第三型 元二次型的概念 二二次型的表示方法 三二次型的矩阵及秩 化二次型为标准形 五小结
n元二次型 1、定义 含有n个变量x,x2,…,xn的二次齐次多项式 f(x1,x2,…,xn)=a1+2a12x1x2+…+201nx1Cn +2x2+22 +∴+2 2n2 +a3x3+…+2a3nX3Cn …+a.x 称为二次型 n1 n 或记为∫(x,x,…,x)=∑nx2+2∑ i;+2 注 lsi<i≤n ①当常数项为实数时,称为实二次型; ②当常数项为复数时,称为复二次型
2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 ( , , , ) 2 2 n n n f x x x a x a x x a x x = + + + 1 2 , , , n x x x 2 22 2 23 2 3 2 2 2 2 n n + + + + a x a x x a x x 2 33 3 3 3 2 n n + + + a x a x x2 nn n + + a x 一、ｎ元二次型 1、定义 含有ｎ个变量 的二次齐次多项式 ① 称为二次型． 2 1 2 1 1 ( , , , ) 2 n n ii i ij i j i i j n f x x x a x a x x = 或记为 = + 注 ①当常数项为实数时，称为实二次型； ②当常数项为复数时，称为复二次型．
定义只含有平方项的二次型 f(x1,x2,…,xn)=a1x2+a2x2+…+amnx2 称为二次型的标准形 定义特别地,称 f(a 2 15~29-n x1+…+xn一x P p+q (p+q≤n 为二次型的规范形 二、二次型的矩阵表示 f(x1,x2,…,xn)=11+a12x1x2+…+a1nx1 1、二次型 +a2121+ 22~2 2n2~n 十 的和式表示 2 X taax n 2~n2 C,十·+x nn n ∑∑
2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 ( , , , ) n n n f x x x a x a x x a x x = + + + 2 21 2 1 22 2 2 2 n n + + + + a x x a x a x x + 2 n n n n nn n 1 1 2 2 + + + + a x x a x x a x 1 1 i j n n ij i j a x x = = = 二、二次型的矩阵表示 定义 只含有平方项的二次型 2 2 2 1 2 11 1 22 2 ( , , , ) n nn n f x x x a x a x a x = + + + 称为二次型的标准形． 定义 特别地，称 2 2 2 2 1 2 1 1 ( , , , ) ( ) n p p p q f x x x x x x x p q n = + + − − + + + 为二次型的规范形． １、二次型 的和式表示 ②
f(x1,x2,…,xn)=a1x1+a12x1x2+…+a1nx1xn 2、二次型 ta21x2rta22x2+.ta2nt2x 的矩阵表示 taX n a 2 x(n1x1+12x2+…+a1nxn +x2(a21+a2x2+…+a2n 十 xn(anx1+mn2x2+…+mxn 11 21 22 n n2 n
２、二次型 的矩阵表示 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 ( , , , ) n n n f x x x a x a x x a x x = + + + 2 21 2 1 22 2 2 2 n n + + + + a x x a x a x x + 2 n n n n nn n 1 1 2 2 + + + + a x x a x x a x = + + + x a x a x a x 1 11 1 12 2 1 ( n n ) + + + + x a x a x a x 2 21 1 22 2 2 ( n n ) + + + + + x a x a x a x n n n nn n ( 1 1 2 2 ) ( ) 11 11 11 1 21 22 2 2 1 2 1 2 n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x = ③
11 21 22 n nI n2 nn 则二次型∫=XAX.其中矩阵A为对称矩阵 三、二次型的矩阵及秩 任一二次型f-对称矩阵A 对应 任一对称矩阵A-二次型f f称为对称矩阵A的二次型;A称为二次型f的矩阵; 对称矩阵A的秩称为二次型f的秩 练习写出下列二次型的对称矩阵
11 11 11 21 22 2 1 2 n n n nn a a a a a a A a a a = 则二次型 ． T f X AX = 其中矩阵Ａ为对称矩阵. 令 1 2 n x x X x = 任一二次型ｆ 三、二次型的矩阵及秩 对称矩阵Ａ ⎯⎯→! 任一对称矩阵Ａ 二次型ｆ ⎯⎯→! 一一对应 ｆ称为对称矩阵Ａ的二次型；Ａ称为二次型ｆ的矩阵； 对称矩阵Ａ的秩称为二次型ｆ的秩． 练习 写出下列二次型的对称矩阵．