第亖幕向量组的秩 一向量组的秩 二判别准则 三向量组与矩阵秩的系 应用 五向量空间的基与维数
课前复习 1、基本概念 线性组合C 组合系数C ka1+k2a2+…+kn线性表示CE 线性相关Co 2、基本结论 线性无关C 定理向量组线性相关齐次线性方程组有非零解 定理向量组线性无关φ齐次线性方程组只有零解; 推论n个m维向量线性相关分l=0 推论n个n维向量线性无关分an|≠0 定理向量组C①冷至少有一个向量可由其余向量C 定理向量组CⅠO仲任何向量都不能由其余向量C
1、基本概念 1 1 2 2 r r k k k + + + 线性表示LE 课前复习 线性组合LC 组合系数CC 线性相关LD 线性无关LID 定理 向量组LD至少有一个向量可由其余向量LE ． 定理 向量组LID任何向量都不能由其余向量LE ． 定理 向量组线性无关齐次线性方程组只有零解； 定理 向量组线性相关齐次线性方程组有非零解. 2、基本结论 推论 ｎ个ｎ维向量线性相关 0 . ij a = 推论 ｎ个ｎ维向量线性无关 0 . ij a
定理如果向量组A=a1,a2,…,a,线性无关,而向量组 a1,2…,ar,B线性相关,则阿由A唯一线性表示 定理设向量组Aa1,a2,…,a1B:a1,a2…,ax,On1 若A线性相关则向量组B也线性相关;反之,若 向量组B线性无关,则向量组A也线性无关 定理设向量组Aa1,a12…,an,B:B1,月2,…,Bn其中 m+1, (i=1,2,…,n 若A线性无关,则向量组B也线性无关;反之,若 向量组B线性相关,则向量组A也线性相关
定理 如果向量组 线性相关，则β可由Ａ唯一线性表示. 1 2 , , , A = r 1 2 , , , , r 线性无关，而向量组 定理 设向量组 1 2 , , , A： r 1 2 1 : , , , B r r+ 若Ａ线性相关,则向量组Ｂ也线性相关；反之，若 向量组Ｂ线性无关，则向量组Ａ也线性无关. ( 1 2 1, ) T i i i mi m i a a a a = + 定理 设向量组 ( ) ( 1,2, , ) i n = 1 2 T i i i mi = a a a 若Ａ线性无关，则向量组Ｂ也线性无关；反之，若 向量组Ｂ线性相关，则向量组Ａ也线性相关. 1 2 , , , , A： n 1 2 , , , . B： n 其中 ( 1,2, , ) i n =
向量组的 1、极大线性无关组 设a1,a2,…a是一个向量组,它的某一个部分组 0 i19wi22 ,ir 若满足 ①A4:a1,2;…,an线性无关 ②∨a(1≤j≤s),a,a1,a2,…,a线性相关 则称A4:cn,a12;…,an为A的一个极大线性无关组 2、向量组的秩 向量组的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩 记作:R(A)或R(an1a2
一、向量组的秩 １、极大线性无关组 ② ( ) 线性相关. 1 2 1 , , , , , i i ir j s 若满足： 设 1 2 , , , s 是一个向量组，它的某一个部分组 0 1 2 : , , , A i i ir ２、向量组的秩 向量组的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩． 记作：Ｒ(Ａ) 或 R( 1 2 s ) ① A0 1 2 : , , , i i ir 线性无关； 则称 为Ａ的一个极大线性无关组. 0 1 2 : , , , A i i ir
相关知识点 ①一个向量组的极大无关组不是唯一的 ②向量组与它的任一极大无关组等价 ③一个向量组的任意两个极大无关组都等价 ④一个向量组的任两个极大无关组所含向量个数相同 ⑤一个线性无关的向量组的极大无关组就是其自身 ⑥一个线性相关的向量组的极大无关组是其真子集 ⑦零向量组构成的向量组不存在极大无关组 8任何非零向量组必存在极大无关组 任何n维向量组a1,a2,…,an如果线性无关,那么它 就是R中的极大无关组 ⑩显然n维向量组,62,…,En就是R的极大无关组 等价的向量组同秩
④ 一个向量组的任两个极大无关组所含向量个数相同. ① 一个向量组的极大无关组不是唯一的. ⑤ 一个线性无关的向量组的极大无关组就是其自身. ③ 一个向量组的任意两个极大无关组都等价. ⑦ 零向量组构成的向量组不存在极大无关组. ⑧ 任何非零向量组必存在极大无关组. ⑨ 任何ｎ维向量组 1 2 , , , n 如果线性无关，那么它 就是 中的极大无关组. n R ⑩ 显然ｎ维向量组 就是 中的极大无关组. n 1 2 , , , n R ② 向量组与它的任一极大无关组等价. ⑾ 等价的向量组同秩. ⑥ 一个线性相关的向量组的极大无关组是其真子集