且满足下面两个条件:①集合G中任意两个变换的乘积 埃尔明根纲领的提出,正意味着对几何认识的深化 仍属于G;⑧集合G中每个变換必有其逆变换,而且这它把所有几何化为统一的形式,使人们明确了古典几何 个逆变换也属于G,则称G为M上的一个变换群。 所研究的对象;同时显示出如何建立抽象空间所对应几 若从一个已知变换群G中取出一部分变换,其全体何的方法,对以后几何的发展起了指辱性的作用,故有 也构成一个变换群G1则称G1为G的一个变换子程 深远的历史意义。 由定义易知:平面上或空间中的运动集、仿射变换 参考书目 群、仿射群射影群等等;运动群是仿射群的一个子群,运193,、陈奕培编:“射影几何,高等教育出版社,北京, 集、射影变换集等等各构成一个变换群,分别称为运动方德者 动群和仿射群都是射影群的子群。 苏步青编:《高等几何讲义≯,上海科学技术出版社,上海 1964 给定空间M和它的一个变换群G,若在G中有一个 (方植) 变换,把图形a变到图形b则称a与b是等价的。从变A' ermine 换群的定义可推出: 埃尔米特,C.( Charles hermite1822~1901) 若图形a与图形b等价则图形b也与图形a等法国数学家。1822年12月24日生于法国洛林,1901年 价事实上,若图形a与b等价,则群G中必有一变换T 1月14日卒于巴黎。1842年秋 使T(a)=b;于是Tb)=a,然而·属于G,这表明, 入巴黎综合工科学校。1847年 G中有一变换把b变到a,因此,b与a等价。 通过学土学位的考试。1848年 若两个图形a和b都与第三个图形c等价,则a 任巴黎综合工科学校的教师。 与b也互相等价。事实上,若a与c等价,则群G中必 1856年被选为法国科学院院 有变换T使T(a)=C;又若b与c等价,则G中必有变换 士。1869年成为巴黎综合工科 S使S(b)=c,从而S"(c)=b,因此,ST(a)=b,所以 学校和巴黎理学院教授。他还 图形a与b等价。 是许多国家的科学院的荣誉 不文量克莱因把空间M中图形的等价性质称为几 何性质或不变性质,而且把几何性质与在已知群G中任 埃尔米特是继AL柯西 意变换下不变的量结合起来,这些不变量显然是一切等之后法国杰出的分析学家。他的主要工作是:证明了 图形所共有的。在某一群G中一切变换下的所有不变e的超越性及用椭圆函数解一般五次方程。他对代数型 性质称为从属于G的性质,研究从属于G的性质的几何理论、二次型的算木理论、椭圆函数论和阿贝尔函数论均 称为从属于G的几何。 有重要贡献。有许多以他名字命名的成果,如埃尔米特 克莱因的思想克莱因把各种几何看作是研究它们型、埃尔米特矩阵埃尔米特多项式。他的主要著作收集 所从属的各种群的不变性质的理论,使得在19世纪80在4卷本的《埃尔米特著作集》1905~1917)中,由.皮 年代所发现的各种几何之间显示出更加深刻的联系,他卡编辑出版 (李炳仁) 在著名的《埃尔朗根纲领》里提出了这个群论观点。在 这里引出了技照变换群来进行几何分类的思想一 At'ermlte chazhi duoxiongshl biln 量性质,研究度量性质的几何叫做度量几何(欧氏几m游插值多项式逼近( approximation by 埃尔朗根纲领思想。例如:经过运动不变的性质就是度埃尔米 e interpolation poly nomials)埃尔米 何);经过仿射变换不变的性质就是仿射性质,研究仿特插值是一种常见的插值方法。假设在区间[a,b上给定 射性质的几何叫做仿射几何;经过射影变换不变的性质了n个互不相同的点x1,x…,x以及一张数表 就是射影性质,研究射影性质的几何叫做射影几何,等 等。在运动群之下,距离、角度、面积、平行性、单比、交比 3°),B1),…,y-1), 都保持不变;在仿射变换下,距离、角度、面积都改变,但 同方向线段的)单比、平行性、共线性、交比,则保持不 变;对射影群来说,单比、平行性都改变,但共线性、交比记m一a+吗+…+《。早在1878年C.埃尔来特就证 保持不变。