A与A之值域 5x+3+z=100, 与零空间的密切关系,后来在弗雷德霍姆理论中又再次这是一个一次不定方程组关于这一问题的解法,原书仅 看到这点。 对点集McX所谓M在x中的零化子即 有“鸡翁每增四,鸡母毎减七,鸡雏每益三”的简单术 M°={“∈X;y“(x)=0,当x∈M 文,并列出全部正整数答案(4,18,78)(8,11,81)和(12 而于点集G∈x则G在x中之零化子即 4,84),至于“增四”、“减七”、“益三”的根据则没有叙述 G-{x∈X;y"(x)=0,当驴“∈G}。 传本《张丘建算经》附有北末谢察微的术草,其方法纯属 设A为巴拿赫空间上有界线性算子,则 偶然 N(A)=0(A),N(A')=R(A)a, 北周甄鸾在《数术记遗》的注文中列举两道百鸡问题 及各一組解,作为“计数”(即心算)的实例,对其算理则未 (A), RCA)CN(A) 若又设X自反,则 南末栖辉在《续古摘奇算法》(1275)中提到两种解 R(A·)=N(A)° 法,他声称一种出于《瓣古根源》、一种出于另一佚名写本 阳值城定理设X与Y是巴拿赫空间,而T是从x(二书均已失传》;第二种解法乃先固定某未知数,由此 到Y的闭线性算子,且$()-x,则下列命题等价 将百鸡问題化为“鸡兔同笼问题",相当于求解二元一次 ①R(T)在Y中是闭的 方程组。 ②E(r)在X中是闭的, 清代学者研究百鸡问题的很多,其中较突出的是骆 6R()=N() 腾凤、丁取忠和酎曰醇。骆腾凤在《艺游录》(815)中提出 O R(T)=N(T)o 了一个十分巧妙的解法:先由题设方程组消去z得7x 参考书目 4y=100,两边同除以7,又得4g=2(mod7);另一方面, S. Banach. Theorie des Operation graf je Mathematycene, Warsaw, 1932 c飞、。;ea;res,Mom.因有4y=0(mo4),于是得“今有物不知数(4y),以七 N. Dunford and J.T. Schwartz, Linear Operators, Par 除之,余二以四除之,恰尽”的问题,可由“大衍求一术 I. General Theory, Iaterscience. New York. 1958 (见孙子剩余定理)解决。丁取忠《数学拾遗》(1851)的解 A.E. Taylor and D.C.Lay. Introduction to Functiona!法与杨辉所记第二法类似,只是他先假定鸡翁无,求得鸡 Analysis, John Wiley Sons, New York. 1979 江泽坚) 母数25,鸡雏数75;再由3+3z分析,若z加3,减3, 则鸡数不会变,而钱数则少8;又因为鸡翁的单价比鸡母 巴塔尼(al- Battan约858~929)中世纪阿的单价多2,可以设想再将4只鸡母换成4只鸡翁,那么 拉伯天文学家、数学家。出生于幼发拉底河上游对天文总的鸡数和钱数都不变,这样就解释了“增四”、“减七”、 学和星占术都十分熟悉的萨比教徒世家。巴塔尼的主要“益三”的道理,并得出第一组解(4,18,78)。时日醇综合 科学成就是在天文学方面。他精于观测,并据此改进了骆、丁二氏的解法,作《百鸡术衍》1861),使这一古老问 古希腊托勒密的若干数据。他所著《萨比教徒天文书》全题灿然大著 面接受了托勒密天文体系,这是阿拉伯科学史上的一部 百鸡术在世界上流传很广泛,印度的摩 重要蓍作。巴塔尼的另一部著作《论恒星的运动》在欧洲纪)、婆什迦罗第二(12世纪)、埃及的阿布·卡米尔(9世 流传较广,使他为欧洲人所熟知 纪)意大利的L斐波那契(13世纪)以及阿拉伯的卡西 巴塔尼的数学成就主要是在三角学方面,这些成就(15世纪)著作中有类似的问题,它又是中外数学交流的 都是为了天文计算方面的需要而被记述于他的天文学著一个重要线素,在中世纪世界数学史上有着特殊的意义。 作之中的。他用半弦代替古希腊人的整弦,给出了以度 (刘钝 为间隔的正弦表(0°~90°)和阿布·瓦法同时,他用关于 Banlewel 日晷表长和影长的计算给 和余切的概念并给出了班勒卫,P.( Paul Painleve1863~1933) 正切的函数表。在他的蓍作中,还可以见到关于球面三法国政洽家、数学家,法国航空创始人。1863年12月5日 角的余弦公式的记述。 枉石然 生于巳黎,1933年10月29日卒于巴黎。曾受教于巴黎
