第一的肉积 肉积的定义和性质 二向量的长与角 三正突向量组 应用举倒 亚正突矩阵与正突换
、内积的定义与性质 1、定义 b, 设n维实向量a=:2,B 称实数 a1b1+a2b2+…+ab为向量内积,记作[a,] 注:内积是向量的一种运算,用矩阵形式表示,有 a,月=(a1a2 ):|=a′
一、内积的定义与性质 1、定义 设ｎ维实向量 称实数 1 1 2 2 , , n n a b a b a b = = , . 1 1 2 2 n n a b a b a b + + + 为向量α与β的内积，记作 注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有 ( ) 1 2 1 2 . T n n b b a a a b = =
2、性质 (1)对称性:[a,6=[B,a] (2)线性性:[a+y]=[a,n]+[B, [ka,]=k[a,] (3)正定性:[a,a]20,当且仅当a≠0时a,a]>0 二、向量的长度与夹角 1、长度的概念 令|l|=a, 1+a +…a2为n维向量a 的长度(模或范数) 特别长度为1的向量称为单位向量
２、性质 （1）对称性： （2）线性性： （3）正定性： １、长度的概念 , , = + = + , , , k k , , = , 0, 当且仅当 0 时 , 0. 二、向量的长度与夹角 2 2 2 1 2 , n 令 = = + + a a a 为ｎ维向量α 的长度（模或范数）. 特别 长度为１的向量称为单位向量
2、性质 (1)正定性 a≥0且a=0÷a=0 (2)齐次性:a|=k|l; (3)三角不等式:|a+川≤|a‖+|6; (4)柯西-施瓦兹( Cauchy-cwrz)不等式: a,)≤l,即[a,s[a,l[,川] 当且仅当屿的线性相关时,等号成立 注④当a≠0时,=ma是的单位向量 ②由非零向量a得到单位向量a=ma的过程 称为把a单位化或标准化
（1）正定性： （2）齐次性： （3）三角不等式： ２、性质 = = 0; 0 0 且 ； k k = ; + + ; （4）柯西－施瓦兹（Cauchy－Schwarz）不等式: 2 2 2 , , 2 即 , , , 当且仅当α与β的线性相关时，等号成立. 注 ①当 0 时， ②由非零向量α得到单位向量 是α的单位向量. 0 1 = 0 1 = 称为把α单位化或标准化. 的过程
3、夹角 设o与B为n维空间的两个非零向量,a与β的夹 B 角的余弦为co01y,因此与的夹角为 6 a,B arccos a|‖ ,0≤6≤兀. 例a=(1223),月=(3151),求∠(a,B) 18 元 解 , cos 0={a, alB3√26√2 ∴6= 练习a=(-1111),B=(1110),求∠(a,B)
３、夹角 设α与β为ｎ维空间的两个非零向量，α与β的夹 角的余弦为 , cos , = 因此α与β的夹角为 , arccos ,0 . = 例 = = (1 2 2 3 , 3 1 5 1 , , . ) ( ) 求 ( ) , cos 解 = 18 3 2 6 = 1 2 = . 4 = ( 1 1 1 1 , 1 1 1 0 , ) ( ) 求( , ). T T 练习 = − = −