这是因为运动群是仿射群的一个子群,而仿·明:存在唯一的次数不高于m-1的代数多项式H(x), 射群是射影群的一个子群 使得 根据以上所述,在某一变换群之下的不变性质必是 H)(x)=3)(s-0,1, 它的子群的性质,但反过来未必成立,就是说,群越大则常称H(x)为表(…)的以{x},为结点组的埃尔米特 其几何内容越少群越小,则其几何内容越多。例如,在插值多项式。如果定义在[b上的函数∫(x)在x(k 欧氏几何中可以讨论仿射性质(单比、平行性等)而在仿1,2…n)处有呸2-1阶导数,并取y)一f(x),则 射几何中讨论某些度量性质(如距离、角度等)是没有意称相应的H(x为∫x)的以{x}t为结点组的(a 冖)阶埃尔米特插值多项式。作为特殊情况,若
诸k都为1,则H(x)就是∫x)的拉格朗日插值多项定结点组{x}1是取在开区间(-1,1中的,而2n+1 式,若n=1,则H(x)为∫x)的1-1阶泰勒多项式 次代数多项式Qn+1(x)满足条件 最使人们注意的是诸∝都为2的情况,这时H(x)为次 2m+1(f,x)=f(x)〔k=0,1,…,n+1 数不高于2-1的代数多项式。如果写 2n+1(f,xh)=0 u(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn), 这时,如取{x和}为X(x)的零点全体,则 W,(r) (a-xx0(E,) An(x)=(1 当然也可以考虑仅在一端插值的情况。然而,倘若将端 x))(x-石)l(x) 点作为结点,又会发生剧烈的变化。例如,取 则五〔x)可表示为 ,(a)= 2 yfo'A(x) 则以{xn}2为结点组的埃尔米特费耶尔插值多项式 序列E+x(,x),对于f(x)=x2这样好的函数,也会 在这种情况下,常取y=∫(x)(k=1,2,…,n),而给(-1,1)中处处发散。而取 y1)以适当的限制。这个想法大致起源于拉格朗日插值 xn=cosn+1(k=0,1,…,n+1) 多项式的研究。为了改善插值多项式的逼近度,需对其为结点组时,相应的Fn+(f,x)对于连续函数f(x)却有逼 导数作一定的要求 为了简单,考虑定义区间为[-1,1]的情况。L费耶近 阶 尔首先让-0,称 So(f,vxx 埃尔米特插值多项式可以从各方面扩充。例如,可以 在某些结点处放弃对某些阶导数的要求,这就是所谓伯 为函数∫(x)的埃尔米特费耶尔插值多项式。如果取切克夫插值。其中常见的是(0,2)插值也即对于给定的 比雪夫多项式Tn(x)=Os( n arc oos a)的零点全体为结结点组{xn)-1以及数组{akn}2-,;(Bn}-1,要确定 点组,则有绝对常数c使得对于[-1,1上的任一连续个次数不高于2n-1的代数多项式S2-1(x)使得 函数∫(x)都有 S2n-(xk)=“4n,S21-1(xn)=Bn, if(a)-Fn(f,x) k=1,2…,n)。当取hn=f ,考虑S2n-1(f,x) 对∫(x)的逼近,也可以考虑埃尔米特播值多项式对函数 nE o(NEx+k) 及其导数的同时逼近。例如,取 式中一1≤x≤1,(,为∫(x的连续性模。然而,用 F,x逼近∫(x)有其饱和性,逼近阶最多为1/若为结点,对于-1,1]上的可微函数,考虑 f(x)-F(,x)=o(n) H,(f,x ∫(xhn)Aa(x) 关于[-1,∏上的x均匀成立,则∫x)是个常数。但是对 于其他结点组,会有较大的差异。例如,取勤让德多项式 ∑f(xhn)(x-xkn)1n(x) X(r)2nt drn(xi-1)" 对∫(x及∫(x)的同时遘近。此时有 Hn(∫,x一f(x)]+|Hfx)-一fx)! 的零点全体为结点纽时,对于[一,1的连续函数 f(x),相应的F,x仅可能在(-1,1)中内闭一致收敛 于f(x),为了使n→∞时,(,x)在[-1,1上一致收敛至于对于无限区间或周期函数的情形,自然也可作类似 于f(x),充分必要条件是 的讨论,只是在周期的情形,有时插值三角多项式却未必 存在。 ∫(±1) f(t)dt 至于f(x)的(a12…1)阶埃尔米特插值多项式 这种在区向端点发生奇异的情况并非稀有,它促使人们Hn(x)对∫(x)的逼近,如果f(x)在[a,b上有m阶导数, 去改变端点的插值情况。P.图兰首先提出在区间端点则在[b中有与x有关的点使得 x。1,x=-1处取值与函数取值相同的要求。从而 构造了拟埃尔米特-费耶尔插值多项式Q2n+∫,x),即假 ∫(x)-H2(x)=f(),on(x
