第一节 数学期望 一、数学期望的概念 二、数学期望的性质 三、随机变量函数的数学期望 四、小结
一、数学期望的概念 二、数学期望的性质 三、随机变量函数的数学期望 四、小结 第一节 数学期望
一、数学期望的概念 引例1分赌本问题产生背景) A,B两人赌技相同，各出 赌金100元，并约定先胜三局者为 胜，取得全部200元.由于出现意 外情况，在A胜2局B胜1局时， 不得不终止赌博，如果要分赌金， 该如何分配才算公平？
引例1 分赌本问题(产生背景) A, B 两人赌技相同, 各出 赌金100元,并约定先胜三局者为 胜, 取得全部 200 元.由于出现意 外情况 ,在 A 胜 2 局 B 胜1 局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平? 一、数学期望的概念
分析假设继续赌两局，则结果有以下四种情况： AA AB BA BB A胜B负 A胜B负 B胜A负 B胜A负 A胜B负 B胜A负 A胜B负 B胜A负 把已赌过的三局(A胜2局B胜1局)与上述结果 相结合，即A、B赌完五局， 前三局：A胜2局B胜1局 后二局： AA AB BA BB A胜 B胜
前三局: A 胜 2 局 B 胜 1 局 后二局: 把已赌过的三局(A 胜2局B 胜1局)与上述结果 相结合,即 A、B 赌完五局, A A A B B A B B A 胜 B 胜 分析 假设继续赌两局,则结果有以下四种情况: A A A B B A B B A胜B负 A胜B负 A胜B负 B胜A负 B胜A负 A胜B负 B胜A负 B胜A负
故有，在赌技相同的情况下，A,B最终获胜的 可能性大小之比为3：1， 即A应获得赌金的 而B只能获得赌金的4 因此，A能“期望”得到的数目应为 20×3+0×1=150(元. 4 4 而B能“期望”得到的数目，则为 2m×+0×子-5元 3 4
因此, A 能“期望”得到的数目应为 4 1 0 4 3 200 + = 150(元), 而B 能“期望”得到的数目, 则为 4 3 0 4 1 200 + = 50(元). 故有, 在赌技相同的情况下, A, B 最终获胜的 可能性大小之比为 3 :1, 即A 应获得赌金的 , 而 B 只能获得赌金的 4 3 . 4 1
若设随机变量X为：在A胜2局B胜1局的前提 下，继续赌下去A最终所得的赌金. 则X所取可能值为： 200 3 1 其概率分别为： 4 4 因而A期望所得的赌金即为X的“期望”值， 3 等于200×+0×，=150（元）， 4 4 即为 X的可能值与其概率之积的累加
因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值, 等于 X 的可能值与其概率之积的累加. 150( ). 4 1 0 4 3 200 + = 元 即为 若设随机变量 X 为:在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金. 则X 所取可能值为: 200 0 其概率分别为: 4 3 4 1