《概率论与数理统计》课程教材课件（PPT讲稿）2-4 连续型随机变量及其概率密度

第四节连续型随机变量及其概 率密度 一、概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量的分布 三、小结

一、概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量的分布 三、小结 第四节 连续型随机变量及其概 率密度

一、概率密度的概念与性质 1.定义如果对于随机变量X的分布函数F(x),存在 非负函数，使对于任意实数x有F(x)=f(t)dt, 则称X为连续型随机变量其中f(x)称为X的概率 密度函数，简称概率密度

, . , ( ) , ( ) ( )d , ( ), 密度函数 简称概率密度 则 称 为连续型随机变量 其 中 称 为 的概率 非负函数 使对于任意实数 有 如果对于随机变量 的分布函数 存 在 X f x X x F x f t t X F x x − = 一、概率密度的概念与性质 1.定义

性质 (1)f(x)≥0； (2)[f(x)dx=1; 证明1=F(oo)=∫f(x)dx. ③)Px<X≤x}=Fs,)-Fx)=fx)dx; 证明 P{x1<X≤x2}=F(2)-F(x) f()dx-f)dx=f(x)dx

(3) { } ( ) ( ) 1 2 2 1 P x  X  x = F x − F x ( )d ; 2 1 f x x x x = f x x x ( ) d 2 − = 证明 ( )d . 2 1 f x x x x = { } ( ) ( ) 1 2 2 1 P x  X  x = F x − F x f x x x ( ) d 1 − − 性质 (1) f (x)  0; (2) ( )d = 1;  + − f x x 证明 1 F( ) f (x)d x.  + − =  =

同时得以下计算公式 PX≤ay=F@)=nfx)dx, P{X>a}=1-P{X≤}=1-F(a) -f(x)dx-Sf(x)dx -["f(x)dx+ff(x)dx=["f(x)dx. (4)若f(x)在点x处连续，则有F'(x)=f(x)

(4) 若 f (x) 在 点 x 处连续,则 有F(x) = f (x). P{X  a} = F(a) f (x)d x, a − = P{X  a} = 1 − P{X  a} f x x f x x a ( ) d ( ) d  −  − = − = 1− F(a) f x x f x x a ( )d ( )d    − − = + f (x)d x. a  = 同时得以下计算公式

注意对于任意可能值a,连续型随机变量取a 的概率等于零即 P{X=a}=0. 证明 Pa+△x pX==f)dx =0. 由此可得 P{a≤X≤b}=P{a<X≤b}=P{a≤X<b} =P{a<X<b}. 连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关

注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即 P{X = a} = 0. 证明 P{X = a} = 0. 由此可得 f x x a x x a lim ( )d 0  +  → = 连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关 P{a  X  b}= P{a  X  b} = P{a  X  b} = P{a  X  b}