式中(x)=(x-x1)“1(x-x2)°2…(x-xn)°”。 4月16日生于柏林。中学时已独立进行数学研究。1843 (謝庭落) 年进入柏林大学学习的第一年,受到A.von洪堡、A.L Aijl gudai shuxue 埃及古代数学( ancient mathematics in Egypt) 内在克雷尔杂志上发表25霖 埃及是世界上文化发达最早的几个地区之一,位于尼罗篇论文,次年在CG.J.雅可Q 河两岸,公元前3200年左右,形成一个统一的国家。尼比的建议下,E.E.库尔搅 罗河定期泛滥,淹没全部谷地,水退后,要重新丈量居他布斯劳大学荣誉博士称 的耕地面积。由于这种需要,多年积累起来的测地知号,不久成为柏林大学讲师 识便逐渐发展成为几何学。 1848年参加革命活动,被捕并 公元前2900年以后,埃及人建造了许多金字塔 受迫害致使健康受损。1852 为法老的坟。从金字塔的结构,可知当时埃及人已憤年10月11日因肺结核在柏林 得不少天文和几何的知识。例如基底直角的误差与底面 早逝 正方形两边同正北的偏差都非常小(参见彩图插页第 艾森斯坦主要贡献是数论及有关的椭跏函数论。早 ) 期工作涉及三次、四次及高次互反律、三元二次型。后来 现今对舌埃及数学的认识,主要根据两卷用偕侣文研究椭圆函数论,目的也是研究高次互反律。艾森斯坦 写成的纸草书(参见彩图插页第7页);一卷藏在伦敦,级数是矸究模形式和模函数的重要工具。他的多项式不 叫做菜因徳纸草书,·卷藏在莫斯科。埃及最古老的文可约判别法是这方面的重要成果。晚年他研究三次型。 字是象形文字,后来演变成一种较简单的书写体,通常叫他的著作收集于《数学著作集》(1975)中 僧侣文。除了这两卷纸草书外,还有一些写在羊皮上或 胡作玄) 用象形文字刻在石碑上和木头上的史料藏于世界各地。A' ertel 两卷纸草书的年代在公元前1850~前650年之间,相当爱尔特希,P.( Paul Erdos1913 于中国的夏代 牙利数学家。1913年3月26日生于布达佩斯数学教师家 埃及很早就用十进记数法(见记数法),但却不知道庭,犹太人。从来没有固定的职位,也不定居在一个地 位值制,每一个较高的单位是用特殊的符号来表示的。例方。30年代在欧洲游历,第二次世界大战时期在美国度 如11,象形文字写成e∩1而不是将1重复三次。埃过。战后则在全世界旅行,与各国数学家共同研究数学 及算术主要是加法,而乘法是加法的重复。他们能解决 題。他是世界上多产的数学家之 已发表1000 些一元一次方程的问题,并有等差、等比数列的初步知多篇数学论文。工作领域包括数论、集合论、组合数学 识。占特别重要地位的是分数算法,即把所有分数都化图论、概率论及其应用、数理逻辑等。由于他在这些领 成单位分数(即分子是1的分数)的和。菜因德纸草书用域的杰出成就,以及他个人对全世界数学家的合作和推 很大的篇幅来记载2/n(n从5到I01)型的分数分解成单动,1984年获沃尔夫奖。他是匈牙利科学院院士。 位分数的结果。为什么要这样分解以及用什么方法去分 张奠宙) 解,到现在还是一个谜。这种繁杂的分数算法实际上阻,A' ershu 碍」算术的进一步发展。 奥尔斯姆,N.( Nicole Oresme约1325~1382) 纸草书还给出圆面积的计算方法:将直径减去它的法因数学家。约1325年生于卡昂附近,1382年7月11 1/9之后再平万。计算的结果相当于用3.1605作为圆周日卒于利雪。早年就学于巴黎大学。后在鲁昂和巴黎等 ,不过他们并没有圆周率这个概念。根据莫斯科纸草地教学。1362年任牧师。