把第列依次与第洌列1,第列,2.第1列对调 得D=(-1)(-1) n,j-1 nn (-ny1 nn
得 ( ) ( ) 1 1 1, 1, 1 1, , 1 0 0 1 1 i j i j i ij j i n nj n j nn D a a a a a a a − − − − − − − = − − 把 D 的第 列依次与第 j j 列，第 − 1 列， j − 2…第1列对调 ( ) 1, 1, 1 1, , 1 0 0 1 i j i j i ij j i n nj n j nn a a a a a a a + − − − − − = −
注意到 元素在行列式n-1 n1 中的余子式仍然是4在行列式 D=0 0中的余子式M l nn
11 1 1 1 0 0 j n n nj nn ij a a a a D a a a = 中的余子式 . Mij 1, 1, 1 1, , 1 0 0 i j i j i n nj n j nn ij a a a a a a a − − − − − 注意到： 元素 aij 在行列式 中的余子式仍然是 aij 在行列式
0 0 于是有 i-1 1 nn 故D=(-1) ai-1mn=(1*a;M n 即D=a 所以命题得证
( ) 1, 1, 1 1, , 1 0 0 1 i j i j i j i n nj n ij j nn a D a a a a a a + − − − − − = − ( 1) . ij ij i j a M + = − 于是有 1, 1, 1 1, , 1 0 0 i j i j i n nj n j nn ij a a a a a a a − − − − − , = aijMij 故 . D a Aij ij 即 = 所以命题得证
行列式按行(列)展开法则 定理行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和,即 D=a1A1+a12412+…+ D=a14,+a2y142;+…+an4(j=1,2,…,n 证利用行列式的性质四-拆分原理有 lI 12 n D=an+0+…+00+a12+…+0 0+…+0+aim n
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和，即 D = ai1Ai1 + ai 2Ai 2 + + ainAin (i = 1,2, ,n) 证 11 12 1 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 n i i in n n nn a a a D a a a a a a = + + + + + + + + + 二、行列式按行（列）展开法则 D a A a A a A = + + + 1 1 2 2 j j j j nj nj ( j n = 1,2, , ) 定理 利用行列式的性质四--拆分原理有