第四节 相互独立的随机变量 一、随机变量的相互独立性 二、二维随机变量的推广 三、小结
一、随机变量的相互独立性 二、二维随机变量的推广 三、小结 第四节 相互独立的随机变量
一、随机变量的相互独立性 1.定义 设F(x,y)及Fx(x),F,(y)分别是二维随机变量 (X,Y)的分布函数及边缘分布函数若对于所有x,y 有 P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}, 即 F(x,y)=Fx(x)Fy(y), 则称随机变量X和Y是相互独立的
. ( , ) ( ) ( ), { , } { } { }, ( , ) . , ( , ) ( ), ( ) 则称随机变量 和 是相互独立的 即 有 的分布函数及边缘分布函 数 若对于所有 设 及 分别是二维随机变量 X Y F x y F x F y P X x Y y P X x P Y y X Y x y F x y F x F y X Y X Y = = 一、随机变量的相互独立性 1.定义
2.说明 ()若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 P{X=i,Y=j}=p,i,j=1,2,. X和Y相互独立 PX=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y) 即P=p·Pj
{ , } { } { }, i j i j P X = x Y = y = P X = x P Y = y X 和Y 相互独立 2.说明 (1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为 P{X = i,Y = j} = p , i, j = 1,2, . ij . pij pi• p• j 即 =
(2)设连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y),边缘概率密度分别为fx(x),f,(y),则有 X和Y相互独立台f(x,y)=fx(x)fx(y) (3)X和Y相互独立，则 f(X)和g(Y)也相互独立
f (x, y) f (x) f ( y). = X Y (3) X 和Y 相互独立, 则 X 和Y 相互独立 边缘概率密度分别为 则有 设连续型随机变量 的联合概率密度为 ( , ), ( ), ( ), (2) ( , ) f x y f x f y X Y X Y f (X) 和 g(Y )也相互独立
例1已知(X,Y)的分布律为 (X,)(1,1)1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) 1)求α与B应满足的条件； (2)若X与Y相互独立，求与B的值. 解将(X,Y)的分布律改写为
( X , Y ) ij p (1,1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 ) 61 91 181 31 解 将 (X,Y )的分布律改写为 例 1 已知 (X,Y )的分布律为 (2) , . (1) ; 若 与 相互独立 求 与 的值 求 与 应满足的条件 X Y