1377年成为利雪的主教。他 书,推测他们也许知道正四棱台体积的计算方法。总之,对数学的贡献是在《比例算法》约1360)中引人分指数的 古代埃及人积累了一定的实践经验,但还没有上升为系记法和一些使用规则,在《论质量与运动的结构》(约 统的理论 1350)等书中为研究变化和变化率萌发了坐标几何思想 参考书目 尝试用坐标确定点的位置,并用图像表示变化中的量, A. B. Chece. The Rhind Mathematical Papyrus, Ma 对R.箭卡儿创立解析几何产生一定影响。他的《欧几里 hematical Association of America, Oberlin. 1979. M. Cantor, V oriesungen uber Geschichte der M athe matik 得几何问题》(约1360)等著作给出若干无穷级数的求和 B. G. Teubner, Leipzig, 1922 问题,发展了古希腊学者有关的极限思想。此外,在对 O. Neugebauer. The Exact Sciences in Antiquity, BrowN“变化”的研究中也涉及物理学和哲学的一些基本观点 Univ. Press, Providence. 1957 如热的强度、远动原理等。 王青建) (宗巨 Aoma Halyomu 艾森斯坦,F,GM.( Ferdinand gotthold max奥马·海亚婚( Omar Khayyam约1048~1131 Eisenstein1823~1852)德国数学家。1823年阿拉伯数学家、天文学家。生于波斯胡拉桑州内沙布尔
卒于同地。早年受到良好的教育,爱好诗歌,他的一些诗巴黎,1828年返回俄国。1830年当选为彼得堡科学院院 集流传至今。曾在内沙布尔天文台工作,和其他学者 土。曾在彼得堡科学院和许多高等学校任教。 起对当时的历法进行了一次改革。奥1·海亚姆最著名 他是俄国理论力学学派的创始人和彼得堡数学学派 的数学蓍作是《代数问题的证明》其阿拉伯文手稿和拉的奠基者之一。其科学研究及分析学、理论力学、数学 丁文译本已保存下来,近代被译成多种文字。此书定义物理、概率论、数论和代数学等多方面。他最重要的数学 代数学为“解方程的科学”,这定义一直保持到19世纪末。工作是在I838年研究热传导理论的过程中,证明了关于 书中还首次给出了奥马·海亚姆所创立的一种借助圈锥三重积分和曲面积分之间关系的公式(现称为奥斯特罗 曲线解三次方程的方法,这是代数与几何桕结合的前驱格拉茨基-高斯公式,又称格林定理,C.F.高斯独立地证 工作他还斫究过二项式的展开、开方法则、比和比例等明过这个公式),1834年,他又把这一公式推广到n重 冋题。详注过欧几里得的著作,他的《对欧几里得几何原积分的情形。他还得到了二重积分与三重积分的变换公 本中困难公设的注释》一书对东方数学有过积极影响 式;建立了有理函数的积分法—奥斯特罗格拉茨基方 (枉瑞芝) 法给出了非保守系统的一般变分原理的某些结果,并推 Aositeluogeloci jl 广到变分学的一般等周问题;引进了共轭算子的概念,证 奥斯特罗格拉茨基,M.B.( MHxaH冮BacHπb·明了某些算子特征函数系的正交性。 CHRy OcTporpaIckH放1801~1862)俄国数学 在力学方面,他对球形射弹的飞行进行了大量的理 家、力学家。I801年9月24日生于帕先纳亚,1862年 论研究和实验,提出了偏心射弹在空中运动的微分方 月1日卒于波尔塔瓦早年在哈尔科夫大学学习,虽然成还研究了天体力学和分析力学,首次证明了关于可能位 绩优异,但由于不信教而未获得毕业文凭。1822年留学移原理和最小作用原理的广义定理 杜烏芝)
