第三行到式的性质 一行列式的性质 二应用 三小结
课前复习 D 11 12 142-122 21 22 12 13 2,+,、, D=la aa 112233 1223031下a 13“2132 21 22 23 132231 ,、, 112332 122133 31 32 33 12 In D 22 ∑ (P1P2…pn) I PI2 P2 n2 nn
11 22 33 12 23 31 13 21 32 = a a a + a a a + a a a 13 22 31 11 23 32 12 21 33 − a a a − a a a − a a a 11 12 11 22 12 21 21 22 . a a D a a a a a a = = − 课前复习 ( 1 2 ) 1 2 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 ( 1) n n n n t p p p p p np n n nn a a a a a a D a a a a a a = = − 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a D a a a a a a =
行列式的性质 记 n 1222 D 2 D n n2 n 2n 行列式D称为行列式的转置行列式 性质1行列式与它的转置行列式相等 证明令D=det(a1 则D=e置行列式为D7=de() 按定义D=E(-1)anmn2…an=2(-1)ana2…am 故D=D
= T D nn a a a 22 11 行列式 称为行列式 的转置行列式. T D D 记 nn a a a 22 11 n n a a a 2 12 1 21 n n 1 2 a a a D = 2 21 1 n n a a a n n a a a 1 2 12 一、行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 证明 令 det( ) D a = ij 则 D a = det 的转置行列式为 ( ij) det( ) T D a = ji 按定义 ( ) 1 2 1 2 1 n T t D a a a = − p p p n ( ) 1 2 1 2 1 n t p p np = − a a a 故 . T D = D
性质2互换行列式的两行(列),行列式变号 证明设行列式D=∑(-1)an…am…am…am 其中1……j…m为标准排列 t为排列p1…p1…pn…pn的逆序数 e>r: D ∑(-)"an…amn…nv…am t仍然为排列1…P…P…Pn的逆序数 s为1…j…i…n的逆序数,易见为奇 于是D1=∑(-1)"an…am…am…am (-1)=-(-1) s+t 故D,=-D
于是 ( ) 1 1 1 1 i j n t s D a a a a p jp ip np + = − ( 1 1 , ) ( ) t s t + − = − − 1 故 D D = − . i j r r ( ) 1 1 1 1 i j n t s D a a a a p jp ip np + = − 1 i j n t 仍然为排列 p p p p 的逆序数 s 为 1 j i n 的逆序数，易见为奇， 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 证明 设行列式 1 1 ( 1) i j n t D a a a a = − p ip jp np 1 i j n t 为排列 p p p p 的逆序数 其中 1 i j n 为标准排列
推论如果行列式有两行(列)完全相同,则此行 列式为零 证明互换相同的两行,有D=-D, D=0. 性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都 乘以同一数k,等于用数k乘此行列式 推论行列式的某一行(列)中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面 推论行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则此行列式为零 请问若给行列式的每一个元素都乘以同一数 k,等于用“桊以此行列式
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数ｋ，等于用数ｋ乘此行列式. 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面． 推论 行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此行列式为零． 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行 列式为零. 证明 互换相同的两行，有 D = 0. D = −D, 请问若给行列式的每一个元素都乘以同一数 ｋ，等于用 乘以此行列式