第三幕亥阵的特惩值与特惩向量 特征值与特征向量 三特征值和特征向量的性质 三应用举 小结
课前复习 、内积[a,月=aB=ab1+a2b2+…+anbn 2、长度|l=a,a]=a2+a2+…an2 3、夹角cos6 [a, B 0= arccos 0≤6≤兀 4.正交[a,]=0 5、施密特( Schmidt)正交化法 6、正交矩阵和正交变换 AA=E(即x=4),y=P其中P为正交矩阵 内积不变 正交变换的优良特性:长度不变 夹角不变
课前复习 １、内积 1 1 2 2 . T n n , = = + + + a b a b a b ２、长度 2 2 2 1 2 , n = = + + a a a ３、夹角 , cos , = , arccos ,0 . = ４、正交 , 0 = ５、施密特（Schmidt）正交化法 ６、正交矩阵和正交变换 ( ) 1 , T T A A E A A − = = 即 y Px = 其中Ｐ为正交矩阵． 正交变换的优良特性： 内积不变 夹角不变 长度不变
特征值与特征向量的概念 定义A为n阶方阵,/为数,为n维非零向量 若 A=15 则为A的特征值,称为A的特征向量 注⑨特征向量ξ≠0,特征值问题只针对与方阵; ②A5并不一定唯一 ③n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组 (死E-4)x=0有非零解的雁,即满足E-4|=0 的都是方阵A的特征值 定义称以未知数的一元n次方程E-A=0 为A的特征方程
一、特征值与特征向量的概念 定义 Ａ为ｎ阶方阵，λ为数， 为ｎ维非零向量， 若 A = 则λ称为Ａ的特征值， 称为Ａ的特征向量． （１） 注 ② , 并不一定唯一； ③ ｎ阶方阵Ａ的特征值，就是使齐次线性方程组 ① 特征向量 0 ，特征值问题只针对与方阵； (E A x − = ) 0 有非零解的λ值，即满足 的λ都是方阵Ａ的特征值． E A − = 0 定义 称以λ为未知数的一元ｎ次方程 E A − = 0 为Ａ的特征方程．
定义称以变量的一元n次多项式∫(4)=E 为A的特征多项式 定理设n阶方阵A=(q)的特征值为A,4,…, 则(1)A2…n=|4i; (2)1+12+…+n=a1+a2+…+an; 证明①当气,气2,…,气,是A的特征值时,A的特征多项 式可分解为∫(x)=E-A=(元-4)(-2)…(-2) ”-(+2+…+,)n1+…+(-1)2 令元=0,得|-4=(-1)142… 即A2…=|4
定义 称以λ为变量的一元ｎ次多项式 f E A ( ) = − 为Ａ的特征多项式． 1 2 11 22 (2) ; n nn + + + = + + + a a a 1 2 (1) ; n = A 定理 设ｎ阶方阵 A a = ( ij) 的特征值为 1 2 , , , n 则 证明① 当 1 2 , , , n 是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项 式可分解为 f E A ( ) = − = − − − ( 1 2 )( ) ( n ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 n n n n n − = − + + + + + − 令 = 0, 得 −A ( ) 1 2 1 n = − n 即 1 2 . n = A
证明②因为行列式 12 E-A 2 它的展开式中,主对角线上元素的乘积 (-an)(4-a2)(2-am) 是其中的一项,由行列式的定义,展开式中的其它项至 多含n-2个主对角线上的元素,因此,特征多项式中 含与的项只能在主对角线上元素的乘积项中 故有E-A=-(a1+a2+…+amn) · 比较④,有41+2+…+=an+a2+…+anm
证明② 因为行列式 它的展开式中，主对角线上元素的乘积 ( − − − a a a 11 22 )( ) ( nn ) E A− 是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至 多含ｎ－２个主对角线上的元素， 含 n n 与 −1 的项只能在主对角线上元素的乘积项中． ( ) 1 11 22 n n E A a a ann − 故有 − = − + + + + + 比较①，有 1 2 11 22 . n nn + + + = + + + a a a 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a − − − − − − = − − − 因此，特征多项式中