浮谢兵 貴弗受-施坦定理关于BMO空间的研究,特别要 B 提出费弗曼和施坦的下述结果:哈代空间H(B)的对偶 空间为BMO空间,记作(H)请=BMO。可以说,由于这 个事实的发现,BMO空间便成为调和分析的重要角色 应用由于BMO空间是H的对偶空间,因此许多 BMO konglin 涉及H的问题通过这个对偶关系可以用BMO空间的性 BMo空间( BMO space)有界平均振动空间质去处理,于是MO空间就成为研究H许多问题的 的简称。这是1961年由F·约翰和L尼伦伯格在研究个新工具。例如,研宄算子T从H到L的有界性,要建 椭圆型偏微分方程的解时所引进的一类函数空间。它包立不等式 含着空间L(B),又是哈代空间H()的对偶空间(见 lT(l≤A‖f HP空问)。设∫(x)为定义于B上的局部可积函数,@为由(U)L°、(H")一BMO以及关系式 F中边平行坐标轴的任一立方体,1Q!为其体积,∫(x) ∫。Tax-J,r((为T的共轭算子) 同fx)在Q上的平均值fa= r(x)dx的偏差用可知 f(x)-fql表示,它在Q上的平均值 If(x)-faldx lT(∫,≤Afla{sup(qp)ao} 叫做∫(x)在Q上的平均振幅。如果∫(x)满足条件 于是,为使关系式()成立,只须证明 sP1QJ。f(x)-fldx< ‖T)mo≤A驯。 这就把研究算子从酽到L的有界性问题转化为研究其 就称∫(x)具有有界的平均振幅,并记作∫∈BMO由上述共算子从I到BMO空间的有界性问题了。另一个 定义看出,任一B上的有界可测函数必县有有界的平均应用是,BMO空间在许多调和分析问题的研究中,可以 振幅,但反之不一定成立例如,1gx|属于BMO空间,成为空间L的合适代替。例如,傅里叶分析中的许多古典 但它不属于D,这说明BMO空间和D有严格的包含的算子T具有从L到L的有界性(1<p<∞),也就是 关系LBMO 说不等式 BMO空阿与巴拿赫空间对任一∫∈BMO,如定义 Tf,≤C,‖f IIflMo-sUP 1Q.1/(x)-faldr, 成立。但当p=∞时,结论却不成立。其原因是由于当 f∈ⅳ时,经过算子作用后的像T不一定在L内。包 可以证明-mo为一准范数。事实上,lfo=0当且仅含关系 LCBMO使人们想到,映像T虽不在I内,但 当fx)为一常数。因此,当BMO空间中的两个函数f1有可能在BMO空间内如果这是正确的话,说明算子T 和∫相差一常数时,规定这两个函数是等同的,在这个有可能具有从I到BMO空间的有界性。例如希尔伯特 规定之下,·lno便成为范数,而且BMO空间为一巴拿变换H虽不满足 赫空间。 Hf‖l≤e, 约翰“尼伦伯格不等式由BMO空间的定义容易但成立着 验证:如果存在两正常数A和a使得对于一切的立方 HflBMo≤Cfl 体Q均满足 因此,当算子T并不具有从L·到L的有界性时,可以 1(x∈Q:lf(x)-fa|>a}l≤A|Q|exp(-aa), 考虑T是否具有从L到BMO空间的有界性。在这种意 式中左边为勒贝格测度,那么∫∈BMO。约翰和尼伦伯格义下,BMO空间起到了代替L的作用。 指出上述不等式本质上可以用来刻画BMO空间的特征。 (陆善镇) 这就是存在着两正常数A和a,使得对于钰一f∈BMO, Babilun shu 立方体Q∈即,以及a>0成立不等式 巴比伦数学( mathematics in Babylon) l{x∈Q:(x)-J|>a≤Aexp(-a/fxo)。西亚美索不达米亚地区(即底格里斯河与幼发拉底河流 貴弗受一施坦分解 个涉及BMO空间构造特域)是入类早期文明发祥地之一。一般称公元前19世纪 征是由C.L.费弗曼和E.M.施坦给出的:f∈BMO当至公元前6世纪间该地区的文化为巴比伦文化,相应的 且仅当∫=+,此处、U∈L,为U的希尔伯特变换 数学属巴比伦数学。这一地区的数学传统上溯至约公元 这个事实表明,判断一个函数是否属于BMO空间,可以前二千年的苏美尔文化,后续至公元1世纪基督教创始 纯粹用调和分析的语言来表述与刻画。因此,这个事实时期。对巴比伦数学的了解,依据于19世纪初考古发据 也就成为揭示BMO空间和调和分析之间内在关系的组出的楔形文字泥板,有约300抉是纯数学内容的,其中 带,并且这方面的进一步研究成为当代调和分析的重要约200块是各种数表,包括乘法表、倒数表、平方和立方 研究课题之 表等