定理2（等价无穷小替换定理） 设aa,0~g,且m2存在，剥lm尽-img =lim B 应用举例：习题1-73(1) 定理3设α、B、y为同一自变量变化过程中的等价无 穷小，则 (1)a~x(自反性)；(2)若a~B,则B~a(对称性)； (3)若~B,B~y,则a~y(传递性) 2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回 α ~ α′, β ~ β′, 且 α β ′ ′ lim 存在 , 则 α β lim α β ′ ′ = lim 证 : α β lim ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ = β β lim α β ′ ′ α α′ β β ′ = lim α β ′ ′ lim α α′ lim α β ′ ′ = lim 定理2 （等价无穷小替换定理） 设 应用举例：习题 1 －7 3 （ 1 ） 定理 3 设 α 、 β 、 γ 为同一自变量变化过程中的等价无 穷小，则 (1) α ~ α (自反性 )； (2) 若 α ~ β ，则 β ~ α (对称性)； (3) 若 α ~ β ，β ~ γ ，则 α ~ γ （传递性）．
常用等价无穷小：当x→0时，sinx~x,tanx~x, 1 arcsinx~x,arctanxx,1-cosxx2x n (1+x)-1~ux,ln(1+x)~x,e-1~x 例2求lim sin 5x 0x+x3 解：lim sin 5x =lim 5x 5x 0xx3 →0x+x3 =li x0x(1+x2) 5 lim 、 x→01+x2 =5 2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回 常用等价无穷小 : 当 x → 时,0 sin x ～ x , tan x ～ x , arcsin x ～ x , arctan x ～ x , − cos1 x ～ , 2 2 1 x + −11 n x ～ 1 x, n (1 ) 1 x μ + − ～ μx , ln(1 ) + x ～ x , e 1 x − ～ x 3 0 sin 5 lim . x x → x x + 例2 求 解 : 3 0 sin 5 limx x → x x + 3 0 5 limx x → x x = + 2 0 lim (1 ) 5 x x → x x = + 2 0 5 limx → 1 x = + = 5