第三节 协方差及相关系数 一、协方差与相关系数的概念及性质 二、相关系数的意义 三、小结
一、协方差与相关系数的概念及性质 二、相关系数的意义 三、小结 第三节 协方差及相关系数
一、协方差与相关系数的概念及性质 1.问题的提出 若随机变量X和Y相互独立那么 D(X+Y)=D(X)+D(Y). 若随机变量X和Y不相互独立 D(X+Y)=? D(X+Y)=E(X+Y)-E(X+Y) =D(X)+D(Y)+2EIX-E(X)JY-E(Y) 协方差
1. 问题的提出 若随机变量 X 和Y 相互独立,那么 D(X + Y ) = D(X) + D(Y ). 若随机变量 X 和Y 不相互独立 D(X + Y ) = ? 2 2 D(X + Y ) = E(X + Y ) − [E(X + Y )] = D(X) + D(Y ) + 2E{[X − E(X)][Y − E(Y )]}. 一、协方差与相关系数的概念及性质 协方差
2.定义 量EIX-E(X)IY-E(Y)}称为随机变量 X与Y的协方差.记为Cov(X,Y),即 Cov(X,Y)=EX-E()]Y-E(Y). 而 Cov(X,Y) PX灯= √D(X)VD(Y) 称为随机变量X与Y的相关系数
Cov( , ) {[ ( )][ ( )]}. . Cov( , ), {[ ( )][ ( )]} X Y E X E X Y E Y X Y X Y E X E X Y E Y = − − − − 与 的协方差 记为 即 量 称为随机变量 2. 定义 . ( ) ( ) Cov( , ) 称为随机变量 与 的相关系数 而 X Y D X D Y X Y ρXY =
3.说明 ()X和Y的相关系数又称为标准锄方差，它是一 个无量纲的量 (2)若随机变量X和Y相互独立 COv(X,Y)=EX-E(XJY-E(Y) =EX-E(XJE[Y-E(Y) =0. (3)若随机变量X和Y相互独立 →D(X+Y)=D(X)+D(Y) +2E{X-E(X)[Y-E(Y)} =D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)
Cov(X,Y ) = E{[X − E(X)][Y − E(Y )]} = E[X − E(X)]E[Y − E(Y )] = 0. (3) 若随机变量 X 和Y 相互独立 2 {[ ( )][ ( )]} ( ) ( ) ( ) E X E X Y E Y D X Y D X D Y + − − + = + = D(X) + D(Y ). (2) 若随机变量 X 和Y 相互独立 = D(X) + D(Y ) + 2Cov(X,Y ) 3. 说明 . (1) , 个无量纲的量 X 和Y 的相关系数又称为标准协方差 它是一
4.协方差的计算公式 (1)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y); (2)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cow(X,Y): 证明(1)Cov(X,Y)=E{IX-E(X)[Y-E(Y)} =E[XY-YE(X)-XE(Y)+E(X)E(Y) =E(XY)-2E(X)E(Y)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)
4. 协方差的计算公式 (1) Cov(X,Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ); (2) D(X +Y ) = D(X) + D(Y ) + 2Cov(X,Y ). 证明 (1)Cov(X,Y ) = E{[X − E(X)][Y − E(Y )]} = E[XY −YE(X) − XE(Y ) + E(X)E(Y )] = E(XY ) − E(X)E(Y ). = E(XY ) − 2E(X)E(Y ) + E(X)E(Y )