等师范学校和巴黎大学,1887年获数学博士学位,曾空串,使之成为么半群X。 在里尔大学、巴黎大学及巴黎 综合工科学校任教,1900年被 如果一半群的元索的个数是有限的,那么这个半群 称为有限半群。任何有限半群S必含有幂等元素,而且 选为法国科学院院士。他曾致 对于任何a∈S,都有一个形式为a的幂等元素 力于航空科学,是一位航空理 如果半群S的二元运算是可交换的,即对于a、b∈S 论家,后转入政界,曾任部长, 恒有a#b=b“a,那么S称为可交换半群。在可交换半 1917年在第一次世界大战艰 群中,对于正整数n,有(ab)甲一aP#b。 苦时期和1925年财政危机时 如果半群S中存在一个元素a,使得S={a,a2, 期曾两度出任法国总理。 },那么S称为由a产生的循环半群,简称为循环半 班卫的工作涉及代数几 群。循环半群显然是可交换半群。若循环半群的元素个数 何、代数微分方程及分析力学 是无限的,则a的所有的幂都是不同的。若循环半群的元 等领城。由于研究积分只有固定分枝点和本质奇点的二素个数是有限的,则存在两个 阶微分方程,导出了6种新的超越函数,现今称为班勒卫正整数r和m,使得=aw 超越函数。他的数学才华受到国琢公认 并且S={a,a2,…,aba at-},r称为a的瞬态指 数,m称为a的周期,如图所 半群( semigroup)群概念的推广。一集合S 为半群,是指S的所有元素对于S上的一个二元运算 a}是8的循环子半群如 满足结合律,即(ab)·c=a·(b*0)b、c∈S.例如,果n是m的偕数,满足r≤n≤数 整数集合对于加法运算是一半群;集合A的所有子集合r+m-1,那么￠是幂等元素, 所有变换7(4)对于变换的乘法,是一半群樂合A上的半群8的一个子集W对于S中款 组成的集合S(A)对于集合的并,是一半群;集合A上的且是半群K的单位元素如果派 所有二元关系R(A)对于关系运算的乘法,是一半群。设规定的二元运算而言仍是一个 有服循环半群酌 X是一字符集合,X是X中的元素组成的有限字符串的半群,那么W称为S的子半群 听态指数和周期 集合。若对X中的两个元素a-a1qx…anB=b2b定 S,和S2是两个半群,∫是从S到S的一个映 叉二元运算舞如下,“#B=a12…abb2…b,则x对于射,如果f是保运算的,即对所有的a、b∈S有∫(ab) 运算是一半群,并称之为由X生 ja)“∫(b),那么∫称为同态映射。当f为满射时,则称 对于半群,广义结合律成立,即在有限个元素相乘S2是S1的同态像。当∫是双射时,则称f是同构映射 时,不论以什么样的方式结合,只要元素排列的次序不此时就说半群S1和S2是同构的,记为S1当2。如果S2 变,结果总是相同的。 是一个幺半群,含有单位元素e2,那么把1中映成e的 在半群中,如果对于正整数7定义一a婚a“…兼a,那些元素组成的集合称为同态映射∫的核,记为Ker 如果一半群S有单位元素e且有,即对于任何 那么对于正整数mn有四“四一a,(a)”m2m。 a∈S总有元素b使得a#b=b舞如e,那么半群S是一个 若半群中存在元素e,使得对于所有的a∈S,都有群。如果半群S的一个子集A满足条件SA∈A,那么子 ea=a,则e称为半群的左单位元素。同样可定义半群集A称为S的左理想。同样可定义右理想。若A非空且 的右单位元素。如果一半群既有左单位元素,又有右单A≠S,则称A是S的真理想。若半群S无真的左理想,则 位元素,那么这两个元素必是同一个元素;这个元素称为称A是左单纯的。同样可定义S是右单纯的。 半群的单位元素。若一半群中存在元素Z,使得对于所有 个半群是群的充分必要条件为:它既无左真理想, 的a∈S,都有Za=z则Z称为半群的左零元素。同样又无右真理想。一个有限幺半群是群的充分必要条件为 可以定义半群的右零元素。如果一半群既有左零元素,又单位元素是这个半群的唯一幂等元素。 有右零元素,那么这两个元素必是同一个元素,并称之为 设R是半群S上的一个等价关系,如果对所有的 半群的零元素。若半群中的一个元素x满足条件x*x=z∈S,当x时总有x#2z,那么等价关系B称为右 x,则x称为半群的幂等元素。显然,单位元素和零元素不变的。同样可定义左不变的等价关系。如果半群S上 都是幂等元素 的等价关系R既是左不变的,又是右不变的,那么B称 有单位元素的半群,称为么半群。如 半为S上的合同关系 群S不含单位元素,那么可以给它补充一个单位元素e 设E是半群S上的合同关系,集合S/B是S在关系 使它成为么半群S-SU{e},其中S的二元运算已扩R之下的等价组集合,[x]是S中和x等价的元素组成 展到$上,即对所有a∈S,恒有ea=ac=a,并且的等价组。若把等价组之间的二元运算定义为[x e=e。在字符集合X上的字符串半群x中,可以补上[=[x2,则S/是一个半群。设Mx是如下定